Lycée secondaire Mghira
Devoir de synthèse N°2
Date : 05-03-2014
Prof : Bounouh Arbi Durée :3H
Classes : 4ième :sc-exp1+2 Epreuve :Mathématiques
Exercice 1:(3.5pts)
Le but de cette exercice est de démontrer les trois propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien énoncées ci-dessous :
Soit deux réels strictement positifs :
;
*On considère les trois fonctions f , g et h définies sur l’intervalle ]0,+ [ par où a est un réel strictement positif , .
1)a)Montrer que pour tout .
b)En déduire qu’il existe une constante réelle c telle que c)Montrer alors que
2)a)Montrer que . b)En déduire que 3)En utilisant , montrer .
Exercice 2:(3pts)
On pose pour tout entier naturel n , 1)a)Calculer
b)Vérifier que pour tout n , c)En déduire que la suite est convergente . 2)a)Montrer que pour tout n , . b)En déduire .
c)Calculer .
Exercice 3:(3pts)
Soit la fonction définie sur [-1 , 1] par et sa courbe représentative dans le plans munie d’un repère orthogonal (O , ).
Le but de cette exercice est de calculer l’aire de la partie du plan limitée par :la courbe et les droites d’équations y=1 , x=0 et x=1 .
1)Soit ,la fonction définie sur [0,1] par
Montrer que est dérivable sur [0,1] et donner pour tout . 2)Soit la fonction définie sur [0, ] par .
a)Montrer que est dérivable sur [0, ] et que pour tout b)En déduire que pour tout .
c)Calculer alors .
Exercice 4 :(4.5pts)
L’espace est rapporté à un repère orthonormé (O, ) . On donne les points A(1,-2,2) et B(1,0,1) Et Soit S : .
1)Montrer que S est une sphère dont on précisera le centre et le rayon R . 2)Soit P le plan passant par E(1,1,-1) et perpendiculaire à la droite (AB) . a)Montrer qu’une équation cartésienne de P est . b)Montrer que le plan P est tangent à la sphère S .
3)Soit où m est un paramètre réel . a)Déterminer suivant m : .
b)En déduire que coupe la sphère S suivant un cercle dont on déterminera son rayon r et son centre H
Exercice 5:(6pts)
Dans l’exercice on désigne par e le réel tel que ; on a ainsi . Soit la fonction définie sur [0,+ [ par
On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , ).
1)a)Montrer que f est continue à droite en 0 .
b)Montrer que f est dérivable à droite en 0 et interpréter graphiquement le résultat . 2)Calculer et . Déterminer la nature de la branche infinie de . 3)a)Montrer que pour tout .
b)Dresser le tableau de variation de f .
4)Déterminer les abscisses des points d’intersections de avec l’axe (O, ) . 5)Construire dans le repère (O , ).
6)Soit λ un réel tel que : .
a)En utilisant une intégration par partie montrer que . b)Soit (λ) l’aire de la partie du plan limitée par la courbe , l’axe des abscisses et les droites d’équations .Calculer (λ) .
c)Montrer que
