Particules identiques en mécanique quantique

Particules identiques en mécanique quantique

Chapitre 16

1.

Problèmes liés à l'indiscernabilité en mécanique quantique

Particules identiques ou particules indiscernables

Deux particules sont identiques si toutes leurs propriétés physiques sont les mêmes :

deux électrons, deux protons, ...

Concept valable aussi bien classiquement que quantiquement En mécanique classique, deux particules (même identiques) sont toujours discernables : on peut suivre la trajectoire de chacune.

1 2

1'

2'

1 2

1'

2'

compteur compteur

Particules indiscernables en mécanique quantique

Situation physique où les états de particules identiques se recouvrent : Etat initial,

avant une collision : Etat pendant la collision :

Etat après la collision : Ambiguïté des principes

vus jusqu'ici compteur

Exemple : deux particules dans un piège harmonique

Deux particules sans interaction, numérotées 1et 2

Etat(s) correspondant à la situation physique d'énergie totale ? 2=ω

1 2

( ) ( )

a x b x

ψ ψ

1 2

( ) ( )

b x a x

ψ ψ

états à une particule

Ces représentations du même état physique sont-elles équivalentes ? NON ! ^{x x1 2 =}_m⁼_ω ^Re

( )

ω/ 2

=

5=ω/ 2 3=ω/ 2 ψa

ψb

ψc

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )

a x b x b x a x

λ ψ ψ +µ ψ ψ

2 2 1

λ + µ = avec

Espace de dimension2

Un premier pas vers la solution : l'opérateur d'échange

La numérotation des particules 1et 2est arbitraire : les prévisions physiques ne doivent pas dépendre de ce choix.

Si on pose

acceptables doivent être tels que

[ ]

12 1 2 1 2

ˆ _n( ) _m( ) _m( ) _n( )

P ψ x ψ x =ψ x ψ x , les états physiquement

12 1 2 1 2

ˆ ( , ) ⁱ ( , )

P Ψ x x =e^δ Ψ x x

Comme , les seules possibilités sont Pˆ₁₂² =Id e^2iδ =1 e^iδ = ±1 état symétrique :

état antisymétrique :

(

)

1 ( ) ( ) ( ) ( )

2 ψ^a x ψ^b x +ψ^b x ψ^a x

(

)

1 ( ) ( ) ( ) ( )

2 ψ^a x ψ^b x −ψ^b x ψ^a x

2.

Le postulat de symétrisation ou d'antisymétrisation

Principe de Pauli

Principe de Pauli pour deux particules

Toutes les particules de la nature appartiennent à l'une ou l'autre des deux classes suivantes :

• les bosons, pour lesquels le vecteur d'état de 2particules identiques est toujours symétrique par l'opération de

• les fermions, pour lesquels le vecteur d'état de 2particules identiques est toujours antisymétrique par l'opération de

ˆ12

P

ˆ12

P Toutes les particules de spin entier sont des bosons

Toutes les particules de spin demi-entier sont des fermions mésons π, photons, particules α, atomes d'hydrogène

électrons, protons, neutrons statistique de Bose-Einstein

statistique de Fermi-Dirac

On se donne une base de l'espace des états à une particule,

{

}

(

)

(

)

,

, _{k n k}( ) _n( ) _n( ) _k( )

k n

r r C ψ r ψ r ψ r ψ r

Ψ ^{G G} =

∑

(

) (

)

Ψ G G = Ψ G G

Deux particules indiscernables de spin 0 :

Pour deux bosons indiscernables, les seuls états acceptables sont : Si les particules étaient discernables, une base de l'espace à deux particules serait :

{

}

ω/ 2

=

5=ω/ 2 3=ω/ 2 ψa

ψb

ψc

(

)

Ψ =

Etat fondamental :E==ω Premier état excité :

(

)

1 ( ) ( ) ( ) ( )

2 ψ^a x ψ^b x +ψ^b x ψ^a x

Etat non dégénéré, contrairement au cas de particules discernables Le principe de Pauli réduit l'espace des états accessibles

2 E= =ω

Deux fermions

Particules de spin 1/2 , 3/2 , 5/2, ...

Base de l'espace des états à une particule (orbital + spin)

{

}

A partir de la base qu'on aurait si les deux particules étaient discernables, on construit la base de l'espace des états à deux fermions identiques :

{

}

a b a b

ψ ⊗ ψ ψ ψ

( )

1 1: 2 : 1: 2 : ,

2 ψ^a ψ^b ψ^b ψ^a ψ^a ψ^b

 ⊗ − ⊗ ⊥ 

 

 

Chaque état de base peut se mettre sous forme d'un déterminant (Slater):

1: 2 :

1

1: 2 :

2

a a

b b

ψ ψ

ψ ψ

Ψ =

Particules élémentaires et particules composées

Pour des particules élémentaires, on peut démontrer le théorème spin-statistique :

Bosons : spin entier

Fermions : spin demi-entier Pauli, 1940 Démonstration faisant explicitement appel à la théorie quantique et relativiste des champs

Pour des particules composées, le théorème reste valable si l'énergie en jeu est suffisamment basse pour ne pas "casser" ces particules.

Collision entre deux atomes d'hydrogène d'énergie cinétique << 13,6 eV température ordinaire : k T_B ≈25meV

Toutes les particules de la nature appartiennent à l'une ou l'autre des deux classes suivantes :

• les bosons, pour lesquels le vecteur d'état de Nparticules identiques est symétrique par échange de deux de ces particules,

• les fermions, pour lesquels le vecteur d'état de Nparticules

identiques est antisymétrique par échange de deux de ces particules.

Principe de Pauli pour N particules

Fermions : spin demi-entier Bosons : spin entier

Compatible avec l'équation de Schrödinger : un état initialement (anti)symétrique reste (anti)symétrique au cours du temps.

Cas des fermions : 3 particules

Base des états à une particule

{

}

On ne peut pas construire d'état où deux particules occuperaient le même ψ_n: principe d'exclusion Situation où une particule est dans l'état ψ₁, une dans ψ₂, une dansψ₃

(

Ψ =

3 2 1

1:ψ ; 2 :ψ ; 3:ψ

−

)

2 3 1 3 1 2

1:ψ ; 2 :ψ ; 3 :ψ 1:ψ ; 2 :ψ ; 3 :ψ

+ +

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1: 2 : 3 :

1 1: 2 : 3 :

6 1: 2 : 3 :

ψ ψ ψ

ψ ψ ψ

ψ ψ ψ

Déterminant de Slater

2 1 3

1:ψ ; 2 :ψ ; 3:ψ

−

1 3 2

1:ψ ; 2 :ψ ; 3:ψ

− 1

6

Dimension 6 Dimension 1 Généralisation àNparticules Dimension N! Dimension 1

Cas des bosons : N particules

Base des états à une particule

{

}

Situation physique oùNparticules sont dans le même état ψ₀

0 0 0

1:ψ 2 :ψ ... N:ψ

Ψ = ⊗ ⊗ ⊗

On numérote les particules 1 , 2 ,..., N,...

Condensats de Bose-Einstein : À suffisamment basse température, 1 million d'atomes (sodium, rubidium,...) accumulés dans l'état fondamental d'un piège magnétique.

Autres manifestations d'un état macroscopiquement occupé

Superfluidité de l'hélium 4 (2 protons + 2 neutrons + 2électrons)

pour T≈2 Kelvins Rien de ce type pour l'hélium 3 dans ce domaine de température

supraconductivité de certains métaux à basse température formation de paires liées

d'électrons (Cooper)

Cas des bosons : N particules (suite)

Etat physique caractérisé par les nombres d'occupation : N_aparticules dans l'état ψ_a, N_bparticules dans l'état ψ_b,...,

(1) (2) ( )

1: _P ; 2 : _P ;....; : _{P N}

P

ψ ψ N ψ

Ψ ∝

∑

Pour des bosons identiques, somme sur les N!permutations P d'un ensemble de Néléments:

Etat non dégénéré

a b ...

N +N + =N

Base des états à une particule

{

}

1:ψ_a,...,N_a:ψ_a,N_a+1:ψ_b,...,N_a+N_b:ψ_b,...

Si les particules étaient discernables, un état possible (parmi d'autres) serait:

N_a N_b

3.

Conséquences physiques du principe de Pauli

Un modèle simplifié pour l'atome d'hélium

Noyau de charge Z=2 en r = 0 et deux électrons numérotés 1et 2:

2 2 2 2 2

1 2

1 2 12

ˆ ˆ

ˆ 2 _e 2 _e

p p Ze Ze e

H= m + m − r − r +r r¹² = rG¹−rG²

On va négliger ici le terme de répulsion entre électrons e²/r₁₂. Cette approximation n'est valable en toute rigueur que si Z >>1

1 2

ˆ ˆ ˆ

H =H +H ˆ ˆ^{2 2}

2

i i

e i

p Ze H = m − r

Energie des états liés de Hˆ_{i n} Z E²₂^I ε = − n

4

2 2 I m ee

E =

= 1, 2,...

n= =13,6 eV

L'atome d'hélium (suite)

1 2

ˆ ˆ ˆ

H=H +H _n Z E²₂^I

ε = − n Niveaux d'énergie à une particule :

Niveau fondamental :on essaie de mettre chacun des deux électrons dans le niveau fondamental (état 1sen exp(-Zr_i/a₁))

1s 1 1:1 2 :1

1:1 2 :1

2

s s

s s

+ +

− −

Autres notations : ou 1s² ou

• même état orbital pour les deux électrons

• l'état de spin doit être antisymétrique 1s ; 1s ⊗ =s 0,m_s =0

(

)

( )

( )

Ψ G G = G G ¹

(

)

2 + − − − +

énergie : 2ε₁= −8E_I

Emission inhibée (fermions) et émission stimulée (bosons)

Le neutron est une particule instable. Dans l'espace libre :

n p⁺ + e^- + antineutrino ν_e durée de vie : 900 s Mais il est stable dans les noyaux, sauf en cas de radioactivitéβ^-

Exemples :noyau d'hélium 4 (c'est-à-dire une particule α) Deux protons + deux neutrons : stable

noyau de tritium

Un proton + deux neutrons : instable

Noyau d'hélium et noyau de tritium

Modèle simple dans lequel on simule l'interaction entre chaque nucléon (proton ou neutron) et les A-1autres par un puits de potentiel

neutrons protons

Noyau d'hélium 4

neutrons proton

Noyau de tritium

description quantitative compliquée par la répulsion coulombienne entre protons

(durée de vie 12 ans)

10^-15m

+ e^-+ ν

L'émission stimulée (bosons)

interaction

a b

probabilitép

pour basculer dea versb (p1)

interaction

a

b probabilité(N+1)p

si Nparticules bosoniques

dans l'état

b N+1particules dans l'état

(N+1)p1

Le principe du laser

miroir complètement

réfléchissant

miroir partiellement

réfléchissant

Avec une source d'énergie extérieure (décharge dans un gaz, passage d'un courant dans une diode, lumière d'une lampe intense,...), on crée une "inversion de population".

Nombre de photons dans le mode laser : ( 1)

N = −Γ +N G N+ effet laser si : gain (G) > perte (Γ) énergie

extérieure

Quelques lasers...