Universit´e de Bordeaux
Licence de Sciences, Technologies, Sant´e Mentions Math´ematiques et Informatique 4TPM201U Alg`ebre Lin´eaire 1
Alg`ebre Lin´eaire 1
Christine Bachoc Ann´ee 2019-2020, S´erie B
Table des mati`eres
1 R´esolution de syst`emes lin´eaires 7
1.1 Syst`emes lin´eaires . . . . 7
1.2 Syst`eme lin´eaire ´echelonn´e . . . . 8
1.3 L’algorithme du pivot de Gauss . . . . 8
1.4 Conclusions . . . . 10
2 L’espace vectoriel Kn 11 2.1 Introduction . . . . 11
2.2 D´efinition de l’espace vectoriel Kn . . . . 11
2.3 Sous-espaces vectoriels de Kn . . . . 12
2.4 Premier Exemple . . . . 12
2.5 Deuxi`eme Exemple . . . . 13
2.6 Somme et intersection de sous-espaces vectoriels . . . . 14
3 Espaces vectoriels abstraits 15 3.1 D´efinitions . . . . 15
3.2 Exemples . . . . 16
3.3 Sous-espaces vectoriels . . . . 17
3.4 Combinaisons lin´eaires . . . . 18
3.5 Somme et intersection de sous-espaces vectoriels . . . . 18
4 Familles g´en´eratrices, libres, bases 19 4.1 Familles g´en´eratrices . . . . 19
4.2 Familles libres, li´ees, bases . . . . 20
4.3 Bases et dimension des espaces vectoriels finiment engendr´es . . . . 22
4.4 Espaces vectoriels de dimension infinie . . . . 25
5 Matrices 27 5.1 D´efinitions, exemples . . . . 27
5.2 Op´erations sur les matrices . . . . 28
5.3 Le rang d’une matrice . . . . 30
5.4 Matrices carr´ees inversibles . . . . 32
6 Applications lin´eaires 35 6.1 D´efinition et premi`eres propri´et´es . . . . 35
6.2 Noyau et image d’une application lin´eaire . . . . 37
6.3 Matrices d’une application lin´eaire . . . . 38
6.4 Changement de base . . . . 39
7 Compl´ements 43 7.1 Somme directe de sous-espaces vectoriels . . . . 43
7.2 Projections et sym´etries . . . . 44
7.3 Produit direct d’espaces vectoriels . . . . 45
7.4 Dualit´e . . . . 45
8 Arithm´etique 49 8.1 L’anneau des entiers Z . . . . 49
8.2 Algorithme d’Euclide ´etendu et relation de B´ezout . . . . 50
8.3 Cons´equences du Th´eor`eme de B´ezout . . . . 52
Introduction
Avertissement : ces notes de cours ne forment pas un cours complet d’alg`ebre lin´eaire et ne sont pas forc´ement compl`etement fid`eles au cours qui sera donn´e ce semestre. En particulier elles ne doivent pas dispenser les ´etudiants d’assister au cours ! L’auteur souhaite qu’elles constituent une aide utile aux ´etudiants qui d´ecouvriront ce semestre les cours donn´es en amphi et devront notamment apprendre `a y prendre des notes.
L’objectif principal de ce cours est l’´etude des espaces vectoriels d´efinis surR ouC. C’est donc le cadre que nous adopterons et nous utiliserons dans tout le cours la notation commune Kpour d´esigner l’un de ces deux ensembles de nombres.
Cela ´etant dit, il se trouve que tout ce qui suit est valable pour des ensemble de ’nombres’
plus g´en´eraux qu’on appelle des corps. Les corps seront ´etudi´es pour eux-mˆemes dans les cours d’Alg`ebre de L2 et L3 du cursus de Math´ematiques ; pour le lecteur curieux, en voici la d´efinition. Il s’agit d’un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication v´erifiant les rˆegles de calcul suivantes :
• L’addition est :
• commutative :λ+µ=µ+λ
• associative : (λ+µ) +ν =λ+ (µ+ν)
• poss`ede un z´ero i.e. un ´el´ement not´e 0 v´erifiant λ+ 0 =λ
• tout ´el´ement λposs`ede un oppos´e not´e−λv´erifiant λ+ (−λ) = 0
• La multiplication est :
• commutative :λµ=µλ
• associative : (λµ)ν =λ(µν)
• poss`ede un ´el´ement not´e 1 v´erifiant λ1 =λ
• tout ´el´ement λ6= 0 poss`ede un inverse not´eλ−1 v´erifiant λ(λ−1) = 1
• La multiplication est distributive sur l’addition :
• λ(µ+ν) =λµ+λν
Les ensemblesQ (nombres rationnels), R (nombres r´eels) et C (nombres complexes) sont des corps connus et ´etudi´es au niveau L1. D’autres exemples de corps seront rencontr´es au cours de la Licence, notamment l’ensemble Z/pZ des entiers modulo p o`u p est un nombre premier, ou encore le corps des fractions rationnelles.
Chapitre 1
R´esolution de syst`emes lin´eaires
Ce chapitre est essentiellement un chapitre de r´evisions puisque les syst`emes lin´eaires ont
´
et´e ´etudi´es dans l’UE de S1 Bases de Math´ematiques pour les Sciences.
1.1 Syst`emes lin´eaires
Un syst`eme lin´eaire (S) sur K `a ninconnues (appel´ees aussi variables)x1, x2, . . . , xn et k
´
equations (E1), . . . ,(Ek) se pr´esente sous la forme :
(S)
a1,1x1+a1,2x2+· · ·+a1,nxn =b1 (E1) a2,1x1+a2,2x2+· · ·+a2,nxn =b2 (E2)
...
ak,1x1+ak,2x2+· · ·+ak,nxn =bk (Ek) On noteS l’ensemble de ses solutions, c’est-`a-dire
S=
(x1, x2, . . . , xn)∈Kn tels que (x1, . . . , xn) v´erifie (E1), . . . ,(Ek) .
Notre but dans ce chapitre est de d´ecrire un algorithme permettant de d´eterminer S exac- tement et en toutes circonstances. C’est l’algorithme du pivot de Gauss. Tout d’abord intro- duisons un peu de vocabulaire.
D´efinition 1.1.1. 1. On dit que le syst`eme (S) est homog`ene sib1 =b2 =· · ·=bk= 0.
2. Deux syst`emes lin´eaires sont dits ´equivalents s’ils ont le mˆeme ensemble de solutions.
On note alors
(S)⇐⇒(S0)
Exemple 1.1.2. Voici un syst`eme lin´eaire `a trois inconnues et trois ´equations (n= k= 3).
Un syst`eme de ce type est dittriangulaire pour des raisons ´evidentes.
(S1)
x + 2y + 3z = 0
−y + 2z = 1 2z = 5
Il se r´esout facilement, de bas en haut, en calculant successivementz, puisy, puisx. On trouve S =
(−31/2,4,5/2) .
1.2 Syst`eme lin´eaire ´echelonn´e
D´efinition 1.2.1. Un syst`eme lin´eaire (S) est dit ´echelonn´es’il est de la forme :
a1,j1xj1 +· · ·+ a1,j2xj2 +· · ·+ a1,jkxjk +· · ·+a1,nxn = b1 a2,j2xj2 +· · ·+ a2,jkxjk +· · ·+a2,nxn = b2
... ...
ak,jkxjk +· · ·+ak,nxn = bk
o`u on a 1 ≤ j1 < j2 < · · · < jk ≤ n, et o`u les coefficients a1,j1, a2,j2, . . . , ak,jk sont non nuls. Remarquons que dans ce cas on a k ≤ n. Les variables xj1, xj2, . . . , xjk s’appellent les variables pivot et il y en a exactement autant que d’´equations. Les autres variables s’appellent les variables auxiliaires.
Pour r´esoudre un tel syst`eme lin´eaire, on se ram`ene `a un syst`eme triangulaire en passant dans toutes les ´equations les variables auxiliaires `a droite du signe ”=”. Ensuite on exprime successivement de bas en haut les variables pivot xjk, puis xjk−1, et ainsi de suite, jusqu’`a xj1, en fonction des variables auxiliaires, c’est-`a-dire des xi pour i /∈ {j1, . . . , jk}. On obtient un ensemble de solutions param´etr´ees par les variables auxiliaires xi pour i /∈ {j1, . . . , jk}.
Exemple num´erique :
(S2)
x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x2 + x3 − 6x4 = 0 3x4 = 1 On a
(S2)⇐⇒
x1 + x2 + x4 = −x3 x2 − 6x4 = −x3
3x4 = 1
⇐⇒
x1 = −x2−x3−x4 x2 = −x3+ 6x4
x4 = 1/3
⇐⇒
x1 = −7/3 x2 = −x3+ 2 x4 = 1/3 A chaque` x3∈Kcorrespond une solution du syst`eme. On obtient
S=
(−7/3,−x3+ 2, x3,1/3)|x3 ∈K ou encore
S =
(−7/3,1,0,1/3) +x3(0,−1,1,0)|x3 ∈K}.
1.3 L’algorithme du pivot de Gauss
On va d´ecrire maintenant les op´erations que l’on peut ex´ecuter sur un syst`eme sans changer son ensemble de solutions, c’est-`a-dire en le transformant en un syst`eme ´equivalent.
D´efinition 1.3.1. On appelleop´erations ´el´ementaires sur le syst`eme lin´eaire(S) les op´erations suivantes :
(1) ´Echange de deux ´equations.
(2) Remplacement de l’´equation (Ei) par λ(Ei) pourλ∈K, λ6= 0.
(3) Remplacement de l’´equation (Ei) par (Ei) +µ(Ej) pourj6=ietµ∈K.
Remarque 1.3.2. Il faut bien sˆur ex´ecuter ces op´erations sur les deux membres des ´equations, i.e. `a gauche comme `a droite du signe ”=”.
Proposition 1.3.3. On obtient un syst`eme lin´eaire ´equivalent en appliquant `a (S) une op´e- ration ´el´ementaire, ou une succession de telles op´erations.
D´emonstration. Il est clair que les op´erations (1) et (2) ne changent pas l’ensemble des solutions S. V´erifions-le pour (3) : soitj6=i. Il est clair que si (Ei) et (Ej) sont v´erifi´ees alors (Ei)+µ(Ej) l’est aussi. R´eciproquement, supposons avoir remplac´e (Ei) par (Ei) +µ(Ej). L’´equation (Ej) elle n’a pas chang´e. On remarque que (Ei) = ((Ei) +µ(Ej))−µ(Ej) donc, si (Ei) +µ(Ej) et (Ej) sont v´erifi´ees alors (Ei) l’est aussi.
La m´ethode du pivot de Gauss est un algorithme qui, par une succession d’op´erations
´
el´ementaires, permet de ramener la r´esolution d’un syst`eme lin´eaire `a celle d’un syst`eme ´eche- lonn´e.
Description informelle de l’algorithme : On proc`ede variable par variable, en travaillant successivement sur les colonnes du syst`eme.
Soit xj1 la premi`ere variable qui apparait dans le syst`eme. Supposons pour simplifier les notations quej1 = 1. On cherche de haut en bas la premi`ere ´equation qui contienne un terme en x1, et si ce n’est pas la premi`ere, on l’´echange avec (E1). Puis, on divise (E1) par le coefficient de x1. Ensuite, on ´elimine les termes en x1 dans les ´equations (E2), . . . ,(Ek) en rempla¸cant (Ei) par (Ei)−ai,1(E1). On ne modifiera plus (E1).
Ensuite on recommence le proc´ed´e avec les ´equations (E2), . . .(Ek) : on passe `a la premi`ere variable pr´esente dans (E2), . . .(Ek), soit xj2. On a j2 > j1. On cherche parmi (E2), . . .(Ek), de haut en bas, la premi`ere ´equation qui contienne un terme en xj2, et on l’´echange avec (E2). On divise (E2) par a2,j2, puis, comme avec x1, on ´elimine la variable xj2 des ´equations (E3), . . .(Ek). On proc`ede ainsi jusqu’`a la derni`ere ´equations.
Au cours de l’algorithme, on a pu transformer une ´equation en une ´equation du type “0 =b”.
Si b 6= 0, il n’y a pas de solutions, et on peut conclure que S = ∅. Si b = 0, on enl`eve cette
´
equation du syst`eme.
On a d´emontr´e le r´esultat suivant :
Proposition 1.3.4. L’algorithme du pivot de Gauss conduit soit `a une ´equation sans solutions du type ”0 =b” avec b6= 0 (et dans ce cas on peut conclure que le syst`eme initial n’a pas de solutions) soit `a un syst`eme lin´eaire ´equivalent, ´echelonn´e, et dont le nombre d’´equations est inf´erieur ou ´egal `a celui du syst`eme initial.
D´emonstration. En effet, la seule chose qui peut arriver c’est que l’on ´elimine une ´equation du type ”0 = 0”.
Exemple num´erique :
(S3)
x3 + x4 = 4 x1 − 3x2 + x3 − x4 = 0
−8x1 + 24x2 − 4x3 + 16x4 = 8
(S3)⇐⇒
x1 − 3x2 + x3 − x4 = 0 (E1)↔(E2) x3 + x4 = 4
−8x1 + 24x2 − 4x3 + 16x4 = 8
⇐⇒
x1 − 3x2 + x3 − x4 = 0 x3 + x4 = 4
4x3 + 8x4 = 8 (E3)←(E3) + 8(E1)
⇐⇒
x1 − 3x2 + x3 − x4 = 0 x3 + x4 = 4
4x4 = −8 (E3)←(E3)−4(E2)
On a obtenu un syst`eme lin´eaire ´echelonn´e, que l’on r´esout suivant la m´ethode du para- graphe 1.2 :
(S3)⇐⇒
x1 = 3x2−x3+x4= 3x2−8 x3 = 6
x4 = −2 On obtient
S =
(3x2−8, x2,6,−2)|x2∈K
=
(−8,0,6,−2) +x2(3,1,0,0)|x2 ∈K
1.4 Conclusions
En plus de l’aspect calculatoire, on retiendra de ce chapitre le r´esultat th´eorique suivant, qui nous sera utile par la suite :
Proposition 1.4.1. Pour qu’un syst`eme d’´equations lin´eaires `a n inconnues et k ´equations poss`ede une solution unique, il est n´ecessaire d’avoir k≥ n i.e. au moins autant d’´equations que d’inconnues.
D´emonstration. Soit (S) un syst`eme lin´eaire ayant une solution unique, `a n inconnues et k
´
equations. D’apr`es la proposition 1.3.4, il est ´equivalent `a un syst`eme (S0) ´echelonn´e, `a n inconnues et k0 ≤ k ´equations. Comme il y a autant de variables pivot que d’´equations, si k0 < n, il y a des variables qui ne sont pas des variables pivot, c’est-`a-dire des variables auxiliaires, qui vont param´etrer les solutions. Il y a donc une infinit´e de solutions. Si (S) a une solution unique, (S0) aussi, et donc k0 ≥net `a fortiori k≥n.
Remarque 1.4.2. La condition k ≥ n (au moins autant d’´equations que d’inconnues) est n´ecessaire mais bien ´evidemment pas suffisante pour avoir unicit´e de la solution, comme le montrent les exemples stupides suivants :
x+y = 0
−x−y = 0 (infinit´e de solutions) x+y = 0
x+y = 1 (aucune solution)
Chapitre 2
L’espace vectoriel Kn
2.1 Introduction
On apprend au lyc´ee comment rep´erer un pointM dans le plan par deux coordonn´ees (x, y) dans un rep`ere (O,~i,~j). Cela revient `a identifier le vecteur−−→
OM =x~i+y~j avec l’´el´ement (x, y)∈ R2. Dans l’espace, on a besoin de trois coordonn´ees (x, y, z)∈R3. Nous allons g´en´eraliser cette approche aux ´el´ements deRnet deCn, en se d´etachant de notre vision intuitive de la g´eom´etrie.
Dans ce chapitre, un vecteur sera simplement un ´el´ement de Kn, pour n≥1.
2.2 D´efinition de l’espace vectoriel Kn
Notation. Un ´el´ement deKnsera not´ev= (v1, v2, . . . , vn). On dit quev estun vecteur et les vi ∈Ksont ses coordonn´ees.
D´efinition 2.2.1. On consid`ere deux op´erations dansKn :
• L’addition de deux vecteursu= (u1, u2, . . . , un) et v= (v1, v2, . . . , vn) est u+v= (u1+v1, . . . , un+vn).
• La multiplication d’un vecteuru= (u1, u2, . . . , un) par un scalaire λ∈Kest λu= (λu1, . . . , λun).
Notation. On note 0= (0,0, . . . ,0) et on l’appelle levecteur nul. Siu= (u1, . . . , un), on note
−u= (−u1, . . . ,−un) et on l’appellel’oppos´e de u.
Proposition 2.2.2. Les op´erations d’addition et de multiplication par un scalaire dans Kn ont les propri´et´es suivantes : pour toutu, v, w∈Kn et tout λ, µ∈K,
1. u+v=v+u (commutativit´e de l’addition)
2. (u+v) +w=u+ (v+w) (associativit´e de l’addition) 3. u+0=u
4. u+ (−u) =0 5. 1u=u, 0u=0.
6. λ(µu) = (λµ)u
7. (λ+µ)u=λu+µu 8. λ(u+v) =λu+λv
D´efinition 2.2.3. On dit que u∈Kn est unecombinaison lin´eaire des vecteurs v1, v2, . . . , vk s’il existe des scalaires λ1, . . . , λk tels que
u=λ1v1+· · ·+λkvk.
Les nombres λ1, . . . , λk s’appellent les coefficients de la combinaison lin´eaire.
Exemple 2.2.4. DansR3, est-ce que (1,1,0) est combinaison lin´eaire de (1,2,0) et de (0,1,0) ? On cherche s’il existe λ1 etλ2 tels que (1,1,0) =λ1(1,2,0) +λ2(0,1,0). On a
(1,1,0) =λ1(1,2,0) +λ2(0,1,0)⇐⇒(1,1,0) = (λ1,2λ1+λ2,0)
⇐⇒
1 = λ1 1 = 2λ1+λ2
⇐⇒
λ1 = 1 λ2 = −1
On a trouv´e la relation (1,1,0) = (1,2,0)−(0,1,0). On remarque que, pour calculer les coefficients λ1, λ2, on a ´et´e amen´es `a r´esoudre un syst`eme lin´eaire.
2.3 Sous-espaces vectoriels de Kn
D´efinition 2.3.1. Soit F ⊂Kn. On dit queF est unsous-espace vectoriel de Kn siF v´erifie les propri´et´es suivantes :
1. F est non vide
2. Pour toutu∈F,v∈F,u+v∈F. 3. Pour toutu∈F,λ∈K,λu∈F.
Exemple 2.3.2. {0} etKn sont des sous-espaces vectoriels deKn.
Remarque 2.3.3. Il est important de remarquer qu’un sous-espace vectoriel contient toujours 0. En effet, si F est un sous-espace vectoriel de Kn alors il contient au moins un ´el´ement u; mais alors il contient aussi 0u =0. Par cons´equent, si F est un ensemble candidat `a ˆetre un sous-espace vectoriel, pour d´emontrer qu’il est non vide le mieux la plupart du temps est de montrer qu’il contient 0.
Il y a deux exemples tr`es importants de sous-espaces vectoriels de Kn, que l’on va voir maintenant.
2.4 Premier Exemple
Le premier exemple de sous-espace vectoriel deKnest l’ensemble des solutions d’un syst`eme d’´equations lin´eaires homog`ene.
Proposition 2.4.1. L’ensemble des solutions d’un syst`eme d’´equations lin´eaires homog`ene `a k´equations etninconnues est un sous-espace vectoriel de Kn.
D´emonstration. SoitS l’ensemble des solutions du syst`eme lin´eaire homog`ene (S) :
(S)
a1,1x1+a1,2x2+· · ·+a1,nxn = 0 a2,1x1+a2,2x2+· · ·+a2,nxn = 0
... ak,1x1+ak,2x2+· · ·+ak,nxn = 0
On remarque d’abord que 0 ∈ S, donc cet ensemble n’est pas vide. Soit u ∈ S et v ∈ S, on doit v´erifier que u+v∈ S, soit que, pour tout 1≤i≤k,
ai,1(u+v)1+ai,2(u+v)2+· · ·+ai,n(u+v)n= 0.
On a, avec w=u+v :
ai,1w1+ai,2w2+· · ·+ai,nwn=ai,1(u1+v1) +ai,2(u2+v2) +· · ·+ai,n(un+vn)
=ai,1u1+ai,1v1+ai,2u2+ai,2v2+· · ·+ai,nun+ai,nvn
= (ai,1u1+ai,2u2+· · ·+ai,nun) + (ai,1v1+ai,2v2+· · ·+ai,nvn)
= (ai,1u1+ai,2u2+· · ·+ai,nun)
| {z }
=0
+ (ai,1v1+ai,2v2+· · ·+ai,nvn)
| {z }
=0
= 0.
On doit v´erifier ´egalement queλu∈ S :
ai,1(λu)1+ai,2(λu)2+· · ·+ai,n(λu)n=ai,1(λu1) +ai,2(λu2) +· · ·+ai,n(λun)
=λ(ai,1u1+ai,2u2+· · ·+ai,nun)
=λ(ai,1u1+ai,2u2+· · ·+ai,nun)
| {z }
=0
= 0.
Exercice. Montrez que, si le syst`eme lin´eaire n’est pas homog`ene, l’ensemble de ses solutions n’est pas un sous-espace vectoriel.
2.5 Deuxi`eme Exemple
Le deuxi`eme exemple de sous-espace vectoriel est construit `a partir d’un ensemble fini de vecteurs v1, . . . , vk en prenant toutes leurs combinaisons lin´eaires.
D´efinition et Proposition 2.5.1.Soitv1, v2, . . . , vkdes vecteurs deKn. On note Vect(v1, . . . , vk) l’ensemble des combinaisons lin´eaires dev1, . . . , vk :
Vect(v1, . . . , vk) ={u∈Kn| ∃(λ1, . . . , λk)∈Kn|u=λ1v1+· · ·+λkvk} Alors Vect(v1, . . . , vk) est un sous-espace vectoriel deKn.
D´emonstration. PosonsF = Vect(v1, . . . , vk). On remarque d’abord que0= 0v1+· · ·+ 0vk∈ F donc F est non vide. Soit u ∈ F, w ∈ F, λ ∈ K. Il existe (λ1, . . . , λk) ∈ Kn tels que u=λ1v1+· · ·+λkvk et il existe (µ1, . . . , µk)∈Kn tels que u=µ1v1+· · ·+µkvk. Alors,
u+v= (λ1v1+· · ·+λkvk) + (µ1v1+· · ·+µkvk)
= (λ1+µ1)v1+· · ·+ (λk+µk)vk∈F.
On a aussi : λu =λ(λ1v1+· · ·+λkvk) = (λλ1)v1+· · ·+ (λλk)vk ∈ F. Donc F est bien un sous-espace vectoriel de Kn.
2.6 Somme et intersection de sous-espaces vectoriels
Dans ce paragraphe nous allons d´ecrire deux fa¸cons de construire un nouveau sous-espace vectoriel `a partir de deux sous-espaces vectoriels.
Proposition 2.6.1. SiF etGsont deux sous-espaces vectoriels deKn, alors leur intersection F ∩G est aussi un sous-espace vectoriel deKn.
D´emonstration. PosonsV =F∩G. On a vu que0∈F et 0∈Gdonc on a 0∈V et celui-ci est non vide. Soit u etv deux ´el´ements de V. En particulier,u etv appartiennent `a F, donc, puisqueF est un sous-espace vectoriel deKn,u+v∈F. Par le mˆeme raisonnement, on montre queu+v∈G. On a donc que u+v∈F∩G=V. De la mˆeme fa¸con, on montre que, si λ∈K etu∈V, alorsλu∈V.
Remarque 2.6.2. Attention, la r´eunion de deux sous-espaces vectoriels n’est pas en g´en´eral un sous-espace vectoriel. La bonne notion est celle desomme de deux sous-espaces vectoriels.
D´efinition et Proposition 2.6.3. Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de Kn, on note F+G et on appellesomme de F et Gl’ensemble
F+G={u+v tels queu∈F etv∈G}.
Alors F+G est un sous-espace vectoriel de Kn.
D´emonstration. Tout d’abord, F +G contient 0 = 0+0 donc il est non vide. Ensuite, on v´erifie qu’il est stable par addition : en effet, si u, u0 ∈ F et v, v0 ∈G, (u+v) + (u0+v0) = (u+u0) + (v+v0)∈F+G. L’ensembleF+Gest aussi stable par multiplication par les scalaires car λ(u+v) =λu+λv ∈F+G.
Remarque 2.6.4. Remarquons queF+GcontientF etG. En effet, siu∈F, on peut ´ecrire u=u+0doncu∈F+G. On peut d´emontrer queF+Gestle plus petit sous-espace vectoriel de Kn contenant F et G.
Chapitre 3
Espaces vectoriels abstraits
Nous commen¸cons par g´en´eraliser la notion d’espace vectoriel mise en ´evidence surKn au chapitre pr´ec´edent dans un cadre abstrait. Lorsqu’un ensemble d’objets math´ematiques entre dans ce cadre, l’id´ee est d’oublier la ’nature’ de ses ´el´ements pour ne retenir que les propri´et´es des op´erations que l’on peut effectuer sur ces ´el´ements.
3.1 D´efinitions
D´efinition 3.1.1. Soit E un ensemble non vide, muni de deux op´erations : une op´eration (ou loi) interne appel´eeaddition et not´ee + :
E×E→E (u, v)7→u+v et une op´eration (ou loi) externe appel´eemultiplication et not´ee·:
K×E→E (λ, u)7→λ·u
On dit que (E,+,·) est un espace vectoriel sur K ou un K-espace vectoriel si les propri´et´es suivantes sont v´erifi´ees :
• L’addition sur E est :
(1) commutative :u+v=v+upour tout (u, v)∈E2
(2) associative : (u+v) +w=u+ (v+w) pour tout (u, v, w)∈E3
(3) poss`ede un ’z´ero’ (appel´e vecteur nul) : il existe0∈E tel queu+0=u, pour tout u∈E
(4) tout ´el´ement poss`ede un oppos´e : pour toutu∈E, il existe un ´el´ement not´e−u tel queu+ (−u) =0.
• La multiplication externe v´erifie : (5) 1·u=u pour toutu∈E
(6) λ·(µ·u) = (λµ)·upour tout (λ, µ)∈K2,u∈E.
• La multiplication estdistributive sur l’addition :
(7) λ·(u+v) =λ·u+λ·v pour toutλ∈K, pour tout (u, v)∈E2 (8) (λ+µ)·u=λ·u+µ·v pour tout (λ, µ)∈K2, pour toutu∈E.
