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Submitted on 1 Jan 1899
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l’attraction universelle
G. Lippmann
To cite this version:
G. Lippmann. Sur la mesure absolue du temps, déduite des lois de l’attraction universelle. J. Phys.
Theor. Appl., 1899, 8 (1), pp.401-407. �10.1051/jphystap:018990080040100�. �jpa-00240379�
401
SUR LA MESURE ABSOLUE DU TEMPS, DÉDUITE DES LOIS DE L’ATTRACTION UNIVERSELLE ;
Par M. G. LIPPMANN.
1. Quoique l’on se serve fréquemment des mesure3 absolues, en physique on parait n’en avoir j amais donné de définitions générales.
Commençons par donner cette définition.
Les mesures dites absolues sont ainsi nommées par opposition
aux mesures arbitraires, seules autrefois employées en physique.
Mesurer une grandeur en valeur arbitraire, c’est prendre le rapport
de cette grandeur à une grandeur de même espèce arbitrairement choisie pour unité. Mesurer une grandeur en valeur absolue, c’est
calculer sa valeur en fonction des paramètres qui la déterminent et
qui sont d’une autre nature que la grandeur à mesurer; en d’autres termes, la valeur absolue d’une grandeur x est donnée par une équa-
tion :
dont le second membre ne contient aucun coefficient arbitraire et ne
dépend que des paramètres x, B, y, ..., qui sont d’une autre nature que x.
C’est ainsi que l’aire d’un rectangle est déterminée si l’on se
donne deux paramètres linéaires oc, B, hauteur et base du rectangle ;
de même, une force est déterminée si l’on se donne une masse m et l’accélération
clx
dt2 que la force lui imprime. Les produits «fi et mx
dt2sont les mesures absolues de l’aire et de la force.
2. L’unité de temps en usage, la seconde, ne fournit qu’une
mesure arbitraire du temps, car la durée du phénomène à mesurer
n’est pas déterminée par la durée du mouvement diurne de la terre.
Si l’on donne, par exemple, la durée de la révolution d’un satel- lite de Jupiter en secondes, on ne fait qu’indiquer le rapport des durées de deux phénomènes indépendants l’un de l’autre, la révolu-
tion du satellite et la rotation de la terre ; et le rapport de deux grandeurs indépendantes l’une de l’autre est une mesure arbitraire.
Pour mesurer en valeur absolue la durée d’un phénomène dû à
l’attraction universelle, il suffit de prendre égal à l’unité le coeffi- cient de l’attraction newtonienne, c’est-à-dire de ne pas écrire ce
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coefficient ; on le supprime fréquemment dans les calculs analytiques,
afin de siniplifier l’écriture, sauf à le rétablir quand on passe aux cal- culs numériques. Il est utile d’en maintenir la suppression dans les
calculs numériques ; le temps se trouve dès lors mesuré en valeur absolue, en fonction d’une unité dont la grandeur concrète est par- faitement déterminée ( 1 ) .
On démontre cette proposition en établissant la relation qui existe
entre la valeur numérique de la constante newtonienne et la gran- deur concrète de l’unité de temps. Cette relation est la suivante : La valeur numérique de la constante newtonienne est indépendante dit
choix des unités de longueur et de )nasse; elle dépend uniquement du
choix de l’unité de temps. Inversentent, la grandeur cle l’intervalle de temps pris pour unité est déterminée sans ambiguïté quand ojz .se
donne la valeur’ numérique cle la constante neqcionienne qui lui cor- respond. Cet énoncé suppose que l’on prenne, comme d’ordinaire, la
masse 1 égale au produit du volume par la densité, l’unité de volume
étant le volume d’un cube qui a l’unité de longueur pour côté, l’unité
de densité étant celle d’une substance type telle que l’eau.
En désignant par k2 la constante newtonienne, on a les relations
connues :
F étant la force qui s’exerce entre deux masses M et na, séparées par la distance
r, d2x dt2
étant l’accélération, et t le temps exprimé en fonc-tion d’une unité quelconque. En égalant ces deux expressions de la
force F, il vient :
Cette expression de A2 est du degré zéro par rapport aux lon-
gueurs ; car, r et x étant des longueurs, le numérateur est du troi- sième degré par rapport aux longueurs, et il en est de même du dénominateur, car l’unité de masse varie comme l’unité de volume ;
(1) Cette unité de temps absolue exprimée en temps moyen vaut 3862 secondes
ou 1 h 4m 22B
403 k2 est donc indépendant du choix des unités de longueur et de masse.
D ailleurs, on voit que est du degré - 2 par rapport au temps ;
donc la valeur numérique de k est proportionnelle à la grandeur de
l’unité de temps.
Comme exemple de ce qui précède, supposons d’abord que l’on
emploie le système C. G. S. L’expérience donne k = .
38162.
3862 Rempla-çons ensuite le centimètre par le mètre, et le gramme par la tonne ; la valeur numérique de h ne change pas. Il y a donc un intervalle de temps, et un seul, qui donne k = 1 : 3862 c’est celui que nous appe- lons la seconclCJ. Ledit intervalle de temps est donc complètement
défini par le nombre 1 bien que ce nombre ne soit pas défini 3862
comme le rapport de la seconde à un autre intervalle de temps arbi-
trairement choisi pour unité. En d’autres termes, imaginons qu’un
observateur se soit transporté en un lieu où il ne puisse plus obser-
ver le mouvement diurne, qu’il n’ait emporté ni chronomètre réglé,
ni même un exemplaire du mètre, mais qu’il ait eu la précaution de
noter le nombre 1 3862 et d’emporter une bouteille d’eau ; il ne lui en
faudra pas plus pour reconstituer la seconde.
Il résulte de la proposition démontrée plus haut que, parmi tous
les intervalles de temps qu’il est possible de prendre pour unité, il y
en a un, et un seul, qui permet de trouver k - 1. Supposons-le adopté
et appelons 0 l’expression du temps ainsi mesuré. Les relations (1)
et (2) sont remplacées par les relations plus simples :
On peut donner des résultats précédents une seconde démonstra- tion, qui a peut-être le défaut d’être trop brève, et qui est la sui-
vante : Etant donné le système des relations (1) et (2), où l’unité de temps est quelconque, effectuons un changement d’unité de temps
défini par l’équation :
0 étant l’expression du temps en fonction de la nouvelle unité. On
obtient les relations (3) et (4) qui ne contiennent plus k. D’autre part, l’équation (:5) exprime que h est la valeur numérique de l’ancienne unité en fonçtion de la nouvelle, c’est-à-dire de l’unité qui donne
pour la constante newtonienne la valeur numérique 1. Exemple, dans
le cas de la seconde, A
= 3862;
3862 1 ; donc la seconde vaut 3862 3862 de l’unité absolue.Il est remarquable que le système des équations (2) et (3) se tromve
déterminer par leur seule forme une grandeur concrète, celle de l’unité de temps. C’est ainsi que la base des logarithmes dits naturels
est définie analytiquement et non choisie a priori. Pour définir les
logarithn1es vulgaires, à base arbitraire, il faut introduire un coeffi-
cient, un module, qui est le logarithme naturel de la base arbitraire.
De lnème, dans le problème qui nous occupe, pour rendre l’unité de temps arbitraire, il faut introduire un coefficient fi qui est la mesure
en valeur absolue de l’unité de temps arbitraire que l’on veut
employer. Il est donc permis, par analogie, d’appeler heure naturelle l’intervalle de temps qui, pris pour unité, fournit le système des équations (3) et (4). Nous disons heure naturelle, parce que cette unité est voisine de l’heure vulgaire.
3. On peut donner de cette unité de temps plusieurs définitions
physiques, en appliquant sa définition analytique-à une série de cas particuliers. Supposons, par exemple, un point matériel gravitant
autour d’une masse M en décrivant une orbite circulaire de rayon a
pendant le temps 0 ; on a 0= 2z Va3 M a3 Si 1B1 est la masse d’un cube
d’eau qui aurait a pour côté, le radical devient égal à 1; le point
matériel est, dans ce cas, l’aiguille d’une horloge absolue; il décrit
un arc égal au rayon pendant chaque unité de temps. Il suffit, d’ail- leurs, de connaître M et a pour en déduire C-); d’une manière géné- rale, tout phénomène de gravitation, dont la durée est calculable au
moyen des équations (2) et (3), fournit la mesure absolue d’un inter- valle de temps.
Il en est ainsi, en particulier, des oscillations d’un pendule de lon-
gueur réduite 1. On a, pour la durée d’oscillations, 8 = 2r L ;
2
Y intensité de la pesanteur, est égal
â a2 M ;
J.B1 estla masse de la Terre ;et a, son rayon. M est égalà 4
3"a3 X 5,5; 5,5 étant la densité de la Terre ;405 d’où :
On obtient ainsi la durée absolue d’oscillation en fonction de la
longueur du pendule, par le seul calcul ; on sait que la longueur du pendule à secondes n’est déterininable que par l’expérience.
Veut-on calculer la longueur du pendule qui exécuterait 3600 oscil- lations pendant une heure naturelle? Il suffit de résoudre, par rap-
port à 1; l’équatiun :
On trouve, pour Paris (1), 1 == 1m,02960.
Bien que l’on puisse ainsi graduer le pendule en valeur absolue et, par conséquent, à la rigueur, se passer de la seconde de temps
moyen, il est évidemment préférable de conserver la seconde comme
étalon de temps, tout en employant l’unité absolue dans les calculs.
Le coefficient de réduction est égal
à 3862 .
3862 On a l’avantage ainsi de pouvoir se servir des horloges en usage, réglées sur le mouvementdu Ciel.
Il reste à indiquer sommairement comment on peut déterminer la valeur de k relative à la seconde. D’abord Ii est la racine carrée de la constante de l’attraction newtonienne, déterminée par plusieurs
auteurs. De plus, l’analyse précédente fait ressortir une propriété
dû k qui peut servir à déterminer ce nombre d’une autre manière.
Calculons la durée d’un mouvement dû à l’attraction newtonienne,
oscillation d’un pendule, déplacement d’un astre, etc., en supprimant
dans ce calcul la constante newtonienne ; puis divisons le résultat de ce calcul par la durée du même phénomène observée en secondes.
Le quotient doit être égal à k.
Ainsi, en appelant M la masse du soleil, a la moyenne distance de la terre, on a pour durée calculée de l’année sidérale :
(1) J’ai fait abstraction, dans les formules données dans le texte, des petites
corrections dues à la latitude et à la force centrifuge du mouvement diurne.
Le quotient de (") par les durées de l’année sidérale observée en secondes est les nombres étant ceux de l’Annuaire du Bureau
3862 cles Longitudes.
De même, en calculant la durée d’une oscillation du pendule à
seconde à l’aide de la formule donnée plus haut :
et en divisant O par la durée observée en secondes (deux secondes)
d’une oscillation double corrigée de l’influence de la force centrifuge
du mouvement diurne, on retrouve le même
quotient 1 3862.
3862 En réalité,le résultat n’est pas identique ; mais la différence numérique ne porte que sur les décin1ales qui suivent la partie entière 3862.
En opérant de même sur la Lune, on trouve la 3862 divergence
est appréciable ; c’est qu’en effet la formule employée, qui est celle
des lois de Kepler, n’est plus suffisamment exacte dans le cas de la Lune.
On peut donc vérifier sous cette forme l’exactitude d’une formule ;
la valeur qu’elle fournit pour k doit être exactes ; c’est une manière de vérifier la concordance de l’observation et du calcul.
4. En résumé, pour mesurer le temps en valeur absolue, il suffit
de prendre la constante de l’attraction newtonienne égale à 1, c’est-
à-dire de ne pas écrire ce coefficient. L’unité de temps alors mise
en usage est entièrement déterminée et indépendante du choix de l’unité de longueur. La seconde de temps moyen est 1 3862e de cette
unité de temps absolue.
Les équations (3) et (4) déterminent à la fois l’unité de temps et
l’unité de force. Cette dernière dépend du choix de l’unité de lon- gueur ; elle est égale à l’attraction de l’unité de masse sur l’unité de masse à l’unité de distance. On peut dire également qu’elle est égale au poids de l’unité de masse à la surface d’une planète qui
aurait l’unité de masse et l’unité de rayon.
Enfin l’on peut remarquer que, si l’on faisait usage du système précédent, les quantités électriques électrostatiques auraient des
407 formules de dimension très simples : la masse, le potentiel, le champ, etc., électrostatiques auraient même dimension que la masse, le potentiel, le champ neivtoniens.
LA CONSTANTE a DES DIAMÈTRES RECTILIGNES ET LES LOIS DES ÉTATS CORRESPONDANTS ;
Par M. E. MATHIAS.
§ 1. - Soit un corps possédant un diamètre rectiligne (1) ; la quantité a dont la constance est nécessaire et suffisante pour que les lois des états correspondants s’appliquent au diamètre est donnée
par:
e et à étant la température absolue et la densités critiques, - tang «
le coefficient angulaire du diamètre. Pour avoir a et par surcroît A,
il n’est pas nécessaire de pouvoir tracer la courbe des densités, c’est-à-
dire d’avoir (ait une étude complète des deux deyasités; il suffit d’avoir le sommet K de la courbe des densités et l’angle a. Oa y arrive, con-
naissant : 1° deux ou plusieurs densités de liquide à des températures
inférieures ou égales au point d’ébullition normale (2) ; 2° la tempé-
rature critique ; 30 la densité de vapeur du corps considéré ; 4° la
marche approximative de la tension de vapeur avec la température.
A la densité de liquide 0 relative à la température T = 273 + t correspond la densité de vapeur saturée 6’; celte densité, si p?tite qu’elle soit pap rapport à 0, n’est jamais néy1igea5le dans le calcul exact de tang u.. On la calculera par l’application des lois de Wariotte et de Gay-Lussac (3).
(1) Voir J. cle Ph,1/«,, 3e série, t. 1, p. 53 ; t. II, p. 5 et 224 ; 1892-1893.
(2) Ce sont précisément les densités de liquide déterminées à t’t façon ordinaire
- sous la pression cle l’atmosphère - et qLll, p’lf conséquent, se rapportent à un liquide légèrement comprimé; mais la légère erreur par excès qui en résulte est tout à fait négligeable pour le but à atteindre ici.
(3) Si l’on multiplie cette densité théorique par le rapport k de la densité de vapeur saturée l’éelle à la densité théorique, rapport détern1Îné par les belles expériences du professeur S. Young [Voir Generalisations o f Va ’2 der Waals (Phil. 1Bfag., 5e série, t. XXXII, p. 114, table XVII)], l’incertitu1e du calcul de a,
