HYDRODYNAMIQUE ET EFFETS DE TAILLE DANS L'HÉLIUM SUPERFLUIDE

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HYDRODYNAMIQUE ET EFFETS DE TAILLE DANS L’HÉLIUM SUPERFLUIDE

E. Guyon

To cite this version:

E. Guyon. HYDRODYNAMIQUE ET EFFETS DE TAILLE DANS L’HÉLIUM SUPERFLUIDE.

Journal de Physique Colloques, 1970, 31 (C3), pp.C3-17-C3-27. �10.1051/jphyscol:1970302�. �jpa-

00213845�

JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C 3, supplément au n° 10, Tome 31, Octobre 1970, page C 3 - 17

HYDRODYNAMIQUE

ET EFFETS DE TAILLE DANS L'HÉLIUM SUPERFLUIDE

E. GUYON

Physique des Solides, Faculté des Sciences, 91, Orsay, France

Résumé. — Cette communication rappelle l'application de l'hydrodynamique à deux fluides dans l'hélium superfluide à l'étude des ondes qui s'y propagent.

Les propriétés du premier et du deuxième son sont décrites brièvement. On s'attache aux pro- priétés du quatrième son qui est une onde de densité et température pour des systèmes poreux, en tenant compte en particulier de la contribution possible du fluide normal. Le quatrième son et le troisième son, qui est une onde de surface dans le film de Rollin, permettent une évaluation des effets de taille. Ces résultats sont comparés avec d'autres mesures.

Abstract. — We review some of the basic conclusions obtained from the two fluid hydrodynamics in superfluid helium and we apply them to the sound waves which propagate in He II. The pro- perties of first and second sound in bulk He II are reviewed briefly. Then we discussed the properties of 4th sound in porous system in particular in cases where the normal fluid is partially unlocked.

Fourth sound and third sound, which is the surface wave in the superfluid film give informations for finite size systems (superfluid density, critical velocity). These results are compared with other direct measurements.

Introduction. — Les effets thermomécaniques étu- diés en particulier à partir de phénomènes ondulatoires ont joué un rôle essentiel dans la compréhension des propriétés de l'hélium liquide en dessous du point X (phase superfluide ou hélium II). Quatre types d'onde ont été décrits théoriquement et observés : le premier son [1] [2] est dû à une variation périodique de pres- sion à entropie constante et correspond à l'onde acoustique habituelle. Ses propriétés (vitesse, atté- nuation) varient de façon relativement continue de part et d'autre de T

. Le second son [1] [3] [4] est associé à des fluctuations périodiques d'entropie et n'existe que dans la phase superfluide. (Son existence a été prédite aussi pour des solides diélectriques dans lesquels les seules excitations présentes sont des phonons [5].) Le troisième [6] [7] [8] et le quatrième son [6] [9] ne se rencontrent que dans l'He II et sont dus à l'absence de viscosité de l'He II contenu dans des systèmes de taille finie. Ils traduisent respective- ment la propagation d'une onde dans des systèmes poreux et dans le film superficiel d'He II présent sur des surfaces solides (film de Rollin).

Nous rappellerons dans une première partie de cette communication l'utilisation d'un modèle à deux fluides qui permet de décrire ces différentes ondes et leurs relations. Nous donnerons très rapidement les résultats expérimentaux les plus récents de mesures de premier et de second son qui mettent en évidence un comportement critique au voisinage immédiat du point A. Nous présenterons ensuite les propriétés de quatrième et de troisième son pour lesquels les effets de taille finie entraînent des modifications importantes des propriétés critiques telles que la

température de transition à l'état non superfluide.

Les effets de taille seront comparés à d'autres expé- riences de transport continu dans l'Hélium.

I. Propagation du son dans l'hélium II. — Nous nous limitons à une situation où les modifications de température et de densité dans le liquide sont faibles.

Dans cette limite les écoulements de chaleur sont proportionnels aux gradients thermiques et la viscosité ne dépend pas de la vitesse du fluide. On ne considère pas ainsi les effets de turbulence que l'on observe au- dessus d'une certaine vitesse critique. Dans ces condi- tions la propagation d'ondes dans l'He II est assez bien décrite par un modèle à deux fluides [1] intime- ment mélangés et appelés respectivement fluide normal (n) et superfluide (s). Le fluide normal est un fluide visqueux entropique. Le superfluide s'écoule sans viscosité dans des systèmes de petite taille (super- filtres) où le fluide normal est pratiquement bloqué.

Il ne transporte pas d'entropie [10]. Au voisinage de T

, p

tend continûment vers zéro.

Les densités relatives de ces deux fluides, p

et p

sont telles que

(1.1) p est la densité de l'hélium qui reste à peu près cons- tante de T

à 0 °K. Les deux fluides se déplacent à des vitesses v

et v

telles que le courant massique total soit (1.2) L'équation de continuité pour la conservation de la masse s'écrit

2

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1970302

C 3 - ¹⁸ E. GUYON

On peut aussi écrire une équation de continuité PS

pour l'entropie ( S est l'entropie par g du liquide) 52 ^{= -} P (vn - v,) (1.9) transportée par le fluide normal

t1 et 5, traduisent le mouvement d'ensemble et le

~ ( P S )

(1.4) mouvement relatif des deux fluides.

V(pSvn) +

^{= O} .

Les équations hydrodynamiques deviennent Le mouvement d'ensemble du fluide est lié aux dp

forces de pesanteur et de pression P, par - + p v g 1 = 0

at (1.10) (+ 1.3)

Le terme Rp, v,, traduit la résistance dynamique à l'écoulement du fluide normal. Le terme est important dans les propriétés des systèmes poreux ($3).

Il nous faut enfin une équation de mouvement de superfluide. Pour l'établir simplement, considérons la situation de deux récipients portés à des températures et pressions voisines Tl, Pl ; T,, Pz et connectés par un tube de longueur dx suffisamment fin pour que l'on puisse négliger le mouvement du fluide normal.

Le mouvement du superfluide est dû à deux forces ; la force habituelle - p,/p (Pz - P,)/dx due au gra- dient de pression qui cause le déplacement de la frac- tion superfluide. D'autre part en l'absence de gradient de pression (Pz = Pl), la différence de température entraînera, en régime permanent, le déplacement du superfluide de la région froide vers la région chaude où il se transformera en fluide normal absorbant de l'entropie. La force par unité de volume de fluide est

Dans le régime linéaire les modifications de la pression et de la température à partir de leur valeur d'équilibre peuvent s'exprimer à l'aide des variations de densité et d'entropie.

d'où les équations obtenues à partir de (1.6) et (1.7)

D'une façon plus générale on obtient A partir des équations (1.3) et (1.4) on obtient

En pratique lorsqu'on étudiera des écoulements superfluides dans des conduits de petite taille il convien- dra d'étudier simultanément avec soin le rôle des deux termes. A 1,7

l'effet d'une différence de pres- sion due à une dénivellation de 1 cm d'He est compensée par une différence de température de 2 x OK. De (1.5) et (1.6) on tire une équation de mouvement du fluide normal

Les équations (I.2), (I.3), (I.4), (I.6), (I.7), décrivent l'hydrodynamique à deux fluides de I'HeII. Il sera commode de réécrire ces équations en utilisant un changement de variables proposé par Tisza [Il] [12]

LI31

Les équations (1.14) et (1.15) expriment que le flux global des deux fluides à travers un volume fermé est associé à des variations de densité et que le flux relatif (convection mutuelle) est relié à celles d'entropie.

Si l'on porte dans les équations (1.12) et (1.13)

on obtient après dérivation par rapport au temps :

HYDRODYNAMIQUE ET EFFET DE TAILLE DANS L'HÉLIUM SUPERFLUIDE C 3 - 1 9

Les équations (1.16) et (1.17) sont des équations couplées en 5 , et 5,. Négligeons provisoirement les termes de couplage et supposons que R = O c'est- à-dire que les effets de viscosité du fluide normal sont négligeables (cas de l'hélium II contenu dans un récipient de taille macroscopique). La solution d'onde plane de l'équation (1.16) est une onde adiabatique de pression-densité appelée « premier son » telle que les deux fluides se déplacent en phase (v, ⁼ v,). Sa vitesse cl est telle que

ce qui est la forme usuelle de la vitesse du son dans un liquide.

La solution de l'équation (1.17) est une onde de vitesse c , :

C, est la chaleur spécifique à pression constante.

Dans cette première approximation 5 , ⁼ O. L'onde de « secondson » est due à des fluctuations harmoniques d'entropie à densité constante. Cette dernière condi- tion est obtenue par le déplacement en opposition de phase de deux fluides.

Pour étudier plus précisément l'importance du couplage entre les fluctuations d'entropie on peut chercher des solutions d'ondes planes pour 5 , et

52 de la forme coi ^{ei(ot-qx) i =} 1'2. En partant dans (1.16) et (1.17) on obtient 2 équations homogènes en <,, ^{et 5,,} dont le déterminant des coefficients doit s'annuler. Celui-ci s'écrit après quelques lignes d'un calcul élémentaire [13] :

Dans cette expression q, = olc,, q, = o l c , et q4 = w/c4 avec

2

P s z P z

c4 = - c l + A c 2 + 2 s - ps (1.21)

P P (3,

Dans l'hélium II Cp et C, sont très voisins et le terme a est très petit. Si on pose a = O, en l'absence d'effet visqueux l'équation 1.20 s'écrit

On trouve bien les ondes de premier et de deuxième son. Le terme a introduit un faible couplage entre la température et la densité : La fluctuation thermique associée à l'onde de premier son est due au coefficient de dilatation thermique de l'hélium. Le résultat doit être opposé aux résultats dans les mélanges dilués d'He, dans l'He4 où les équations couplées font appa- raître des ondes de premier et deuxième son associées toutes deux à des fluctuations de T et p [14].

II. Le premier et le deuxième son. -Nous nous limiterons à une discussion schématique et partielle de quelques résultats récents de mesures de vitesse, atténuation et dispersion du premier et second son.

Nous nous attachons aux comportements près de TA, à partir desquels on peut obtenir des informations sur les effets de fluctuations critiques. Une étude détaillée des mécanismes d'atténuation demande en particulier une analyse des modes d'excitation de l'hélium II (phonons, rotons) et peut être trouvée dans les ouvrages de Khalatnikov [15] et Wilks [16].

II. A. CAS

- La vitesse du son ordinaire dans l'hélium est portée en fonction de la température sur la figure 1 (courbe a). Elle présente

FIG. 1. - Courbe a : vitesse du le' son. Courbe b : vitesse du

4e son dans les systèmes poreux. La vitesse de ce mode s'annule

TA comme celle du 2e son, c ~ ( T ) . Dans les systèmes poreux où

le fluide normal est imparfaitement fixé l'atténuation augmente.

C 3 - 2 0 E. GUYON

un minimum autour de TA. Celui-ci peut être relié au couplage entre le premier et le deuxième son qui est important à cause de l'augmentation du coefficient de dilatation près de TA. La figure 2 donne le coeffi-

Temperature

pK)

FIG. 2. - Atténuation de ronde de le' son en fonction de T mesurée a 12 MHz (d'après 16).

cient d'absorption du premier son à 12 MHz en fonction de T. La dépendance en température et en fréquence assez loin du point lambda est d'une analyse complexe [15] 1161. Au voisinage immédiat du point lambda l'atténuation du premier son devient très grande. Une étude précise de la variation du premier son très près de TA a été faite par Barnatz, Rudnick [17] et Williams [18] : la variation de la fréquence de résonance d'une cavité cylindrique excitée par un transducteur acoustique permet une mesure continue de la vitesse du premier son. Le coefficient d'atténuation de cette onde est inversement proportionnel à l'inverse du coefficient de qualité de la cavité. La dispersion de la vitesse en fonction de la fréquence peut, elle aussi, être mesurée d'une façon continue en suivant simultanément la variation de fréquence de résonance pour plusieurs modes propres.

Les résultats d'une mesure où on a laissé remonter la température d'elle-même au-dessus du point lambda sont donnés figure 3. Le point lambda est le point de changement de pente de la variation en fonction du temps d'une résistance au germanium placée au centre de la cavité. On voit que les différentes propriétés varient continûment autour du point lambda et présentent toutes des extrema en dessous de TA.

Landau et Khalatnikov [19] ont les premiers cherché à relier le maximum d'atténuation à l'existence d'un temps de relaxation finie, z, d'un paraaètre d'ordre superfluide. Au voisinage de la transition, ce temps de relaxation devient très grand (cf. opalescence critique d'un fluide près de son point critique).

L'approche de Landau conduit à une forme de z = AIT, - T liée à une expression de l'atténuation a = x oz ~ / ( 1 + oz 2'). Cette forme prédit un déplace- ment du maximum de l'atténuation à une température telle que oz ⁼ 1 en accord avec le déplacement observé figure 3. Néanmoins, suffisamment loin de

FIG. 3.

Enregistrement simultané autour de T, de la varia- tion de température (mesurée par une résistance de Ge) de la vitesse, atténuation et dispersion d'une onde stationnaire de le' son. La dispersion est obtenue en mesurant simultanément les fréquences de résonance de deux modes bien séparés en fréquence. Les extrema de ces quantités sont déplacés par rap- port a T, déterminé comme le point de changement de pente de

la résistance.

TA (o 1 z 1 < l), elle prédit une atténuation variant

en 1 T, - T 1-" avec n ⁼ 1. Les résultats expérimen-

taux de Barnatz et Rudnick donnent n = 3 pour T > TA et n = 1 pour T < TA. Imai [20] a mesuré directement l'amortissement exponentiel d'une onde de premier son de 1 MHz produite entre deux plaques parallèles et obtenu des valeurs n = 4 pour T 5 T les expériences indiquent donc un comportement plus complexe mettant en jeu simultanément d'autres mécanismes [21]. Mentionnons enfin l'utilisation de la diffusion Brillouin par les fluctuations de densité à la mesure de la vitesse et atténuation du premier son à très haute fréquence [22].

II. B. CAS

La figure 4 (courbe a)

montre la variation de la vitesse du second son avec

la température. Au voisinage de TA, cz(T) tend vers

zéro comme p,/C, (formule T . 19). Le comportement

critique a été étudié par Tyson et Douglass [23j

et plus récemment par Johnson et Crooks [24] en

utilisant comme générateur de second son une résis-

tance alimentée par un courant alternatif placée sur

une paroi d'une cavité de second son et en détectant

les modes résonants à l'aide d'un bolomètre situé

sur la paroi opposée. Néanmoins cette méthode intro-

HYDRODYNAMIQUE ET EFFET DE TAILLE DANS L'HÉLIUM SUPERFLUIDE ' 2 3 - 2 1

FIG. 4. - Le mode d'onde thermique se propageant dans un système poreux, lorsqu'on diminue progressivement la taille des pores, du second son caractéristique de ?He II massif à des ondes progressivement plus atténuées. a : r

O ; b

r

0,24 ;

c : r

0,7; d : r

1,3 o u r

Rlwr.

duit nécessairement un apport parasite continu de chaleur qui risque de limiter la précision des mesures très près de TA. Récemment Williams et al. [25] ont produit des ondes stationnaires de second son en remplaçant la plaque vibrante continue d'un transduc- teur acoustique d'un résonateur cylindrique de premier son par une plaque vibrante finement perforée. A cause de l'effet thermomécanique le déplacement du super- fluide de part et d'autre du générateur acoustique est associé à une modulation purement alternative de température. Les diverses expériences montrent un bon accord des mesures de second son avec la forme (1.19), obtenue à partir du modèle hydrodynamique, jusqu'à OK de TA. Une détermination complète- ment indépendante de c2(T) peut être obtenue à partir des lois d'échelle [26] 1271 et demande l'évalua- tion du comportement critique de la chaleur spéci- fique, densité et conductivité thermique pour T > TL.

Cette dernière détermination a conduit récemment à des accords avec les mesures de c2(T) jusqu'à

0K de TA. Elle conduit à l'évaluation d'une longueur de cohérence traduisant la portée spatiale des fluctuations du paramètre d'ordre

III. Propagation des ondes dans un système poreux.

- III. A. QUATRIEME

- NOUS reprenons la discussion

de 1 en conservant le terme de viscosité du fluide normal (R # O) [12] [13]. Regardons d'abord le cas limite où R + co, ce qui est le cas pour une onde qui se propage dans un milieu poreux dont les pores ont une taille petite devant la longueur d'onde visqueuse du fluide normal A,. Classiquement on a A, = (2 y/p, 0)1'2 à la fréquence o ; y, est le coefficient de viscosité du fluide normal. Au voisinage de TA où p,

p on trouve A, = 5 x cm. Pour des systèmes poreux de taille d = 10' à IO4 A à des fréquences de IO3 à IO5 Hz on a d < A, et il est raisonnable de négliger le déplacement du fluide normal.

L'équation (1.20) s'écrit alors (iq2lq:) - 1 = 0 et permet de prévoir l'existence d'une onde de vitesse c4 donnée par (1.21) prédite par Atkins [6] et appelée

« quatrième son ». Elle est due à l'oscillation pério- dique de la fraction superfluide et est associée à une fluctuation du premier ordre en température et en pression. En pratique les deux derniers termes de l'expression (1.21) conduisent à des corrections infé- rieures à 1 % [29]. Le terme principal est de la force c: = (p,/p) ci (III. 1). Cette dépendance se comprend bien si l'on regarde l'équation de continuité (1.3) : en présence d'une force extérieure seule la fraction p,/p se déplace. L'équation

ap ÛP

- at + ^VP,

^{= - at} + ^p,

^{= O}

remplace l'équation 1.3. Dans l'onde de quatrième son les effets thermiques sont faibles et (1.6) s'écrit

d'où là l'équation approchée

d'une onde de quatrième son se propageant à la vitesse c4 donnée par (III. 1).

Cette vitesse ne dépend pas d'une description détaillée de la loi de répartition et taille des pores.

Les grains agissent comme des centres de diffusion immobiles causant une diminution globale de la vitesse de phase. La vitesse c4(T) obtenue à partir de 1.21 est portée sur la figure 1 (courbe b) et est comparée à celle du premier et du second son. Rudnick et Shapiro [9] ont observé les premiers une onde de quatrième son ayant cette dépendance en T très faible- ment atténuée dans des systèmes à larges pores (d - ^{1 p)} où les effets de taille discutés en III. B sont négligeables. On peut déduire de ces mesures une détermination expérimentale de la densité superfluide.

La figure 5 donne en coordonnées logarithmiques

p,(T)/p détermine à partir des mesures de quatrième

son dans des poudres d'A1203 (d - ^{1 p)} et décrite

par une loi

E. GUYON

(III. 2) avec A - ^{1,41 pour T, - 1/10 OK < T < T .}

Le résultat est en accord avec la mesure faite près

FIG. 5. - mesurée

- Tracé en coordonnées log-log de la densité superfluide par 4e son dans une poudre d'Al203 (taille des grains

104 A)

et par mesure gyroscopique (O).

de TA par Tyson et Douglass [30] à l'aide d'un visco- simètre à disques oscillants initialement utilisé par Andronikashvili [31]. Tyson obtient A = 1,43. Souli- gnons la similitude entre cette mesure et celle de quatrième son. Dans l'expérience de disques oscillants la distance entre les disques est aussi inférieure à la profondeur de pénétration de l'onde visqueuse du fluide normal. Le fluide normal seul oscille avec les disques et contribue au moment d'inertie du système de disques. La mesure de la densité du superfiuide est liée au blocage du fluide normal dans ces deux cas.

Clow et Reppy [32] ont déterminé la variation de ps(T)/p en mesurant par une technique gyroscopique le moment angulaire, L, d'un volume d'He I I contenu dans un récipient annulaire rempli d'une substance poreuse grossière qui a pour but d'augmenter la vitesse angulaire critique oc et L. On forme un courant persistant en refroidissant l'hélium en dessous du point lambda « sous rotation ». Une fois celle-ci arrêtée, on remarque que L varie comme p,(T)/p.

Clow et Reppy en ont ainsi tiré une détermination de la densité superfiuide portée sur la figure 5 en excellent accord avec la forme ( I I I . 2). Cette détermination n'est pas totalement consistante. Elle suppose en particulier que oc est indépendant de la température jusqu'au voisinage immédiat de TA ce qui n'est vrai que pour des systèmes à larges pores. Ultérieurement Clow et Reppy [32] ont aussi déterminé indépendam- ment oc : le récipient d'hélium est refroidi à une tem- pérature T, < TA à une vitesse o. Tant que o < oc, la valeur de L à la température T, varie comme o. A

partir de la valeur o = oc, L reste constant. Les mesures de oc pour plusieurs poudres sont portées

sur la figure 6. Pour la poudre la plus fine on remarque que près de la température de transition (To = T, - 314 x OK) (voir I I I . B),

oc cc (TA - T ) ~ / ~

varie comme p,/p. Ce résultat a été expliqué par Langer et Fisher [33] dans un modèle de fluctuations où celles-ci prennent place par la formation de tour- billons. Une expérience récente de quatrième son 1341 a permis une détermination simultanée de p,/p et oc.

Un résonateur cylindrique de quatrième son dans lequel on a excité des modes de résonance axiaux est refroidi en dessous du point lambda en le faisant tourner autour de l'axe du cylindre. On étudie les résonances axiales de quatrième son après avoir arrêté la rotation du résonateur. Les modes résonnants sont dédoublés par un effet Doppler dû au mouvement du superfluide. Une mesure simultanée de la fréquence moyenne de résonance et du déplacement Doppler donne simultanément p,/p et oc. Cette méthode d'utili- sation beaucoup plus simple que celle utilisée par Reppy devrait permettre une étude systématique des vitesses critiques de systèmes poreux fins.

FIG. 6 . - La vitesse angulaire critique mesurée gyroscopique- ment [32'] augmente pour les systèmes de petite taille. Au voi- sinage de To

TA - 314 x 10-3 OK la vitesse critique du sys- tème poreux le plus fin varie en (To - T)2/3 z p , .

I I I . B. EFFETS

TAILLE. - Lorsqu'on diminue la

taille moyenne des pores du résonateur de quatrième son, poudres plus fines ou plus compressées, l'allure de ps(T)/p se modifie progressivement par rapport à celle de l'He I I massif obtenue avec des poudres plus grossières (Fig. 7, courbe O) :

a) la température T , d'établissement de l'état superfluide obtenue à partir d'une extrapolation de p,(T)/p à la valeur O diminue notablement ;

b) la transition vers l'état normal pour T + To devient progressivement plus atténuée ;

c) la fraction superfluide augmente moins vite

lorsque T décroît que dans le cas massif. Pour les

HYDRODYNAMIQUE ET EFFET DE TAILLE DANS L'HÉLIUM SUPERFLUIDE C 3 - 2 3 systèmes les plus petits p,/p extrapolé à T = O reste

inférieure à 1.

FIG. 7.

Densité superfluide pour des poudres de petite taille mesurée

partir du 4e son. La vitesse du 4e son (et

a été normalisée à basse température en tenant compte de correction

de « réfraction » due à la porosité du milieu [35].

a) La valeur de Ta est mesurée à partir de la dispa- rition du signal de quatrième son (l'atténuation tend vers l'infini à Ta). Des mesures de vitesse superfluide ont été faites dans les mêmes systèmes poreux et ont donné des valeurs de To en bon accord avec celles de quatrième son [29] [36]. Nous avons rassemblé sur la figure 8 plusieurs déterminations de To mesurées à partir du quatrième son ou d'écoulements critiques, les mesures sont en accord avec une loi de la forme

avec A = 2,5 x IO-".

(III. 3)

-

- 6 - 5

log d

FIG. 8. - L'abaissement de la température d'établissement de l'état superfluide TA - To est portée en fonction de la taille des pores de l'hélium dans des systèmes poreux (figures ouvertes) ou de l'épaisseur du film de Rollin (figures pleines). Il est mesuré de la manière suivante : 1 : 3e son [48] ; 2 : 4e son [29] [35] ; 3, 4

transfert de chaleur [45] [46] ; 5, 6, 7: courants persistants

[32] (d'après [46] [42]).

Dans le cas des poudres, d représente une valeur moyenne de taille de pores [35]. On peut expliquer cette loi de variation à partir d'un modèle phénomé- nologique initialement dû à Ginzburg Pitaievski que nous avons discuté en [29] et 1371. Le paramètre d'ordre superfluide (p, = m 1 ^t,b l 2 où m est la masse de l'atome d'hélium) est fortement diminué au voisi- nage des parois solides [38]. La rigidité spatiale de l'ordre superfluide interdit des variations de 1 ^t,b 1

de portée inférieure à t(T) (voir II. 1). Cette longueur de cohérence a une portée atomique à basse tempéra- ture mais devient grande très près de TA. La limite de stabilité de l'état superfluide est donnée par une rela- tion de la forme d,

t(To) d'où (III. 3).

Cette loi de variation jointe à la détermination III. 3 permet d'estimer la valeur de la longueur de cohérence c(T) 4(Ta - T ) - " ~ A .

b) L'« arrondissement » de la transition en dessous de To est dû en partie à la distribution des tailles de pores dans les différentes régions du système. Cet effet est minimisé à cause de la portée finie des interactions et de l'aspect coopératif de la transition. Au voisinage immédiat de T,, Kriss [35] a pu relier quantitativement la variation de p,(T)/p à la loi de distribution de pores de poudres compressées mesurée à partir d'isothermes d'adsorption. Nous avons aussi mesuré la chaleur spécifique C,(T) de l'hélium contenue dans ces sys- tèmes poreux (la contribution de la chaleur spéci- fique des grains est faible devant celle de l'hélium).

On observe [39] une disparition de la singularité de point lambda et un maximum arrondi de C,(T) à une température T < Ta.

c) Dans les systèmes très fins ou à basse température, ((Ta) reste une fraction appréciable de d, il est rai- sonnable que la valeur moyenne de p,(T = O)/p, reste inférieure à 1.

III. C. CAS

SUPERFLUIDE

FIXÉ. - Ce cas correspond à une valeur grande et finie de R. La résolution de l'équation détermi- nante (1.20) fait alors apparaître des termes complexes qui traduisent l'augmentation de l'atténuation lorsque R diminue [13] : lorsque le fluide normal commence à se déplacer dans le système poreux, son mouvement visqueux entraîne des effets dissipatifs. On a porté sur la figure 1 la modification progressive de la vitesse de l'onde acoustique à partir de la situation limite c4(T) jusqu'au premier son obtenu pour R = O. L'atténua- tion de l'onde diminue de nouveau lorsque R + O car les effets des parois sur le fluide normal deviennent peu importants.

Dans la limite R -+

une autre solution de 1.20 est donnée par q - l = O. Dans cette limite l'onde de second son devient une onde de diffusion thermique.

Lorsque R est fini il apparaît une onde de second son

fortement atténuée. La vitesse de propagation de ce

mode [12] est portée sur la figure 4 pour plusieurs

valeurs de R. Pollack et Pellam [12] ont cherché à

C 3 - 2 4 E. GUYON mettre en évidence I'onde de quatrième son par des mesures thermiques et ont mesuré en fait la vitesse de l'onde atténuée de second son en bon accord avec les formes calculées de la figure 4. Les expériences acoustiques de quatrième son ont été faites par contre dans des systèmes beaucoup plus fins OU cette onde thermique atténuée disparaît.

IV. Onde de surface de l'hélium II. - IV. A. TROI-

SIÈME SON DANS LES FILMS

ÉPAIS. - L'onde de troisième son est une onde de surface du film superfluide d'hé-

condensation

l

evaporation

--- -7

T - ^qS - - ^qS

film d ' A l

I I A

FIG. 9. - L'onde de 3e son est associée à une modulation d'épais- seur du film et de température. Lorsque le superfluide participe seul au mouvement la température en A s'élève par rapport à celle de B. Le transfert de masse par la vapeur renforce I'onde.

lium. Elle est associée à un déplacement périodique du superfluide dans le plan du film (Fig. 9). Le fluide normal ne participe pas à l'onde si i'épaisseur dF du füm est suffisamment petite. En ce sens elle se rapproche de celle de quatrième son : elle est aussi associée à une variation périodique de p et T. Sa vitesse c, varie comme d z et s'annule à TA. Plus précisément pour un film épais, telle que la modification de p,/p aux bords puisse être négligeable, et pour une faible modulation périodique de niveau :

(IV. 1) Nous ne répéterons pas le calcul qui permet d'obte- nir cette vitesse et pourra être retrouvé dans l'article de revue de Atkins et Rudnick [40]. Signalons-en cependant les points caractéristiques : f représente la force de rappel due à l'attraction de Van der Waals par unité de masse du film à la surface libre (f = ~ / d : (IV. 2)). L, représente la chaleur latente de vaporisa- tion par unité de masse. Elle intervient de la façon suivante : lorsque le superfluide passe de la région A à la région B en formant un « creux de vague » en A, par effet thermomécanique la température en B s'abaisse et celle en A augmente. Il y a évaporation d'hélium en A ce qui tend d'ailleurs à renforcer le mécanisme ondulatoire. (On devrait pouvoir observer des ondes de choc de troisième son.) Ce calcul néglige par contre les effets de conductivité thermique dans le liquide et avec le solide qui tendent à atténuer l'ampli- tude de l'oscillation thermique. L'existence du troisième son a été prédite de façon précise par Atkins [6] en

1958 et observée par lui-même et ses collaborateurs [7]

en 1962 à l'aide d'une technique ellipsométrique utilisée initialement par Jackson [41] pour mesurer l'épaisseur statique de films d'hélium II. Le troisième son était excité en évaporant périodiquement le film d'hélium le long d'une mince bande à l'aide d'un faisceau infra-rouge et l'amplitude de la variation périodique d'épaisseur détectée en fonction de la distance à cette bande. Ceci a permis une mesure de vitesse en accord raisonnable avec la forme (IV. 1) et d'atténuation de l'onde.

IV. B. EFFETS DE

-Plus récemment nous avons mesuré c3(T) en produisant et détectant I'onde de troisième son thermiquement [a]. Deux bandes parallèles étroites de films minces d'Al sont déposées sur la surface où on veut étudier l'onde de surface.

Le premier film alimenté en courant alternatif de fréquence variable produit une onde de troisième son.

Le second film (thermomètre) est au milieu de sa transition résistive supraconductrice. On peut ajuster sa température critique en variant l'épaisseur de l'aluminium, le courant qui le traverse et éventuelle- ment en appliquant un champ magnétique externe ; une faible modulation de température entraîne alors une modification importante de la résistance de i'alu- minium. Cette méthode est bien adaptée à l'étude de films minces d'He II pour lesquels la conductivitk thermique du film superfluide, qui limite la fluctuation thermique, est faible. Il est en fait très difficile de détecter thermiquement l'onde de troisième son avec les films épais utilisés par Atkins.

L'épaisseur du film superfiuide présent sur les parois verticales d'un récipient contenant de l'He II diminue lorsque la hauteur h au-dessus du niveau libre du liquide augmente. En écrivant que le film est en équilibre sous l'action des forces de Van der Waals (IV. 2) et de pesanteur, on obtient :

( ~ 1 3 ) K

- = gh

d , = (IV. 3)

4

On peut varier plus simplement d, en formant le film dans la vapeur d'hélium à une pression p infé- rieure à la pression de vapeur saturante po(T) où T (< TJ est la température du film. On dit que le film est « non saturé ». On obtient comme pour (IV. 3) une valeur d'équilibre dF telle que

Pour fixer les ordres de grandeur, une valeur de p/po = 0,6 correspond à une épaisseur d, de l'ordre de

5 couches atomiques.

Lorsque l'épaisseur d, diminue (p/po(T) diminue)

la température d'établissement de l'état superfluide

est abaissée en dessous de TA. La figure 8 rassemble

les valeurs de To obtenues à partir de diverses tech-

niques sur des films : mesures de courant super-

HYDRODYNAMIQUE ET EFFET DE TAILLE DANS L'HÉLIUM SUPERFLUIDE C 3 - 2 5

fluide [42] [43], mesures de transport thermique [44]

1451 [46], et enfin détermination à partir de la mesure de disparition de signal de troisième son [47] [48].

Les expériences de troisième son ont aussi montré

FIG. 10. - Variation de la vitesse du 3e son dans des films non saturés [48]. Les expériences sont faites à une température fixe.

En diminuant la pression

- p croit) on diminue I'épaisseur du film. Le signal de 3e son disparaît pour une valeur corres- pondant à peu près au maximum de c3. Les courbes en traits pleins sont calculées d'après un modèle de champ moyen [48].

une forte dépendance de la loi de variation de c3(T) en fonction de l'épaisseur du film (Fig. 10). L'expres- sion (IV. 1) se transforme en utilisant (IV. 4) en

où < ^{p,/p )} représente une moyenne de la densité superfluide sur l'épaisseur d p Cette expression explique la diminution de la vitesse c, des films épais ( p o / p

1).

Par contre, la valeur de T, correspond à une valeur non nulle de c3(T) et donc de <p,/p ). Les courbes en trait plein ont été calculées à partir du modèle phénoménologique en utilisant pour la détermination de < ^{p,/p )} une fonction $(r) s'annulant au contact du solide et de la surface libre. Le modèle prédit bien que c3(T) ne devrait s'annuler que pour des valeurs de d, plus faibles que celles correspondant à To.

Henkel et al. 1431 ont mesuré, à partir de détermi- nation gyroscopique de courants persistants dans des films non saturés, la variation de p, d, avec la tempé- rature. Celle-ci est consistante avec la variation de p,(T) observée par mesures de quatrième son [29]

(voir Fig. 7). De plus ils trouvent, en accord avec les mesures de troisième son, que la vitesse critique super- fluide que l'on peut déduire de ces mesures [49]

s'annule alors que la densité superfluide reste finie.

Deux mécanismes, qui sont en fait reliés, ont été proposés pour expliquer ce désaccord. Le premier met en jeu des effets de fluctuations analogues à ceux

que l'on observe dans des films supraconducteurs très minces ou granulaires (caractérisés aussi par une faible valeur de la longeur de cohérence I: (T)) où la conductivité passe d'une valeur nulle correspondant à l'état superfluide à celle de l'état normal dans un domaine fini de température. On peut aussi relier ce phénomène à l'existence d'un domaine « sans bande interdite » où il serait possihle d'exciter avec des énergies arbitrairement faibles des modes d'excitation tels que des modes superficiels du film [38]. Dans ce domaine p, est non nul bien que la propagation non dissipative du superfluide ne soit pas possible. On peut comparer cette situation à celle d'un film supra- conducteur transportant un courant j(v) où u est la vitesse d'entraînement des électrons. Pour des faibles valeurs de v, j ( v ) augmente. Au-delà d'un maximum v = v,, il devient possible de casser les paires d'élec- trons responsables de la supraconductivité à énergie nulle à cause de l'effet magnétique du courant. Le courant devient alors une fonction décroissante de v.

Dans le domaine sans bande interdite v > v,,, le paramètre d'ordre supraconducteur est non nul mais on ne peut pas observer de supercourants.

IV. C. ONDES

L'HÉLIUM II. -

Signalons enfin la possibilité d'étude d'ondes super- ficielles à la surface de l'hélium I I massif. Un premier mode capillaire » a été étudié expérimentalement par Atkins et Pickar [50]. Dans ce mode, la force de rappel de l'onde est la tension superficielle. Atkins et Pickar n'ont observé en dessous de TA aucun effet caractéristique de l'hydrodynamique à deux fluides.

Ceci n'est pas très surprenant si on compare aux effets de premier son. Il est par contre possible [51]

qu'il existe en dessous du point lambda un mode thermique de surface (correspondant au second son en volume) et associé à la présence de la phase vapeur comme dans le troisième son. Les méthodes ther- miques utilisées pour le troisième son pourraient être utilisées pour mettre en évidence son existence éven- tuelle.

En conclusion, les expériences de propagation d'onde dans l'hélium II sont en excellent accord avec le modèle hydrodynamique à deux fluides, qui n'est malheureusement pas encore bien compris dans le cadre d'une théorie microscopique. L'évaluation des propriétés au voisinage de TA permet des détermina- tions d'exposants critiques que l'on peut relier entre eux [27]. Ces études méritent encore des développe- ments plus près de TA ou à des très hautes fré- quences [28].

L'étude de systèmes de petite taille a permis de

mettre en évidence des modifications très importantes

des propriétés superfluides obtenues de façon très

consistante sur des films et dans l'hélium contenu

dans des systèmes poreux. Nous avons volontairement

exclu une discussion quantitative de ces effets en

termes d'un modèle phénoménologique de champ

moyen analogue à celui qui décrit en particulier les

C 3 - 2 6 E. GUYON

effets de proximité dans les supraconducteurs. A la différence du cas supraconducteur, aucune justifica- tion microscopique satisfaisante n'en a été donnée, bien que son utilisation aux effets de taille donnent des accords étonnamment satisfaisants [47] [48].

L'existence d'une longueur de cohérence variant en accord avec les lois d'échelle 1271 [53] comme II. 1 et affectant profondément les propriétés de systèmes de taille comparable est incontestable. Mais son évaluation exacte à partir des résultats que nous avons présentés dépend du modèle choisi, des condi- tions aux limites [38] et de la géométrie du système.

Récemment, Henkel et al. [54] ont proposé une déter- mination directe de la longueur de cohérence. Ils mesurent le moment angulaire L de courants persis- tants formés dans un film mince d'He II en fonction de l'épaisseur d,. A 1,3 OK, L reste nul pour

puis varie linéairement avec d, pour d, > do,. Ceci suggère qu'à basse température l'effet des parois sur la densité superfluide est essentiellement un effet de surface et permet une évaluation de

t ( T = 1 , 3 0 ~ ) - ^{4 A}

on identifie p, 5 ( T ) à la quantité de fluide normal présent dans l'épaisseur do, - d,, (on a retranché l'effet de la première couche solide). Cette détermi- nation est en très bon accord avec les détermina- tions indirectes. Il semble malheureusement difficile d'étendre ces mesures près de TA.

J'ai eu de très nombreuses discussions sur l'ensemble des sujets de cet exposé avec le Professeur 1. Rudnick et les membres de son équipe. Je tiens en particulier à remercier 1. Rudnick pour son chaleureux accueil durant l'été 1969 à l'université de Californie, Los Angeles et M. A. Kriss et 1. Rudnick pour des commu- nications de résultats non publiés.

Bibliographie

[ l ] LANDAU (L. D.), Zh. Eksperim. i Teor. Fiz., 1941, 11, 592.

[2] TISZA (L.), C . R. Acad. Sci. Paris, 1938, 207, 1035.

[3] PESHKOV (V. P.), Dokl. Akad. Nauk. SSSR, 1944, 45, 365.

[4] PELLAM (J. R.), Phys. Rev., 75.

[5] Voir par exemple PROHOFSKY (E. W.), KRUMHAUSL (J. A.), Phys. Rev., 1964, 133 A, 1403.

[6] ATKINS (K. R.), Phys. Rev., 1959, 113, 962.

[7] EVERITT (C. W. F.), ATKINS (K. R.) and DENENSTEIN (A.), Phys. Rev., 1964, 136 A, 1494.

[8] RUDNICK (I.), KAGIWADA (R. S.), FRASER (J. C.) and GUYON (E.), Phys. Rev. Letters, 1968, 20, 430.

[9] SHAPIRO (K. A.) and RUDNICK (I.), Phys. Rev., 1965, 137 A, 1383.

[IO] Il est tentant de relier la fraction superfluide à la fraction dans l'état fondamental du système de bosons en interaction que constitue l'He II.

Néanmoins, à température nulle, celle-ci ne repré- sente que 1 1 % environ du nombre total d'atomes d'hélium alors que

1. Par ailleurs la fraction condensée ou superfluide est ordonnée dans l'espace des moments. Il serait incorrect d'essayer de représenter les fractions normales et super- fluides comme associées à des types d'atomes d'hélium différents dans l'espace réel.

[ i l ] TISZA (L.), J. Phys. Rad., 1940, 1, 350.

[12] POLLACK (G. L.) and PELLAM (J. R.), Phys. Rev., 1965,137 A, 1176.

[13] KRISS (M.) and RUDNICK (I.), Phys. Rev., 1968, 174, 326.

[14] VINEN (W. F.), J. Physique, même numéro.

[15] KHALATNIKOV (1. M.), Introduction to the theory of superfluidity, W. A. Benjamin, Inc., New York,

1965.

[16] WILKS (J.), The properties of Liquid and solid helium, Clarendon Press, Oxford, 1967.

[17] BARMATZ (M.) and RUDNICK (I.), Phys. Rev., 1968, 170, 224.

[18] WILLIAMS (R.) and RUDNICK (I.), communication privée.

1191 L ~ N D A U (L. D.) and KHALATNIKOV (1. M.), D0kl.

Akad. Nauk. SSSR, 1954, 96, 469.

[20] IMAI (J. S.) and RUDNICK (I.), Phys. Rev. Letters, 1969, 22, 694. Signalons en passant le tour de force

d'une telle expérience. La longueur d'onde de premier son est de 2 000 A ce qui nécessite la réalisation à basse température d'un alignement

((

optique ».

1211 POKROVSKII (V. L.) and KHALATNIKOV (1. M.), Zh.

Eksperim. i Teor. Fiz., 1969,9, 255.

1221 WOOLF (M. A.), PLATZMAN (P. M.) and COHEN (M. G.), Phys. Rev. Letters, 1966, 17, 294.

[231 TYSON (J. A.) and DOUGLASS Jr. (D. H.), Phys. Rev.

Lettevs, 1968, 21, 1308.

[24] JOHNSON (D. 1.) and CROOKS (M. J.), Phys. Rev., 1969, 185,253.

[23] WILLIAMS (R.), BEAVER (S. E. A.), FRASER (J. C.), KAGIWADA (R. S.) and RUDNICK (I.), Phys. Letters, 1969, 29 A, 279.

[26] WIDOM (B.), J. Chem. Phys., 1965, 43, 3892.

KADANOFF (L. P.), Phys., 1966, 2, 263.

[27] JOSEPHSON (B. D.), Phys. Letters, 1966, 21, 608.

&8] Des analyses théoriques récentes (voir par exemple FERRELL (R. A.), proceedings of the 11th inter- national Conference of low temperature physics, St Andrews Scotland (1968)) ont prédit un passage progressif à vecteur d'onde fini du mode de second son hydrodynamique en dessous de TA a un mode de diffusion thermique dans le domaine non hydrodynamique (q2 r ( T ) > 1). La mise en évidence de cet effet demande des études à des trés hautes fréquences et n'a pas encore été faite.

Des prédictions analogues ont été faites pour le passage de l'onde de quatrième son au mode de diffusion pour T > TA dans les systèmes poreux.

[29] GUYON (E.) et RUDNICK (I.), J. Physique, 1968, 29, 1081.

[30] TYSON (J. A.) and DOUGLAS Jr. (D. H.), Phys. Rev.

Letters, 1966, 17, 472.

[31] ANDRONIKASHVILI (E. L.), Zh. Eksperim. i teor. Fiz., 1948, 18,424.

[32] CLOW (J. R.) and REPPY (J. D.), Phys. Rev. Letters, 1966, 16, 887.

[32'] CLOW (J. R.) and REPPY (J. D.), Phys. Rev. Letters, 1967, 19, 291. La méthode gyroscopique est dis- cutée par LIBCHABER (A.), J. Physique (même numéro).

[33] LANGER (J. S.) and FISHER (M. E.), Phys. Rev. Letters,

1967, 19, 560. On peut comprendre de façon

HYDRODYNAMIQUE ET EFFET DE TAILLE DANS L'HÉLIUM SUPERFLUIDE C 3 - 2 7

approchée ce résultat : l'existence d'une cohérence [42] LONG (E.) and MEYER (L.), Phys. Rev., 1952,85, 1030.

de phase superfluide entraîne une limite au gra- [43] HENKEL (R. P.), KUKICH (G.) and REPPY (J. D.), dient de la phase superfluide. La longueur carac- Proc. of the 11th International Conference on téristique de variation est t ( T ) cc l / p s . Comme la Low temperature Physics, St Andrews, Scotland, vitesse superfluide est proportionnelle au gra- 1968.

dient de la phase,

est proportionnel à

En [44] LONG (E.) and MEYER (L.), Phys. Rev., 1955,98, 1616.

fait dans le de Langer et Fisher les _[45] BREWER (D. J.) and MENDELSOHN (K.), Proc. Roy.

tuations d'amplitude jouent un rôle prépondérant. _Soc., 1961, A 60, 1.

[341

(I.1,

(H.)9 ^(W.) and

[46] AHLERS (Guenter), J. low temp. Phys., 1969, 1, 159.

WADA

(R. S.), Phys. Rev. Letters, 1969, 23, 1220.

[35] KRISS (M. A.), Thèse U. C. L. A., 1969. 1471 FRASER (J. C.), thèse U. C. L. A., 1969.

KRISS (M. A.) and RUDNICK (I.), Bull. Am. Phys. Soc., 1481 KAGIWADA (R. S.), FRASER (J. C.), RUDNICK (1.) and

1968, 13, 505. BERGMAN (D.), Phvs. Rev. Letters, 1969, 22, 338.

[36] JONES (B. K.), Phys. Rev., 1969, 186, 164.

[37] MAKI (K.) and GUYON (E.), J. Physique, 1969,30,63.

[38] KUPER (C. G.) (Physica, 1958, 24, 1009) a suggéré qu'au voisinage des parois solides, l'énergie nécessaire pour créer des excitations protons était diminuée d'où une augmentation de la densité normale. Par ailleurs, à cause des forces de Van der Waals, la première couche d'hélium est probablement solide. Ce dernier résultat a été remis en cause par des mesures de superflui- dité sur des monocouches d'Hélium (MANCHESTER (F. D.), Rev. Mod. Phys., 1967, 39, 383).

[39] SCOTT (S. A.), Thèse U. C. L. A. (1969).

[40] ATKINS (K. R.) and RUDNICK (I.), à paraître dans Progress in Low Temperature Physics, Vol. 6.

Edité par C. J. Gorter (North Holland publishing Company, Amsterdam).

[41] HAM (A. C.) and JACKSON (L. C.), Proc. Roy. Soc.

(London), 1957, A 240, 243.

-.

.

[49] PICKAR (K. À.) and ATKINS (K. R.) (phYs. . ~ e v . , 1969, 178, 388), ont mesuré directement la vitesse critique de films superfluides en étudiant la modification d'une onde de troisième son dans un film d'He II en mouvement. Il serait intéressant d'utiliser cette technique à des mesures simulta- nées de ps/p et ^{v c} près de la transition.

[50] ATKINS (K. R.) and PICKAR (N. A.), Phys. Rev., 1969, 178, 388.

[51] PAPOULAR (M.), communication privée.

[52] Il convient encore de distinguer la portée des fluctua- tions d'amplitude de w mesurées par les effets de taille et celle introduite par Josephson [27] reliée à la phase (TYSON (J. A.), Phys. Letters, 1967, 26 A , 183). Les deux longueurs ont le même exposant critique.

[53] HENKEL (R. P.), SMITH (E. N.), REPPY (J. D.), Phys.

Rev. Letters, 1969, 23, 1276.