I. HÉLIUM SUPERFLUIDEPROPRIÉTÉS DE TRANSPORT ET COHÉRENCE DE PHASE DANS L'HÉLIUM SUPERFLUIDE

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I. HÉLIUM SUPERFLUIDEPROPRIÉTÉS DE TRANSPORT ET COHÉRENCE DE PHASE DANS

L’HÉLIUM SUPERFLUIDE

A. Libchaber

To cite this version:

A. Libchaber. I. HÉLIUM SUPERFLUIDEPROPRIÉTÉS DE TRANSPORT ET COHÉRENCE DE

PHASE DANS L’HÉLIUM SUPERFLUIDE. Journal de Physique Colloques, 1970, 31 (C3), pp.C3-5-

C3-16. �10.1051/jphyscol:1970301�. �jpa-00213844�

JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C 3, supplément au n° 10, Tome 31, Octobre 1970, page C 3 - 5

I. HÉLIUM SUPERFLUIDE

PROPRIETES DE TRANSPORT

ET COHÉRENCE DE PHASE DANS L'HÉLIUM SUPERFLUIDE

A. LIBCHABER

Groupe de Physique des Solides, Ecole Normale Supérieure, 24, rue Lhomond, Paris 5

Résumé. — Nous étudions les propriétés de transport de l'hélium superfluide, propriétés de l'écoulement sous et sur critique. Les équations du mouvement du superfluide sont données à partir de deux modèles, l'un hydrodynamique, l'autre à partir de la notion de paramètre d'ordre.

La deuxième partie consiste en une revue des expériences cruciales sur les courants permanents suivie d'une étude des superfuites et du transport dans les films d'hélium. Nous terminons par une analyse expérimentale des effets Josephson-Anderson.

Abstract. — Transport properties of superfluid helium, critical and sub-critical flow, are pre- sented. Experiments on permanent flow and Josephson-Anderson effects are described.

I. Introduction. — Nous nous proposons de trai- ter des propriétés de transport de l'hélium superfluide, propriétés de l'écoulement sous — et sur — critique et nous nous limiterons à l'écoulement linéaire. Une première partie développe les équations du mouve- ment du superfluide à partir de deux modèles, l'un hydrodynamique dans lequel la variable dynamique est la vitesse, l'autre en introduisant la notion de paramètre d'ordre complexe dans lequel la phase de ce paramètre d'ordre devient la variable dynamique.

Dans une deuxième partie nous présenterons les expériences cruciales de courants permanents, en prenant comme exemple les belles expériences de Reppy et al. Nous traiterons ensuite de l'écoulement dans les superfuites et les films d'hélium. Nous ter- minerons par une étude des effets Josephson dans l'hélium superfluide ; l'analogie avec les supracon- ducteurs sera toujours apparente.

L'équation du mouvement du superfluide s'écrit [1, 2, 3] si n est le potentiel chimique

(1) or

(2) donc

(3) où

Pour dv

/dr = 0 ou \fi = 0 on obtient l'effet thermomécanique ou effet fontaine

(4) Dans cette présentation [2] on introduit la super- fluidité par la condition d'un écoulement irrotation- nel soit :

(5) ceci implique que la vitesse superfluide v

est le gra- dient d'un potentiel de vitesse 9

(6) et

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1970301

donc

qui est l'équation du mouvement du superfluide.

Si avS/at = O v(p + 3 mu:) = o . Si on tient compte du fluide normal

v n # O P = P s + P n

et pour un écoulement indépendant du temps on obtient :

de la condition de superfluidité V x v, = O on en déduit que la circulation de la vitesse

ceci n'est vrai que pour une région simplement connexe ; pour aller plus avant il nous faut définir l'état condensé de l'hélium ; comme conséquence de la condensation de Bose-Einstein un très grand nombre d'atomes d'hélium se trouvent dans le même état quantique et possèdent la même fonction d'onde

+, ^{; i ~ / ;} +, représente la densité d'atomes condensés

soit :

l'ensemble des atomes dans la phase condensée se déplace en bloc à la vitesse us et si on considère une région multiplement connexe

avec

la circulation est quantifiée dans une région multi- plement connexe, créée par exemple par une discon- tinuité telle qu'un fil ou une ligne singulière de fluide normal, un tourbillon.

Dans une symétrie cylindrique on a alors

Vinen [4] et plus tard Whitmore et Zimmerman [5]

ont vérifié cette relation de quantification de la circu- lation (voir exposé de Gamotta).

Voilà pour la présentation hydrodynamique de l'écoulement superfluide. Une autre présentation plus élégante a été donnée par Anderson [6, 71.

La superfluidité représente plus qu'un écoulement stable irrotationnel ; elle suppose un ordre à grande portée qui, d'une certaine façon, ignore toute impu- reté ; du point de vue macroscopique qui nous intéresse ici, cela conduit au même type de traitement que l'hydrodynamique.

Rappelons rapidement que l'ordre à grande portée du superfluide est lié à la condensation de Bose de l'hélium ; c'est-à-dire l'occupation d'un seul état quantique par un nombre macroscopique de particules, ce « condensat » se déplace en bloc et a des fluctuations négligeables loin du point A. D'une certaine manière la fonction d'onde de l'état condensé peut être consi- dérée comme un champ classique cohérent, en oppo- sition avec le mouvement essentiellement incohérent des particules non condensées. La dépendance en temps de la fonction d'onde est régie par une équa- tion de champ (analogue à l'équation de Maxwell).

La fonction d'onde de l'état condensé peut s'écrire :

où on suppose que ne varie pas avec la distance (nombre de particules constant).

La vitesse superfluide s'écrit :

Ceci suppose que la structure de l'état condensé n'est pas affectée par l'écoulement, ce qui reste correct tant que v, varie lentement avec la distance. Co repré- sente la distance caractéristique au-dessous de laquelle (1 1) n'est plus valable ; c'est la longueur de cohérence.

De (11) on déduit :

la phase de la fonction d'onde de l'état condensé, d'autre part, doit varier d'un multiple entier de 2 n autour d'une région multiplement connexe, un cylindre creux par exemple, donc

n

et donc

d'où quantification de la circulation. Anderson a

donné une analyse élégante des équations dynamiques

en partant des variables canoniques conjuguées N

et p, N nombre de particules dans l'état condensé et

p phase du paramètre d'ordre

PROPRIÉTÉS DE TRANSPORT ET COHÉRENCE DE PRASE DANS L'HÉLIUM C 3 - 7

les équations du mouvement peuvent s'écrire

. aH

1 -

_aN = CH, cpl

de la seconde on tire :

p est le potentiel chimique

1 2 mP

p = - mu, + ^mgz + ^- + mST

2 P (13)

mu: est l'énergie cinétique, mgz l'effet du champ gravitationnel pour une hauteur z, donc si cp est indé- pendant du temps, p est constant et il ne peut y avoir de différence de potentiel chimique.

A toute différence de potentiel pl - p2 correspond une différence de phase cp, - 9, ; celle-ci peut avoir deux causes :

- des deux équations

- d R Vcp = F somme des forces sur la particule dt

et

h Vcp = mv,

on en déduit qu'en présence de forces le superfluide peut supporter des accélérations sans frottement ;

- plus physique est la notion de glissage de phase par déplacement de quantum de tourbillons, idée développée par Anderson 161. Nous avons introduit précédemment la quantification de la circulation ; celle-ci peut se faire autour d'une région non super- fluide et conduit à la notion de tourbillon quantifié en unités de hlm (équation (9)) et

I ^{Vcp.dl = 2 n n .}

Si un tourbillon est créé et traverse une ligne entre deux points 1 et 2, cp, - cp, va varier dans le temps et on aura d'après (13) :

- représente une moyenne dans le temps où dE/dt est la fréquence de passage des tourbillons ; c'est le concept de glissage de phase.

Ainsi lors d'un écoulement superfluide une diffé- rence de potentiel chimique apparaît lorsque le super- fluide atteint dans une région une vitesse dite critique, à partir de laquelle il y a émission de tourbillon et

w2 ^{= hY,}

fréquence d'émission de ces tourbil- lons ; si pl - p2 est dû à un potentiel gravitationnel

pi - pz = mg(zl - z , ) = h 7 . C'est l'effet Josephson alternatif.

Au-dessous de cette vitesse critique il n'y a pas de différence de potentiel cp = - (p/R) t, et un courant superfluide peut exister sans différence de potentiel chimique aux bornes, c'est l'effet Josephson continu.

Nous reviendrons au chapitre V sur la mise en évi- dence expérimentale de ces effets.

Nous allons maintenant traiter des expériences fondamentales pour la mise en évidence de la super- fluidité, les courants permanents.

II. Les courants permanents. - Différentes expé- riences ont permis récemment de mettre en évidence les courants permanents [8, 9, 101 ; nous présentons ici, à titre d'exemple, celles réalisées par Reppy et al.

Leur mise en évidence représente, comme pour les supraconducteurs, l'expérience classique cruciale.

Nous allons dans la suite décrire une des techniques utilisée par Reppy, l'utilisation d'un gyroscope super- fluide ; sur cette idée une série de très belles expériences a pu être faite de courants permanents et de leur dépendance en température. Le courant superfluide est formé dans un anneau (Fig. 1) ; les murs de cet

FIG. 1. - Schéma du gyroscope de Reppy. Le courant persis- tant de moment angulaire L, est formé dans l'anneau A ; il est rempli de mousse fibreuse D ; durant la rotation autour de i'axe vertical,

l'anneau subit une déflexion autour d'un fil de tungstène C ; cette déflexion est mesurée par le circuit oscillant,

B, d'un oscillateur (J. D. Reppy [SI).

anneau sont en magnésium f?n ; l'intérieur est rempli d'une masse fibreuse de façon à augmenter la vitesse critique (pour un quantum de circulation de plus grandes vitesses sont nécessaires dans de petites dimensions). D'autre part, l'écoulement normal est bloqué par viscosité. Cet ensemble représente un gyroscope superfluide dont l'élément tournant est l'hélium superfluide. Le moment angulaire Lp du courant permanent est dans le plan horizontal ; le couple nécessaire pour faire tourner CLp à vitesse angulaire constante o autour de l'axe vertical est donné par une légère déflexion autour d'un fil de torsion horizontal ; cette déflexion f est détectée par un déplacement de fréquence d'un oscillateur et

k = 10' dyne. cm/rd constante du fil de torsion, s = 1,5 x rd/cycle sensibilité angulaire de l'oscillateur,

Af différence de fréquences suivant rotation droite ou gauche autour de l'axe vertical.

Ces expériences ont été faites à différentes tempéra- tures. Elles ont montré que l'état quantique défini avec occupation d'un seul état macroscopique était encore justifié jusqu'à OK de TA. Le moment angulaire Lp a une très forte dépendance en température, pro- portionnelle à celle de la densité superfluide.

Et la dépendance de ps/p avec T a été obtenue par R ~ P P Y [121.

P ₌ A(Tn - T)"

P où A est une constante et

Rappelons que nous avons introduit précédemment pour représenter l'état superfluide un paramètre d'ordre complexe $ = $, e i ' où

L'amplitude du paramètre d'ordre suit donc une loi, près de TA, proportionnelle à (TA - T)B où /l = 0,335 + 0,015. Or, dans les théories sur les transitions de phase du deuxième ordre on définit en général un paramètre d'ordre qui tend vers zéro au point 1 [8], comme (TL - T ) ~ où j? - 0,3. La racine carrée de la densité superfluide semble donc être le bon paramètre pour identifier la transition de l'hélium superfluide aux transitions de point 1 d'autres systèmes (voir article Guyon).

Dans des expériences plus récentes Reppy a étudié les courants permanents de films non saturés, toujours par la mesure du moment angulaire Lp ; Lp est fonc-

tion de la température, de la vitesse superfluide, et de l'épaisseur du film, l'augmentation d'épaisseur étant obtenue par condensation lente de gaz d'hélium additionnel. Les résultats sont donnés figure 2, à T = 1,39 OK, et présentent les deux caractères sui- vants : Lp croît linéairement avec l'épaisseur du film D, et une couche Do ne participe pas à l'écoulement super- fluide.

FIG. 2. - Moment angulaire L, d'un courant persistant formé dans un am d'hélium non saturé, en fonction de l'épaisseur D

du film (R. P. Henkel, E. N. Smith, J. D. Reppy

Rappelons maintenant que les conditions aux limites d'un superfluide représentent un problème assez particulier, lorsque le superfluide se déplace le long d'une paroi, puisque V x vs ⁼ O, donc

et v, tangentiel ne peut donc s'annuler sur la paroi ; c'est l'amplitude du paramètre d'ordre 1 $, 1' ⁼ p,/p qui s'annule, et une zone non superfluide existe donc toujours sur la paroi, reliée à la distance de cohérence.

Comme, d'autre part, une couche d'hélium solide apparaît toujours sur une paroi [9] par suite d'attrac- tion type Van der Waals, soit Dsolide = 3,6 A, cette expérience fait apparaître une longueur D - Dsoiide d'établissement de la superfluidité, soit

Reppy a pu, par une technique expérimentale encore plus précise, mesurer la variation de 5, avec la tem- pérature (Fig. 3). 11 obtient

avec Cs,0 = 4 + ^{0,5 A}

Z =

1 - TITA

PROPRIÉTÉS DE TRANSPORT ET COHÉRENCE DE PHASE DANS L'HÉLIUM C 3 - 9

O G A - 8

.

a LASL SId A V w r D Film

-

FIG. 3. - La longueur de cohérence es du superfiuide en fonc- tion de la température réduite 1 -(TITA) (R. P. Henkel,

E. N. Smith, J. D. Reppy [13]).

Or, dans des mesures précises de la densité super- fluide en volume, Tyson [16] a montré que :

ps

z2l3

on peut donc en déduire que :

5, représente donc une sorte de longueur de cohé- rence en accord avec les théories de Ginzburg-Pitaveskii- Mamaladze [14, 151 sur les conditions aux limites de l'hélium superfluide.

Cette étude sera beaucoup plus détaillée dans l'article de Guyon et nous allons aborder maintenant l'étude des écoulements non permanents.

III. Expériences d'écoulement superfluide : la vitesse critique. - Ces expériences, lorsqu'appliquées à l'étude de l'écoulement superfluide, se font à travers des pores très étroits, de façon à bloquer l'écoulement du fluide normal par suite de sa viscosité ; c'est ce que l'on appelle une superfuite. Une très bonne étude des écoulements à travers du verre vycor et du rouge de joaillier a été faite par De Bruyn Ouboter, Taconis et Van Alphen [3]. Les appareils utilisés, et représentés dans les figures 4 et 5, sont ingénieux et montrent clairement comment les différences de pression sont appliquées et mesurées. Les écoulements sont gravi- tationnels et il est fondamental de mesurer avec précision les températures des deux bains placés de part et d'autre de la superfuite mesurée ; une diffé- rence de température AT peut facilement apparaître, et dans les expériences de De Bruyn Ouboter et al.

un AT de l'ordre de OK est présent et doit être considéré. Une vitesse critique apparaît et sa dépen-

FIG. 4. - Appareil pour mesurer la vitesse critique superfiuide

dans différentes poudres, au-dessus de 1 OK ; V réservoir, M FIG. 5. - Appareil pour mesurer la vitesse critique superfiuide jauge en verre, T température, B tombac, S superfuite (R. de dans différentes poudres, aux températures de He3 (R. de Bruyn

Bruyn Ouboter, K. W. Taconis, W. M. Van Alphen [3]). Ouboter, K. W. Taconis, W. M. Van Alphen [3]).

dance en fonction du diamètre d de l'écoulement est :

VSc

où C ^N 1 cm5l4 x s-l .

Ainsi donc la dépendance expérimentale de la vitesse superfluide critique est en d-lI4 (Fig. 6 courbe expérimentale). Diverses théories concernant cette vitesse critique du superfluide ont été avancées, aucune ne donne la loi observée (Fig. 6). Quel est donc le mécanisme de la vitesse critique et quelles sont les conditions de destruction de la superfluidité ?

FIG. 6. - La vitesse critique superfluide en fonction du diamètre de l'écoulement, expériences (courbe pleine), théories (courbe

pointillée).

10

La première réponse théorique a été, comme sou- vent, présentée par Landau [17] ; il prend comme vitesse critique celle donnée par la région de rotons

103

min

--- --- ---

LANDAU (ROTONS)

- -

donc a peu près indépendante de la température, de la taille des écoulements, et qui en plus est beaucoup plus grande que les valeurs observées. Une excitation de basse énergie et de grand moment a alors été intro- duite par Onsager et Feynman [18] : la ligne de tourbillon. Onsager a proposé que la circulation dans l'hélium superfluide soit quantifiée en unités de h/m ; Feynman a donné un développement théorique de cette notion. Il a fait remarquer qu'alors que dans un fluide classique non visqueux tout écoulement était tourbillonnaire quelle que soit la vitesse, la turbulence dans l'hélium superfluide ne peut apparaître que lorsque l'énergie cinétique est suffisante pour créer un quantum de vorticité.

L'énergie cinétique et le moment d'un tourbillon en anneau sont donnés par :

où K est la circulation et d le diamètre du tourbillon, a, le rayon du cœur. La vitesse critique dans le modèle de Feynman est donc :

v

- - p

⁼ 2 ^K (log a, ^{4 d - 7 4)}

la loi de variation de Vsc est à peu près en d-' (Fig. 6).

Lorsque comparées à l'expérience, les valeurs des vitesses critiques ainsi obtenues ne sont du même ordre de grandeur que pour des dimensions d'écoule- ment de quelques 10 p.

Depuis le calcul de Feynman de nombreuses théo- ries sur la vitesse critique ont été avancées [19,20, 211 ; dans tous ces modèles l'émission de tourbillons est le mécanisme permettant cette vitesse critique. Fetter a tenu compte des conditions aux limites des parois et a obtenu pour la vitesse critique dans un tube de diamètre d

On peut voir que cette loi ne donne un bon accord expérimental que pour de très petites dimensions de l'ordre de 100 A ; il n'existe pas encore de théorie donnant un accord satisfaisant avec l'expérience.

Un certain nombre de questions se posent, en parti- culier sur le mécanisme de production des tourbillons lors de l'écoulement ; une des réponses les plus inté- ressantes a été formulée par Donnelly et Glaber- son 1221 ; ils présentent un modèle de ligne de tour- billon avec ses deux extrémités piégées sur les murs du conduit circulaire et se comportant comme un moulin à tourbillons dans un écoulement sur-critique.

D'autre part, dans tous les modèles précédents on ne tient pas compte de la présence du fluide normal comme condition aux limites de la paroi ; les tour- billons se créent peut-être [29] à l'interface fluide normal superfluide lors de l'écoulement.

Très récemment une nouvelle théorie a été proposée par Donnelly et Roberts [24] ; les tourbillons en anneaux sont formés à partir de rotons qui, par un processus stochastique, grandissent et deviennent de petits anneaux. Ils appliquent ce modèle à la vitesse criti- que [24].

Il nous reste finalement à présenter l'étude expéri-

mentale de la dépendance en température de la

vitesse critique. De nombreuses expériences ont été

faites avec une très grande confusion dans la compa-

raison des résultats, par suite de la présence de l'écou-

lement du fluide normal. Les résultats les plus récents

1231 donnent une vitesse superfluide critique pratique-

ment indépendante de la température, sauf au voisi-

nage du point TA (Fig. 7). Dans cette région Clow et

Reppy [8], par leur expérience gyroscopique, trouvent

une loi de variation avec la température de la vitesse

angulaire qui, traduite en vitesse linéaire, est :

PROPRIÉTÉS DE TRANSPORT ET COHÉRENCE DE PHASE DANS L'HÉLIUM C 3 - 1 1

OUTFLOW

42: ^INFLOW )ci 3 2 9 x i c 4 c m

\= ,,,: ^z';;z)d

2:

FlXED MOMABLE

DE TECTOR CHOPPER

LlGHT LlGHT

I

WELL 1 W E U 2

FIG. - Variation de la critique superAuide avec la FIG. 8. - Schéma de l'appareil de K. A. Pickar et K. R. Atkins montrant la superposition d'un courant superfluide Vc et d'une température (W. E. Keller, E. F. Hamme1 [23]). onde de troisième son

(K. Pickar, K. R. Atkins [27]).

avec uc = 380 cm/s

et pour un diamètre d'écoulement d ⁼ 92 mi- crons.

Rappelons que dans tout ce chapitre sur les écou- lements nous avons supposé que la longueur du conduit est beaucoup plus grande que le diamètre ; lorsque cette condition n'est plus réalisée les vitesses critiques observées sont plus élevées et le fluide nor- mal joue un rôle plus important [25]. Nous renvoyons au livre de W. E. Keller [38] pour une présentation très exhaustive du sujet.

IV. Le film d'bélium. - Les écoulements dans les films d'hélium présentent un grand intérêt pour étu- dier les vitesses critiques dans de très petites dimen- sions. Rappelons qu'au-dessus de tout bain d'hélium superfluide un film d'hélium existe sur les parois ; pour les films saturés, l'épaisseur d est reliée à la hauteur 1 par la relation :

d = 3 1 - l I 3 x c m .

Pickar et Atkins [27] ont fait de très belles expé- riences pour déterminer la vitesse critique en fonction de la hauteur au-dessus du superfluide. Deux volumes d'hélium superfluide sont connectés par l'inter- médiaire d'un film d'hélium (Fig. 8), l'écoulement est créé par une différence de niveaux. On superpose à cet écoulement une onde de troisième son (voir le papier de revue de Guyon). L'onde de troisième son est créée localement par une source infrarouge modulée en impulsion ; le détecteur est constitué d'une source infrarouge polarisée et on observe l'ellipticité du signal réfléchi ; on ;mesure la vitesse de propaga- tion du troisième son déplacé par effet Doppler par

suite de l'écoulement superfluide (Fig. 9). La vitesse critique superfluide obtenue suit la loi :

2 d représentant la distance entre un tourbillon et le tourbillon image dû à la présence de la paroi.

Remarquons que cette vitesse critique est telle que la longueur d'onde de De Broglie devient I = 2 d ;

FIG. 9. - Résultats de l'expérience de K. A. Pickar et K. R.

Atkins ; vitesse du troisième son dans le sens de l'écoulement

u3

+

et en sens inverse

-

en fonction de la hauteur du

film I l (K. Pickar, K. R. Atkins [27]).

ainsi donc lorsque la longueur d'onde devient de l'ordre de l'épaisseur du iilm, un régime tourbillon- naire apparaît et ceci nous ramène à la possibilité présentée dans le chapitre IV, de la germination des tourbillons sur la paroi, et de l'importance des condi- tions aux limites. Pickar et Atkins donnent également la dépendance de la vitesse avec la hauteur atteinte au-dessus du superfluide. Nous allons maintenant

FIG. 10. - Principe de I'expérience

trois bains proposée par Donneiiy ; I'analogue des effets Josephson continus apparaît

en 1, et des effets alternatifs en II (R. J. Donnelly [29]).

présenter une très belle expérience réalisée par Keller et Hammel [25], utilisant le iilm d'hélium, pour nous permettre de faire la transition vers les chapitres sur les effets Josephson-Anderson. Cette expérience est schématiquement représentée dans la figure 11. Deux bains d'hélium Zi et Z, sont en contact par l'inter-

TIME, MIN.

FIG. 11. - Récipient utilisé par W. E. Keller et E. F. Hammel pour mesurer le potentiel chimique

(W. E. Keller, E. F.

Hamrnel [28]).

médiaire du film d'hélium ; un petit tube Z, est placé de côté en contact avec l'intérieur du bain Zi. Son diamètre est très petit et les vitesses de vidage et de remplissage de Z, sont très rapides par rapport aux changements de niveaux de Zi et Zo.

11 est d'autre part admis que l'écoulement par le film d'hélium est limité par le plus petit périmètre rencontré sur son passage ; en ce point il atteint la vitesse critique, et le courant total étant conservé, en

chimique par atome entre les deux bains Zi et Z, est : pi - po = Ap = mg(Zi - Z,)

Ap représente la force créant le débit du film ; la chute de potentiel chimique n'apparaît que dans la région où une vitesse critique avec émission de tour- billons est atteinte ; cette région est définie par la plus petite circonférence placée au-dessus du bain de niveau le plus élevé ; au début de l'expérience ce point de vitesse critique est situé au rebord du réci- pient A ; la différence de potentiel chimique pi - ^p,

se retrouve en A ; il y a ce niveau émission de tour- billons et glissage de phase de la fonction d'onde, les niveaux Zi et Z, sont alors alignés et au même poten- tiel chimique ; lorsque le niveau Zi passe au-dessous du point B, celui-ci représente la région de diamètre minimum et la vitesse critique apparaît en ce point, la différence de potentiel chimique également donc.

Le niveau Z, a alors le même potentiel chimique que Zo et s'aligne sur lui comme le montre la courbe de la figure 9. Keller réalise ainsi une sorte de potentio- mètre donné par la mesure du niveau en Z,.

V. Les effets Anderson-Josephson. - Rappelons le modèle de transport dans un superfluide ; à un potentiel chimique p par atome correspond une phase du paramètre d'ordre q = (p/h)t, cette phase q et le nombre de particules sont des variables canoniques conjugées ; dans un système à nombre de particules constant la phase n'a pas de sens physique ; dans un système multiplement connexe la phase, après une rotation de 360°, doit retrouver sa valeur à 2 n près, d'où la quantification de la circulation :

et la notion du tourbillon introduit par Onsager- Feynman.

Si maintenant deux volumes superfluides sont en contact par une liaison faible, le nombre de particules n'est plus constant dans chaque élément et la diffé- rence de phase q, - 41, a alors un sens physique ; une différence de phase peut apparaître et un courant superfluide va exister de 1 vers 2, par exemple, avec une vitesse V

(h/m)Vq ; ainsi donc un gradient de phase crée un courant, et un circuit avec générateur de courant pourra fonctionner entre deux bains d'hélium sans différence de potentiel chimique. Ceci représente le premier effet Josephson.

Si maintenant une différence de potentiel chimique apparaît, différence de niveau entre les deux bains, ou de température par exemple, alors

tout autre point la vitesse est sous-critique. La courbe

des résultats est présentée figure 9. Tant que le niveau d Pl - Pz - Aq = --- Zi reste placé entre les points A et B, le niveau Z, dt h

le suit fidèlement. Lorsque le niveau Zi passe au- et ceci peut être réalisé par passage de tourbillons

dessous du point B, le niveau Z, s'aligne sur Zo ; entre les deux bains, chaque tourbillon faisant sauter

l'explication est la suivante. La différence de potentiel la phase de 2 n la fréquence de passage sera donc :

PROPRIÉTÉS DE TRANSPORT ET COHÉRENCE DE PHASE DANS L'HÉLIUM

C'est le deuxième effet Josephson.

Une expérience type mettant en évidence ces deux effets a été proposée par Donnelly [29] (Fig. 10).

Trois bains d'hélium sont en contact respectivement par les deux films d'hélium 1 et II ; supposons 1 et 2 en équilibre et 3 à une température A T plus faible que 2.

A l'équilibre Ap = O, et AplAT = pS donc une différence de hauteur va apparaître entre 2 et 3 soit pgAZ = pSAT. Si maintenant nous imposons AT = 0, un courant va circuler de 2 vers 3, tel qu'en II la vitesse du film soit critique v, ; il y aura en ce point émission de tourbillon à la fréquence

Revenons à l'expérience Donnelly ; l'écoulement entre 2 et 3 impose un écoulement entre 1 et 2 à la vitesse v , = (ll/12)v, ; or, 1, < 1, donc u, < v,.

Les deux bains 1 et 2 restent donc au même niveau et un écoulement V 1 2 existe sans différence de potentiel chimique. C'est l'équivalent de l'effet Josephson continu.

EXP~RIENCE RICHARDS-ANDERSON [25]. - L'idée d'Anderson était de réaliser une expérience similaire à celle de Dayem [26] dans les supraconducteurs : svnchroniser l'émission des tourbillons par une source alternative à la même fréquence, ici une onde de

le' son. Deux bains d'hélium sont reliés par un contact ^{FIG. 12.} - Schéma de i'expérience Josephson alternatif de sous la forme d'un trou de l'ordre de 10 p de diamètre Richards (P. L. Richards, P. W. Anderson [25]).

et d'épaisseur. Un des bains est un condensateur, ce

qui permet de mesurer aisément le niveau d'hélium ;

FWW-HE$D CIIARACTERISTIC

près du trou un quartz est placé, vibrant longitudina-

_.

1 1 1 t i i i i

,

lement. Un deuxième condensateur permet de mesurer

_{. ...} ' . . . _{. . ..}

.

- *

..

- ^{. .}

le niveau du deuxième bain (Fig. 12). Lorsqu'une . ..

différence de hauteur Az existe entre les deux bains, ³

w ⁴ z=*

au niveau du trou des tourbillons sont créés, à la

- i

fréquence v = mg Az/h ; le quartz doit synchroniser

UOOULATIGU 'O4.'

"''

cette émission lorsque sa fréquence est un harmoni-

que de celle de l'émission des tourbillons. Qu'observe

t

r J 3 P " T Richards :

10 Lorsqu'une différence de niveau existe le rem- plissage se fait à vitesse constante, la vitesse critique de valeur v,, - ^{27 cm/%}

20 Lorsque les niveaux sont alignés la mise en marche du quartz entraîne une aspiration de l'hélium du condensateur vers le bain extérieur, à une vitesse légèrement inférieure à la vitesse critique ; ceci s'expli- que physiquement par le fait que le quartz crée un régime tourbillonnaire au voisinage du trou dans le bain extérieur ; le bain intérieur par contre est calme, ce qui entraîne une aspiration similaire à celle d'un tube de pitot, de plus lorsque mg Az = (n/nl) hv des accidents apparaissent dans la vitesse de pompage ; sur un très grand nombre d'expériences Richards peut présenter un résultat statistique très probant (Fig. 13).

FIG. 13. - Résultats de l'expérience de Richards [6].

Ces résultats donc permettent de considérer cette expérience comme la première expérience classique de mise en évidence des effets Josephson alternatifs ; elle fait bien apparaître une fréquence caractéristique mg Azlh.

Une description hydrodynamique de cette expérience

a été faite par Zimmerman [30] : la différence de pres-

sion est pg Az ; la force sur le superfluide à l'orifice

est donc : p, g Az x nb2 où b est le rayon de l'orifice,

cette force est égale au nombre de tourbillons créés

multiplié par I'impulsion de chaque tourbillon.

donc

Zimmerman essaie de calculer la vitesse critique. Si maintenant E est l'énergie pour créer un tourbillon

EV = nb2 ps g AzÜS où ^üs est la vitesse critique

ce qui donne us - 2,4 cm/s, ce qui est d'un ordre de grandeur plus faible que l'observation expérimentale.

Ainsi donc cette expérience semble bien mettre en évidence une fréquence caractéristique ; la vitesse critique obtenue est plus grande que celle calculée par Zimmerman ou celle déterminée suivant une loi en dF1l4 ; le mécanisme local au niveau du trou n'est pas très explicite : a-t-on émission de tourbillons en anneau, et comment mettre cette émission en évidence ? Khorana [3 11 a perfectionné l'expérience de Richards-Anderson : nous avons, à sa suite, réalisé également cette expérience [39] de façon beaucoup plus précise et reproductible que dans les premières expériences de Richards. Notre montage expérimental est représenté figure 14. L'expérience est faite dans une enceinte fermée : la température est atteinte par contact

thermique entre le bain d'expérience et un deuxième bain d'hélium l'entourant ; les avantages de ce montage sont multiples :

a) le système peut être pompé longuement avant l'expérience,

b) le niveau d'hélium reste constant dans le bain de référence,

c) une très sérieuse régulation de température peut être obtenue,

d) le système peut être mécaniquement très bien isolé.

On étudie bien entendu le remplissage du volume intérieur du condensateur ; le trou de couplage est percé sur une plaque de nickel d'épaisseur de l'ordre de 20 p qui ferme le condensateur ; une ligne coaxiale en acier inoxydable permet de mesurer la capacité du condensateur ; un espaceur métallique est soudé au-dessus du condensateur à I'intérieur de la ligne de mesure pour réduire l'influence du film d'hélium ; I'intérieur et l'extérieur du coaxial de mesure sont reliés par des trous situés en haut du cryostat. L'expé- rience est menée de la façon suivante : on pompe l'ensemble sous vide secondaire avant l'expérience ; après avoir transféré l'hélium liquide dans le cryostat extérieur, on condense lentement de l'hélium, gazeux et pur, dans le volume d'expérience jusqu'au niveau désiré ; on pompe ensuite sur l'hélium liquide situé à l'extérieur, lentement et sans à-coup grâce à une réserve de vide ; le volume représentant l'espace plein d'hélium gazeux au-dessus du condensateur se condense et permet de remplir d'hélium liquide l'inté- rieur du condensateur. Celui-ci, au bout d'un certain temps, se vide et on a obtenu un bon contact thermique entre les deux bains ; ce premier volume d'hélium condensé à l'intérieur est fondamental pour refroidir l'âme interne du condensateur. Néanmoins, des mesures précises du niveau d'hélium indiquent qu'à l'équilibre un AT existe de l'ordre de OK (comme dans les expériences précitées de De Bruyn Ouboter [3]), soit une différence de hauteur inférieure au mm, l'expérience peut alors commencer. Les résultats sont reproduits figure 15. Lors de la mise en marche du quartz des escaliers apparaissent indiqués par une flèche ; les cinq derniers escaliers présentés ont une stabilité telle que l'équilibre est réalisé sur chacun d'eux, pendant au moins une heure il faut créer une perturbation au

FIG. 14.

Montage expérimental détaillé de l'expérience de Richards, Anderson (J. P. Hulin, B. Perrin, C. Laroche, A. Lib-

chaber [39]).

FIG. 15. - Enregistrement du niveau du condensateur en fonc- tion du temps ; A. Q.

arrêt du quartz ; M. Q. :mise en marche du quartz ; les flèches indiquent les paliers d'équilibre du sys-

tème de la figure 14 [39].

PROPRIÉTÉS DE TRANSPORT ET COHÉRENCE DE PHASE DANS L'HÉLIUM C 3 - 1 5

niveau du quartz pour en décrocher ; la perturba- tion de tension appliquée au quartz doit être mainte- nue pendant de nombreuses secondes pour sortir du régime de stabilité des niveaux. La distance entre escaliers suit la loi A z = hvlmg à moins de 10 %

(Khorana a obtenu une précision de l'ordre de 1 %),

une mesure très précise pourrait amener à une très bonne mesure du nombre d'Avogadro [34]. Le phé- nomène de synchronisation est donc cette fois-ci parfaitement vérifié, par contre les mécanismes au niveau du trou ne sont pas clairs et méritent d'être approfondis, et c'est ce qui est à l'étude actuellement dans de nombreux laboratoires. Khorana a également étudié ces effets Josephson lorsque la différence de potentiel chimique est obtenue par une différence de température [3 11.

EXPÉRIENCE JOSEPHSON CONTINUE. - Suivant l'idée de Donnelly nous avons tracé la caractéristique du débit en fonction de la différence de hauteur de l'ensemble présenté dans la figure 16, et qui comporte

FIG. 16.

Montage expérimental pour tracer la caractéristique Josephson continue [39].

deux condensateurs, l'un de mesure du niveau intérieur et l'autre de mesure du niveau extérieur. La différence de hauteur est créée par la remontée d'une masse d'aluminium ; à vitesse constante, pour une faible vitesse de montée aucune différence de niveau apparaît ; pour une vitesse de montée critique un Az apparaît, la caractéristique continue du système à couplage faible a ainsi été tracée [36].

REALISATION D'AUTRES

FAIBLE.

- a) Expérience de Notarys. - Notarys [32] a montré que très près du point II il pouvait détruire la super- fluidité par application d'un champ électrique [30]

de l'ordre du MV/cm ; il utilise comme couplage faible une plaque de mica poreux de 5 y d'épaisseur avec des pores de 800 ou 1 600 A ; il dépose 300 A d'or de part et d'autre du mica comme électrodes ; les résultats sont présentés figure 17. Par exemple, pour des pores de 1 600 A et à Ta

T

1,5 x IOp3 OK

FIG. 17. - Expériences de variation de I'écoulement fractionnel du superfluide AFs/Fs en fonction du champ électrique. Les cercles correspondent à des pores de 1 600 A et une température TA - T

1,s mdeg ; les triangles à des pores de 800 A et TA

T

6 mdeg ; les carrés des pores de 800 A et

TA - T

9 mdeg (H. A. Notarys [32]).

il peut détruire la superfluidité en présence d'un champ électrique de 1 MV/cm. Il réalise ainsi un couplage faible avec hélium normal entre deux bains superfluides ; il a néanmoins un très grand nombre de trous de couplage, et il ne semble pas facile de réaliser un système simple.

b) Expériences au voisinage de Ta. - Rappelons les conditions aux limites d'un écoulement et les résul- tats de Reppy [8] : au voisinage d'une paroi on ne peut annuler la vitesse superfluide, et pour satisfaire aux conditions aux limites, l'hélium est normal sur une distance t;,. Cette distance l,, près du point II, peut atteindre de grandes dimensions, par exemple, pour Ta - T - ^{OK, 5, = 1 000 A.} Ainsi donc, avec un trou de couplage de cet ordre de grandeur et très près de TA, on pourrait réaliser un système superfluidel fluide normal/superfluide analogue à celui que Clark a utilisé pour les supraconducteurs, c'est-à-dire, un couple supraconducteur/méta1 normal/supraconduc- teur. Dans cet ordre d'idée Mamaladze et Cheish- vili [34, 351 ont fait une étude théorique des effets Josephson continus possibles dans ces systèmes.

c) Expériences d'interférence. - Des expériences

types Mercereau [36] d'interférence entre plusieurs

trous de couplage ont été proposées [6]. Anderson par

exemple a proposé d'étudier un système d'écoulement

à travers deux trous avec superposition le long de la

plaquette de couplage d'un mouvement de translation

du superfluide. Cette expérience n'a pas été réalisée et

tout ce domaine d'interférences qui a donné lieu à de

très belles expériences dans les supraconducteurs

n'a pas encore été abordé dans les superfluides.

Index des notations a, -rayon du cœur de tourbillon ;

b - rayon de trou de couplage ; d - diamètre de l'écoulement ; h - constante de Planck ;

H - Hamiltonien de l'état condensé ; 1 - hauteur de film d'hélium ;

L, - moment angulaire ;

m - masse de l'atome d'hélium ;

N - nombre de particules dans l'état condensé ; p -pression ;

S -entropie ; T - température ;

TA -température au point  de transition super- fluide ;

- vitesse du troisième son ;

- vitesse du superfluide ;

,

- vitesse critique du superfluide ;

- vitesse du fluide normal ; Z -hauteur ;

,u - potentiel chimique ; p -densité totale ;

p, - densité du superfluide ; pn - densité du fluide normal ; K - circulation de la vitesse ; q - phase de la fonction d'onde ;

- amplitude de la fonction d'onde ;

ts - longueur de cohérence ; z = 1 - T/T, température réduite.

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