HYDRODYNAMIQUE DE L'HÉLIUM IV SUPERFLUIDE

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HYDRODYNAMIQUE DE L’HÉLIUM IV

SUPERFLUIDE

A. Libchaber

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HYDRODYNAMIQUE DE L'HÉLIUM IV SUPERFLUIDE

A. LIBCHABER

Groupe de Physique des Solides de l'Ecole Normale Supérieure, 24, rue Lhomond, 75231 Paris Cedex 05, France

Résumé. — Présentation de quelques expériences sur l'hydrodynamique de l'hélium IV

fluide : étude des courants permanents, écoulements à travers un petit trou, turbulence du super-fluide et du super-fluide normal dans une expérience d'écoulement de chaleur.

Abstract. — Various experiments on the hydrodynamics of superfluid Helium IV are presented :

study of persistent currents, flow through a small hole, superfluid and normal fluid turbulence in a heat flow experiment.

1. Introduction.— Nous allons traiter dans cet

exposé des écoulements de l'hélium IV superfluide. Nous présenterons d'abord les expériences les plus récentes sur les écoulements permanents, écoulements très stables de vitesse pouvant atteindre 100 cm/s dans des pores de petite dimension. Nous présenterons ensuite des expériences d'écoulement à travers un trou de quelques microns de diamètre et épaisseur, où de grandes vitesses ont été mesurées, 1 000 cm/s à 0,4 K. Nous terminerons sur une étude de la turbulence du superfluide, à partir d'expériences d'écoulement de chaleur. Le problème de la turbulence du fluide normal sera alors introduit.

2. Introduction à l'écoulement superfluide. — En 1938, F. London [1] avance l'hypothèse que la transi-tion de point X de l'hélium IV, à 2,17 K, est causée par une condensation de Bose Einstein du fluide de Bosons en interactions. Pour le fluide au repos une petite fraction de particules existe dans l'état de moment nul pour T < Tx; néanmoins, cette fraction demeure très faible, quelques pour cent, jusqu'à 0 K. Ce modèle n'est pas pour l'instant vérifié et est même très discuté [2].

Considérons maintenant la condensation dans un état de moment fini K ; il en résulte un courant de masse 7VK, par rapport aux parois du récipient. Les particules du superfluide peuvent être diffusées par les parois ce qui en principe réduirait le courant de masse. Néanmoins dans le superfluide à T = 0, Landau [3] a montré qu'en choisissant une courbe de dispersion du spectre d'excitations du type de la figure 1 cette diffu-sion n'existait pas à faible vitesse. A T — 0 la. seule diffusion serait la création d'une excitation élémentaire,

401 1 1 j

P /

2 Free particle—-*y

2 /

0k s ^ - 1 *t 1 0 1.0 2.0 3.0 Wtvevector, In units ot 10* cm"1

Fio. 1. — Courbe de dispersion des excitations élémentaires dans l'hélium. La courbe en trait plein est celle d'une particule libre. J et ko représentent l'énergie et le vecteur d'onde du

minimum des rotons.

ceci n'est possible que si la vitesse de l'écoulement dépasse une vitesse critique vc

r T

v. = - minimum . (1) LPJ

(3)

Cl-112 A. LIBCHABER Pour le spectre de Landau la vitesse critique est de

60 m/s. S'il n'y avait que des excitations du type phonon la vitesse critique serait la vitesse du son, 240 m/s. Si nous avons un gaz de Bose idéal, la vitesse critique serait nulle du fait de la forme parabolique du spectre des excitations de particules libres (Fig. 1).

A température finie la distribution à l'équilibre des excitations en présence du condensat se déplaçant à la vitesse us est

le moment moyen des excitations par unité de volume, dans le référentiel en mouvement, est

au premier ordre on obtient

< P

>

= - p n v s avec

pour une région multiplement connexe. Feynman [4] et Onsager [5] ont ainsi introduit le tourbillon quantifié, ligne de discontinuité avec circulation quantifiée en hlm. Ces tourbillons quantifiés vont jouer un rôle fondamental dans l'étude des processus dissipatifs d'écoulement et de turbulence du superfluide.

Ainsi donc en présence d'un condensat se déplaçant à la vitesse v, la densité de courant de masse est p, v,. Un courant superfluide est donc possible sans dissipation.

L'absence de viscosité de la composante superfluide peut être mise en évidence par l'existence de courants persistants sur un temps arbitraitement long. La durée de vie des courants permanents dépendra de la création possible de tourbillons quantifiés. Une transition quantique peut apparaître entre un régime de courant sans vorticité et un régime à vorticité non nulle. Des fluctuations thermiques peuvent assurer cette transition vers un état de plus faible énergie avec vorticité présente, mais la stabilité des supercourants est due au fait que la circulation tourbillonnaire est quantifiée. Il apparaît ainsi une barrière d'énergie finie entre états d'écoulements de vorticité différente.

m n s le référentiel du Laboratoire la densité de courant de masse devient pu, - p, v, que I'on peut écrire en introduisant p, = p - p,

p est la densité de l'hélium et p, est appelé densité de superfluide, p, densité du fluide normal.

Pour un condensat non uniforme le moment par particule varie avec la position. On peut très générale- ment représenter la fonction d'onde du condensat comme tj= a(?) eiV('). Localement il y a condensation dans l'état K = V a . Si K est lentement variable avec la position, a est à peu près constant et la vitesse d'écoulement du fluide est :

et le courant de masse superfluide est p, us [4, 51. On peut également montrer que la variation temporelle de

os est donnée par [6]

où p est le potentiel chimique par unité de masse

De (5) on déduit

3. Expériences récentes sur les courants permanents. - Les expériences les plus concluantes sur les courants permanents ont été celles de Reppy [7, 81 utilisant une technique gyroscopique et celles de Rudnick [9, 101 à partir de résonateurs de 4e son. Nous décrirons essentiellement ces dernières qui semblent donner les résultats les plus quantitatifs.

Le récipient utilisé est un tore poreux, rempli d'hélium, que I'on fait tourner. Le tore est rempli

C

1 /

1 B

nni

iir

I

iia~

FIG. 2. - Schéma du tore utilisé pour l'expérience de courants permanents. D : tore rempli de poudre. B et C émetteur et récepteur acoustique. La courbe montre un déplacement Doppler, dans une rotation, d'une résonance 4e son. Voir références [9]

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d'une poudre très fine de façon à bloquer tout mouvement du fluide normal, par suite de sa viscosité. Le tore joue le rôle de résonateur acoustique, l'émetteur et le récepteur, deux hauts parleurs, étant placés diamétra- lement (Fig. 2). Il y a donc deux chemins possibles pour la cavité acoustique avec résonance dégénérée des deux modes. L'onde acoustique est portée par le superfluide uniquement, le fluide normal étant bloqué, c'est ce qu'on appelle le 4e son. Lorsque le tore est mis en rotation à T < T, on observe la levée de dégéné- rescence des deux modes, correspondant à la propa- gation parallèle et antiparallèle au courant superfluide (Fig. 2). De la mesure de cet effet Doppler on peut déterminer la vitesse des courants superfluides et leur durée de vie. Les résultats sont présentés dans la figure 3 où l'on a porté la vitesse relative du superfluide par rapport au fluide normal en fonction de la vitesse du fluide normal. Pour de faibles vitesses, jusqu'au point oc,, on observe un comportement réversible. Le superfluide est partiellement entraîné, par suite du mouvement de la poudre remplissant le tore. Au-delà du point oc, le comportement est irréversible et si I'on

FIG. 3. - A) Dépendance de o,, -os en fonction de on. wn représente la vitesse de rotation du fluide normal, os celle du superfiuide. B) Durée de vie des courants permanents. Voir

références [9] et [IO].

arrête la rotation un courant permanent subsiste. La durée de vie de ces courants permanents est présentée dans la figure 3. Ce que I'on suppose essentiellement c'est qu'au delà du point oc,, des tourbillons apparais- sent dans le superfluide.

Si nous essayons d'interpréter ces résultats i l faut utiliser une théorie essentiellement développée par Iordanskii [ I l , 121, et qui est une théorie de fluctuations. On suppose une énergie d'activation pour la création de la vorticité E(Vs, T), dépendant de la vitesse superfluide et de la température. Pour un récipient de longueur L et de section S la fréquence à laquelle des fluctuations d'énergie E vont se reproduire :

E R = SLv, exp

-

--- -

kT

où v, est une fréquence fondamentale d'événements par unité de volume. On suppose ensuite que chaque fluctuation amène le système de courant permanent d'un état métastable d'écoulement à un autre, séparés par une unité de circulation soit :

on obtient donc

h

- Sv, exp(- EIkT)

.

m

Si l'on suppose une vitesse critique V,,, au-dessous de laquelle dVs/dt devient très faible, on peut alors développer E en :

et donc

ds

ct exp a(vS - Y,) dt

pour des temps longs la solution est de la forme log a t

vs

-

vsc

-

CI

et donc conforme aux résultats de la figure 3.

Par contre, la géométrie complexe de l'écoulement imposée par la poudre ne permet pas de faire des mesures quantitatives de la vitesse critique.

(5)

Cl-114 A. LIBCHABER man reprend le modèle de Landau l'applique à l'anneau

de tourbillon dont l'énergie et le moment sont :

où d est le diamètre de l'anneau, a le rayon du cœur du tourbillon, et K = hlm le quantum de circulation.

Il obtient :

où d est le diamètre du conduit d'écoulement. Pour d = 10 p, Vsc

=

10 cm/s.

L'accord est meilleur mais non satisfaisant car il donne une vitesse variant très vite avec la dimension de l'écoulement, ce qui n'est pas vérifié [14]. En fait, le modèle le plus conforme aux résultats récents obtenus [15, 16, 171 est le modèle de Iordanskii [ I l ] , décrit précédemment et sur lequel nous allons revenir. Essentiellement, les fluctuations thermiques permettent la germination de tourbillons de petites dimensions qui grandissent dans l'écoulement, ce qui vérifie les vitesses critiques observées, faiblement dépendantes de la dimension, dépendantes de la température, et attei- gnant jusqu'à 1000 cmjs à 0,4 K. Le principe du modèle est le suivant. On traite le tourbillon en anneau comme une excitation thermique. A une température T une distribution de tourbillons en anneaux est excitée thermiquement.

A l'équilibre les tourbillons en anneaux se déplacent dans leur propre champ de vitesse, frottent sur le fluide normal, diminuent donc de taille ce qui aug- mente leur champ de vitesse et s'annihilent ainsi. Il y a en quelque sorte à l'équilibre ébullition perma- nente de tourbillons en anneaux qui s'annihilent par frottement sur le fiuide normal. Si maintenant le superfluide se déplace, lors d'un écoulement, à une vitesse Vo par rapport au repère fixc, l'énergie du tourbillon devient :

Si p est antiparallèle à V,, et si le champ de vitesse propre du tourbillon est égal a V,,, le tourbillon reste stationnaire par rapport au repère fixe. On peut montrer que cette position est instable, qu'un tel tourbillon va grandir dans l'écoulement et donc être entraîné, ce qui est représenté figure 4. Par contre, si son propre champ de vitesse est supérieur à Vo le tourbillon va diminuer de taille, remonter donc l'écou- lement et s'annihiler.

On voit donc que des tourbillons dont le germe est une fluctuation thermique peuvent grandir dans l'écou- lement et donc imposer une vitesse critique.

A basse température, le tourbillon moyen sera de

petite dimension et donc la vitesse critique élevée. Le

Ecoulement potentiel

su:racn

équipotentielle &'Pa

FIG. 4. - Schéma de croissance d'un tourbillon dont le champ de vitesse propre est au départ opposé à l'écoulement et d'égale

amplitude.

calcul statistique, trop long à développer ici, débouche sur une vitesse critique loin du point Â. 1161 en :

4.1 LE MONTAGE EXPÉRIMENTAL. - L'écoulement se fait à travers un trou de diamètre de 4 à 20 p etd'épais- seur typiquement 15 y (Fig. 5). Ce trou couple deux

Frü. 5. - Condensateur dc mesure A et filtre B. Voir réfé- rence [16] pour plus de détails.

bains d'hélium .superfluide. Un des bains est localisé entre les deux armatures d'un condensateur cylin- drique : la mesure de la capacité donne le niveau du bain et permet de mesurer les écoulements. Le condensateur a un diamètre de 2 cm et est placé dans une chambre de quelques dizaines de cm3 remplie jusqu'au niveau moyen du condensateur d'hélium liquide, au début de l'expérience. Cette chambre est ensuite fermé hermétiquement. Le liquide de cette chambre constitue le bain extérieur, couplé au bain intérieur par le petit trou d'expérience. L'hélium expérimental est filtré et condensé lentement à l'intérieur de la chambre.

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feuille de nickel qui porte I'orifice expérimental. Ce filtre est constitué soit d'une pastille de bronze fritté de 1,5 mm d'épaisseur (billes de 3 p de diamètre agglomérées), soit de rouge de joaillier comprimé (poudre de 0,1 p) entre deux pastilles de bronze. Un espace libre d'environ 3 mm d'épaisseur et 5 mm de diamètre est ménagé entre le filtre et l'orifice expéri- mental. La présence de ce filtre transforme la dynamique des écoulements et permet entre autres d'obtenir des vitesses critiques très élevées. Il semble que lors de la fabrication lente, par condensation de l'écliantillon d'hélium superfluide, le remplissage sous-critique à travers le filtre évite de piéger la turbulence au niveau du trou. On réalise ainsi un échantillon d'hélium de très faible turbulence piégée au début de l'expérience. L'exploitation des résultats expérimentaux (Fig. 6) fait apparaître deux régimes. Au-dessus de 0'9 K la

FI<;. 6. - Variation de la vitesse avec la température dans un écoulement à travers un trou de 6 Mm.

vitesse d'écoulement varie en J ~ , / T . Au-dessous de 0,9 K on observe une saturation ou même, suivant le type de filtre, une décroissance -- de la vitesse critique.

La loi de variation en J ~ , / T permet d'assimiler ce régime à celui d'une vitesse intrinsèque où les tourbillons sont crées par fluctuation thermique et grandissent dans l'écoulement.

5. La turbulence du superfluide. - Dans le cadre du modèle à deux fluides nous avons montré que dans des géométries où le fluide normal est bloqué par suite de sa viscosité un courant permanent du superfluide peut exister avec une durée de vie arbitrairement grande, et que les seuils de dissipation sont associés à l'émission de tourbillons en anneaux. Nous allons maintenant nous préoccuper de la turbulence plus développée du superfluide et dans des géométries où la dynamique du fluide normal est possible. L'idée essentielle du modèle, due à Vinen 118, 191, est qu'une force de frottement mutuel apparaît entre le fluide normal et le superfluide ; cette force est associée à la présence d'une sorte de polymlre de tourbillons quan- tifiés du superfluide qui, dans leur mouvement, frottent sur le fluide normal. Lors d'un mouvement relatif

d'une ligne de tourbillon par rapport au fluide normal une force apparaît :

f = ~ - s n (yn - yL) par ligne

P m

V,, est la vitesse du fluide normal et V , la vitesse de ligne.

Lors d'une expérience d'écoulement de chaleur le fluide normal et le superfluide vont à contre courant ; la turbulence du superfluide est essentiellement homo- gène et isotrope, et formée d'une longueur L de tourbillons quantifiés par unité de volume.

La distance moyenne entre lignes est donc 1 =

L-

II2,

on a lu, = hlm.

De l'équation de la force intégrée sur la densité de tourbillons L, on obtient :

avec

Considérons un flux de chaleur constant, l'état de turbulence est :

us = a l Ys

-

VnI et donc

Cette force ainsi déterminée il importe d'écrire l'équa- tion cinétique de la turbulence :

il s'agit d'étudier les mécanismes de génération de la turbulence du superfluide et sa décroissance.

5 . 1 GÉNÉRATION DE LA TURBULENCE.

-

Essentielle-

ment comme précédemment un anneau peut grandir si son propre champ de vitesse égale la vitesse relative des fluides

mais si une ligne de tourbillon est soumise à une force f

elle se déplacera transversalement à f avec une vitesse u telle que :

f = p , u x K .

Et donc, dans le cas d'un anneau, le taux de croissance du rayon de l'anneau sera approximativement :

d r

f

-- = -

dt p s K '

(7)

Cl-116 A. LIBCHABER

c'est-à-dire : et pour un écoulement de chaleur stationnaire on

=

xi

B

-

(Vs

-

V,) L3I2

.

P

5 . 2 DÉCROISSANCE DE LA TURBULEXCE.

-

On sup-

pose une turbulence développée du superfluide avec des tourbillons quantifiés de distance moyenne 1. C'est une turbulence à nombre de Reynolds élevé. L'énergie va donc cascader à partir de vecteurs d'onde d'ordre

111 vers des vecteurs d'onde plus grand en un temps :

Ceci veut dire que les tourbillons vont s'agglomérer et finir par se détruire et :

Sachant que lu, = h/m et I = L - ' j 2 on obtient :

décr.

l'équation cinétique totale est donc :

décr.

obtient une longueur de ligne par unité de volume :

Les expériences récentes de Childers et Tough

[20, 211 et les mesures de fluctuations de Hoch, Busse

et Moss [22] ont confirmé le modèle. Dans les expé- riences de Childers un écoulement de chaleur est établi le long d'un tube et on mesure le gradient de tempé- rature AT et de pression AP en fonction du flux de chaleur

6.

Aux faibles courants de chaleur l'écoulement du fluide est laminaire. Dans un deuxième régime il y a turbulence du superfluide, sous la forme d'une masse de tourbillons. Une ATen excès apparaît par suite de la force de frottement mutuel et un A P en excès causé par la viscosité eddy. Le troisième régime semble associé à la turbulence du fluide normal, pour un flux de chaleur plus élevé. Mais il ne correspond pas à un nombre de Reynolds constant et ne semble pas suivre une loi de turbulence développée.

L'ensemble de ces résultats n'est pas bien compris. La turbulence du superfluide semble suivre le modèle de Vinen. La turbulence du fluide normal en présence du polymère de tourbillon reste une hypothèse non confirmée. Au-delà du seuil de turbulence, l'hydrodynamique du superfluide reste un champ ouvert d'expériences.

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