Effets de taille dans l'hélium superfluide - II. Étude par une méthode de fonctionnelle

HAL Id: jpa-00206765

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00206765

Submitted on 1 Jan 1969

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Effets de taille dans l’hélium superfluide - II. Étude par une méthode de fonctionnelle

K. Maki, E. Guyon

To cite this version:

K. Maki, E. Guyon. Effets de taille dans l’hélium superfluide - II. Étude par une méthode de fonction-

nelle. Journal de Physique, 1969, 30 (1), pp.63-70. �10.1051/jphys:0196900300106300�. �jpa-00206765�

EFFETS DE TAILLE DANS

L’HÉLIUM SUPERFLUIDE

II.

ÉTUDE

PAR UNE

MÉTHODE

DE

FONCTIONNELLE

Par K.

MAKI,

Department ^of Physics, ^Tôhoku University, Sendai, Japon,

et

E. GUYON,

Laboratoire de Physique ^{des Solides}

(1),

^{Faculté des} Sciences, 9I-Orsay.

(Reçu

^{le 22 avril} 1968, révisé le 4

septembre.)

Résumé. 2014 Nous

présentons

^{un modèle}

s’appuyant

^{sur la}

description

des transitions de

phase

^de Landau, décrivant les

propriétés critiques

de l’hélium

superfluide,

^en

particulier

^la

singularité logarithmique

^{de la chaleur}

spécifique

^au

point

lambda que ^ne

prédisait

pas ^la théorie initiale de

Ginzburg-Pitaevskii.

^Les

propriétés

^du

système

y

dépendent

crucialement des fluctuations du

paramètre

d’ordre. Nous calculons aussi la densité

superfluide qui

^{est en}

bon accord avec les résultats

expérimentaux

^{récents. Nous} discutons les

propriétés critiques

de l’hélium dues ^aux effets de taille :

déplacement

^{de la}

température d’apparition

^{de l’état}

superfluide T0

et chaleur

spécifique

^{et densité}

superfluide

^au

voisinage

^de T0.

Abstract. ²⁰¹⁴ This paper

presents

^{a model of the critical} behavior of the

superfluid phase

of helium consistent with the

general

^{idea of the}

phase

transition of Landau. The model

explains

^the

logarithmic singularity

^{of the} bulk helium at the lambda

point

^{which is not obtained}

in the

original theory

^of

Ginzburg

^and Pitaevskii. Here the fluctuations of the order para- meter

play

^{a dominant} role in the

properties

^{of the} system. ^In the framework of this model

we can calculate the

superfluid density

ⁱⁿ

good

agreement ^{with recent}

expérimental

^results.

Making

^a

simple assumption

^{on the}

geometrical configuration

^{we discuss} the critical

properties

of helium due to size effects : shift in the transition

temperature T0

^and

specific

^{heat and}

superfluid density

^near

T0.

A. Introduction. ^-

Ginzburg

^et Pitaevskii

[1]

(G.P.)

^{ont donne une} discussion

th6orique

^{des effets}

de taille dans 1’He II que nous avons utilis6e

prece-

demment sous une forme modifi6e

[2].

^{Leur theorie}

est semblable a celle de

Ginzburg

^{et Landau pour les}

supraconducteurs

^et utilise la notion d’un

parametre

d’ordre

superfluide complcxe, §(r).

^Son

amplitude

est le module d’une fonction d’onde effective. Dans

un

systeme

^sans

interaction, § )

^est

identique

^{a la}

densite

d’occupation

de 1’etat fondamental du

systeme

de bosons. Mais cette identification _{n’est pas}

possible

dans le

systeme

^en

interaction. §

^est alors la fonction d’onde caract6risant 1’etat

superfluide.

^En

particulier, [ § )2

^{-+ 0}

quand

T --->

Tx.

^{Nous ne} chercherons pas dans ce

traitement,

^{ou nous} utiliserons ^la notion de

parametre d’ordre,

^{a en donner une} definition micro-

scopique.

^Le traitement de G.P. ne permet pas de d6crire la

singularité logarithmique

de la chaleur

sp6ci- fique

^{de 1’He II massif au}

point

^{?,. On a attribu6 cette}

(1)

Laboratoire associe ^au Centre National de la Re- cherche

Scientifique.

faiblesse du traitement au fait _que Fen ne peut pas

en

general

^écrire

1’energie

^{libre en}

d6veloppement

limit6 en

puissance

^du

parametre

^d’ordre.

Nous

pr6sentons

^{ici un modele}

phénoménologique

que ^nous discutons en deux

parties. ^D’abord,

^nous

d6crivons ce modele _pour 1’He II massif. 11 est en

accord avec l’id6e

g6n6rale

des transitions de

phase, d6gag6e

par

Landau,

^{et il} permet

d’expliquer

^le

comportement singulier

^{de la chaleur}

spécifique

^a

T,.

Dans ce

modele,

les fluctuations du

parametre

^d’ordre

jouent

^un role determinant dans les

propri6t6s

^thermo-

dynamiques

^du

systeme.

^On peut considerer en fait que la

partie

^basse

frequence

des excitations normales

est celle

qui

^{est associ6e aux} fluctuations du

parametre

d’ordre. On peut

calculer,

^{dans ce}

cadre,

^{la densite}

superfluide,

^en bon accord avec les resultats

experi-

mentaux.

Ensuite,

^{nous utilisons ce modele a 1’etude}

des effets de taille dans 1’He II. Nous utilisons un

modele

simplifi6

pour d6crire la

configuration geome- trique

^du

systeme.

^On peut ainsi estimer la modifica- tion de la variation de

temperature

d’etablissement de 1’etat

superfluide To,

la chaleur

sp6cifique

^{et la densite}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0196900300106300

64

superfluide pres

^de

To.

^{On discute ces resultats a la}

lumiere des r6sultats

experimentaux présentés

^{dans la}

partie

^I

[2].

B. Modèle

théorique.

^{- La} theorie de G.P. n’ex-

plique

pas la

singularite logarithmique

^de

C,(T),

mais elle rend compte seulement de sa discontinuite finie a

T,.

^{Si on tient} compte ^de 1’effet de fluctuations du

parametre

d’ordre dans les

equations

^{de G.P. non}

modifi6es,

^{comme cela a ete fait} par Thouless

[3]

^dans

le cas

supraconducteur,

^{on obtient une}

divergence trop

forte de

Cp(T)

^en

^(T).

^-

T)-1/2.

En identifiant la densite

superfluide Ps(T)/p

^avec

la valeur a

1’6quilibre

^du

parametre d’ordre o [2,

on obtient une variation lin6aire en

(Tx - 7")

^{de la}

densite

superfluide

^en contradiction avec les

exp6-

riences

[4] qui pr6disent une

^{forme :}

Ps/p(T) == C(T). - T)2/3

^{avec C -}

1,43. (1)

Meme si on tient

compte

des fluctuations du _para- m6tre

d’ordre,

comme nous le ferons dans le modele de G.P. modifi6 que ^nous

pr6sentons,

^{on n’obtient} pas la

dependance experimentale (1)

^{mais une}

dependance en! I Tx - TI1/2.

Le modele de G.P. _repose sur deux

hypotheses : a )

^A

(la

difference

d’6nergie

^{libre entre 1’etat}

normal et 1’6tat

superfluide)

peut ^etre

d6velopp6

^en

puissance

^du

parametre

^d’ordre

t.J;2;

b)

^{Le terme}

d’6nergie cin6tique

^{associe aux varia-}

tions

spatiales de §

^{est donne par}

(1 /2M) [ V§ 2 [5].

M est

pris

^{comme la masse} de 1’atome d’h6lium.

On peut ^montrer que

1’hypothese b) correspond

^A

une correlation

spatiale

des fluctuations du

parametre

d’ordre du type Orstein-Zernike

[6] (c’est-a-dire

^une

loi en r-1 _pour des

grandes

^distances

r )

^au

point

^X

[7].

Ce

comportement

^n’est pas ^en accord avec une

analyse th6orique

r6cente de Fisher

[8].

^De

plus,

^{un calcul de}

Patashinski et Pokrovski

[9] pr6dit

^un

spectre

^d’exci- tation des fluctuations du

parametre

d’ordre diff6rent de la theorie de G.P.

(hypothese b) ) .

Nous proposons ici ^une

expression

differente de celle de G.P. en 6crivant

1’expression

fonctionnelle suivante _pour A :

ou a ⁼

ao(Tx

^-

T ) ; ao, b

^{et A sont}

pris

^constants

au

voisinage

^du

point

^?,.

Le terme

d’6nergie cinetique ^{A (§ + (- V2) 3’4 §}

^{d3 r a}

une

signification

^seulement par ^sa transformée de

Fourier,

c’est-a-dire dans

1’espace

^{des moments :}

Vest le volume du

systeme.

^{Comme nous 1’avons}

indique

^en

I, y;

^est

simplement

^un

parametre pheno- m6nologique

d6crivant 1’etat

superfluide

^{et nous ne}

cherchons _{pas a} l’identifier a une

quantite

^micro-

scopique

^{ou a} la densite

superfluide.

A

partir

^{de cette} fonctionnelle

(2),

^on peut calculer la moyenne

thermodynamique

^de

n’importe quelle quantite physique A(y;) :

D (y;)

^{est la mesure} fonctionnelle

qui

^{est donn6e} par :

et {fp(r)}

^{constitue une base}

complete

de fonctions orthonormalisees.

En

particulier,

^{si on choisit comme} base les fonctions

Par

exemple,

la fonction de correlation des fluc- tuations du

parametre

^{d’ordre est donnee} par :

Dans un

systeme homogene

^et

isotrope,

^{on voit}

facilement que

G(r, r’)

^ne

depend

que

de r - r’ I.

Dans ce cas, il est

plus simple

de considerer la trans-

form6e de Fourier de

G(r

^-

r’) :

puisque

^{les fonctions} propres de

l’op6rateur

sont les fonctions d’ondes

planes :

Dans le cas T >

7B,

la valeur

d’equilibre

^du

parametre

^{d’ordre est}

6gale

^{a zero et on}

peut negliger

le terme non lin6aire de

(2) qui

^{est d’ordre}

sup6rieur

dans le

champ

^de fluctuation du

parametre

^d’ordre.

On a :

.

Dans le cas T

T).,

la valeur

d’équilibre

^du

parametre

^{d’ordre est donnee}

par I Y;o 12

⁼

alb

^{et il}

faut utiliser la forme

complete (2).

^{Si on}

prend

^seule-

ment les termes

quadratiques

^du

champ

de fluctua-

tions,

^{on a :}

lYfl

^{est le}

gain d’energie

^{libre a 1’6tat}

superfluide lorsqu’on neglige

les fluctuations.

Dans la demonstration du resultat

(13),

^{on utilise}

la relation

(8)

^{et :}

On a utilise l’invariance de translation sur les mo- ments. En

particulier,

^{on voit}

qu’il

^ne peut pas y avoir de terme d’ordre

co.

Finalement,

^{on a :}

Dans le cas T >

7B, G(p) a

^{un seul}

pole.

^La

bande interdite dans le

spectre

^s’annule

quand

^{T -}

Tx.

Dans le cas T

Tx, G(p)

^{a deux}

poles.

^Une

branche du

spectre

^{est sans} bande interdite et corres-

pond

^aux fluctuations de la

phase

^du

parametre

d’ordre a

1’equilibre (pour

^deux

systemes

^{d6finis avec}

des

phases

differentes

1’energie

de 1’etat fondamental

est la

meme) .

^Cette

propriete

^est

caracteristique

^des

systemes

^{a 1’etat} condense. Une autre branche de ce

spectre

(fluctuations d’amplitude)

^{devient sans bande}

interdite dans la limite T -

7B [11].

Nous allons voir _que c’est cette branche

qui

^{contribue aux}

singula-

rit6s des

quantités thermodynamiques

^a

Tx.

C. Chaleur

spdcifique.

^{- Nous nous limitons au}

cas T

T,.

Afin de calculer la chaleur

spécifique,

on determine le

potentiel thermodynamique qui

^est

donne _par la relation

g6n6rale [12] :

Nous nous int6ressons au

comportement singulier

^de

la chaleur

sp6cifique.

^La contribution la

plus impor-

tante des fluctuations

provient

alors des fluctuations de basse

energie

Ep ^-+ 0. Dans ^cette

limite, 1’expres-

sion

(16)

^{se r6duit a :}

et :

L’6nergie

^de

coupure Ec

⁼

A c

^est

prise

^ind6-

pendante

^{de T : la} valeur limite Pc

pourrait

^etre

connue si on connaissait le

spectre d’energie

pour des valeurs suffisamment

grandes

^de

p,

c’est-a-dire les corrections d’ordre

plus

^élevé

en p

^dans

1’energie

libre

(2).

^Dans le cadre du modele

present,

^{on ne}

sait pas calculer ces corrections.

(Dans

^{le cas} supra-

conducteur,

^on

peut

calculer la correction _correspon- dante a

1’6quation

^de

Ginzburg-Landau

^{et on trouve}

que

p,

^est de l’ordre de l’inverse de la

longueur

^de

coherence

ind6pendante

^{de la}

température Ço [13].)

Les fluctuations donnent lieu au terme de

singularite logarithmique

^de

C, (T) :

Ceci est en accord avec les r6sultats

experimentaux

de

Fairbank, Buckingham

^{et Kellers}

[14].

^{En uni-}

t6s

C.G.S.,

^{on a :}

66

Cependant,

^le spectre de fluctuations donne _par

(14)

et

(15)

^n’est pas

sym6trique

^de part ^{et d’autre de}

Ta.

Le coefficient du terme

logarithmique

^{au-dessus de}

T,

differe _par un facteur 2 de celui

au-dessous,

^{en contra-}

diction avec

1’experience [14].

^{Ce d6saccord} n’est pas bien

compris

dans le cadre de ^ce modele.

L’échelle de variation du

parametre

^{d’ordre est}

donnee _par la forme du ^terme

d’énergie cin6tique.

On d6finit a

partir

^de

(2)

^une

longueur

de coherence :

en bon accord avec les determinations bas6es sur des arguments ^de

scaling [15]

^{et les} estimations obtenues

dans la partie I.

D. Densitd

superfluide,.

^- Nous calculons tout

d’abord la densite normale _Pn ⁼ _p ^- _pg selon la m6thode donnee _par Landau

[12] : quand

^le gaz

d’excitations

(c’ est-à-dire

^{ici le}

champ

de fluctuations du

parametre d’ordre)

^se

d6place

^{a une} vitesse uni- forme _{v, le} moment total du

systeme :

Le moment effectif du

champ

^de fluctuation a porter dans

1’expression pr6c6dente

^{est donne}

quand v -->-

⁰

par :

( "*, , ^B

^{est une moyenne}

spatiale

^en

presence

^de

la vitesse v :

obtenu en

remplaqant

^dans

(15)

p par p ^- Mv.

En

portant (22)

^dans

(21)

^{et en}

d6veloppant

dans la limite v 20130 :

A

T,

^{on a} P n ⁼ p. Ceci determine le terme constant et on

peut

^écrire

(23)

^{comme :}

En utilisant la forme de

(T) (18),

^{on trouve :}

qui

^{a le meme} exposant

critique

que les resultats

exp6-

rimentaux

(1). Compte

^tenu de l’incertitude sur la

pente

^{de la chaleur}

spécifique,

introduite dans ce

mod6le,

^{I’accord entre} les ordres de

grandeur

^calculé

et observe ^est raisonnable.

Nous avons lie dans ce calcul la loi de

dependance

en

temperature

de la densite

superfluide

^et le coeffi- cient du terme de

singularite logarithmique;

^c’est-à-

dire _que la densite

superfluide

^est contr6l6e seulement

par le

champ

de fluctuation du

parametre

^d’ordre.

La densite

superfluide pres

^de

T,

^est

ind6pendante

de la discontinuite finie de

Cp

^a

T À qui

intervient dans la valeur a

1’equilibre

^du

parametre

d’ordre. Ce r6sul-

tat est 6videmment

juste

^a

l’oppos6

^{de celui de G.P.}

E. Cas d’un

petit specimen.

^{- Nous} nous sommes

limites

jusqu’ici

^{au cas}

homogene.

Nous allons main- tenant etudier le cas d’un film mince ou de I’h6lium

contenu entre deux

parois

^solides

paralleles

^limit6es

le

long

^{de Ox} par x ⁼ 0 et x ⁼ d. Pour discuter les

propri6t6s

^{du film en} dessous de

To,

il faudrait connaitre la solution

tfo(r)

^de

l’équation

^non linearisee :

A(- V2)3/4 o (r)

⁼

§ o ()

^{- b}

(§ o () ¹² o(r)).

^.

(25)

1. TEMPERATURE DE TRANSITION

2"o.

^{- Nous dis-}

cutons d’abord la solution de

1’equation

lin6aris6e

qui

est valable a la

temperature

de transition vers Fetat

On doit r6soudre cette

equation

^avec la condition

aux limites

0(r) - 0

^{pour x =}

^0,

d. Cette condi- tion aux limites a ete

posee

initialement _par G.P.

[1]

et traduit la forte modification des

propri6t6s

^de

1’He II due a la

presence

d’effets de taille. 11

n’y

^a

pas de

justification microscopique

^{de cette}

propriete

que ^nous utilisons _par

simplicité.

^{Loin de}

T,,

^{la forme}

exacte de la condition n’est _{pas tres}

importante

^à

cause de la faible valeur de

ç (T).

^La solution de

(26)

est alors :

,

Cette derniere relation d6finit la

temperature To :

La forme

(27)

^{est en accord}

quantitatif

raisonnable

avec les resultats

experimentaux

^{de mesure de}

To

discutes dans la

partie

^{I. Dans les} mesures sur des

systemes

poreux, ^on doit tenir compte d’une distri- bution des valeurs de d et de la forte modification des

propri6t6s

^des

premieres

couches d’hélium due

aux forces de Van der Waals. Ces memes difficultés se retrouvent dans les

experiences

^sur des films. Pour ces

raisons,

^il n’est pas

possible

^de comparer

pr6cis6ment experiences

^et

calcul,

^en

particulier

de decider entre

la valeur

3/2

^de

1’exposant

^du

present

^modele

(eq. (27))

et de

1’exposant

^{2 du modele}

original

^{de G.P.}

Le resultat

(27)

peut ^{etre mis sous la forme :}

Ceci veut dire que

lorsque 1’epaisseur

du film devient trop

petite

^{devant la}

longueur

de coherence

qui

^tra-

duit la

port6e

^minimum des variations du

parametre

d’ordre

(impos6es

par la

presence

^des

parois),

^1’etat

superfluide

devient instable.

2. COMPORTEMENT SOUS CRITIQUE. ^- Pour connaitre le

comportement

du film mince d’h6lium en dessous de

To,

^{il faut connaitre} les solutions de

1’equation

^non

lin6aris6e.

Néanmoins,

^des que T n’est _pas trop

pres

de

To,

la valeur

d’6quilibre tfJo(r)

^est

pratiquement

constante si on

neglige

^{sa variation au}

voisinage

imm6diat

(N

¹

A)

^des

parois.

^{Dans ce cas, le} spectre des fluctuations est :

a)

^Chaleur

spécifique.

^{- On peut} la calculer comme

dans le cas

homogene :

Tous calculs faits

(appendice A),

^{on a} pour la chaleur

specifique :

On voit

qu’il n’y

^a

plus

^{de terme}

divergent

^dans

1’ expression

de la chaleur

spécifique

^et que

C,,(T)

varie lineairement avec T dans la

region

d’intérêt. On peut

comprendre qualitativement

^le

comportement

de

C,,(T) :

^la

singularite logarithmique

^{est li6e aux fluc-}

tuations de

grande longueur

d’onde. La

presence

^des

parois limite q [I q 12 = p2 + (nnld)2]

^{à la valeur}

7c/d

et entraine la

disparition

^{de la}

singularite.

^Pour

pouvoir analyser

^le

comportement

^de

C,, (T) pres

^de

To,

^il

faudrait tenir

compte

^{de 1’effet Fulde et Moorman}

[17], analyse

^{dans la}

premiere partie

^{de ce travail}

[2],

^c’est-a-

dire la modification des solutions de

(25)

^{avec la}

temp6-

rature. Le

comportement

^non

singulier

^de

Cs( T)

^{a 6t6}

observe dans les

experiences

^sur des films d’He _{II par} Brewer

[18]

^et par Frederische

[19].

b)

^Densité

superfluide.

^- On utilise la m6thode de D. :

68

Tous calculs faits

(voir appendice B),

^{il vient :}

P g ( T )

varie lin6airement en

(Tx - T).

^{Le domaine}

de validite de la loi lin6aire peut ^{etre estim6 en} compa- rant les termes du

premier

^{ordre et} du deuxieme. 11 augmente

quand dlço ^diminue,

c’est-a-dire _pour les films minces. Le fait _que

I expression

^est fonction de

T,

et non de

To

peut

surprendre.

^Comme

Ps(T)

^{est d6fini}

a une constante

pres,

^{il est}

possible

de normaliser

p,,(TO)

^{= 0. En}

fait, To

n’intervient pas parce que 1’on n’a _pas utilise les solutions exactes de

1’6quation

non lin6aris6e

(tenant compte

^de 1’effet Fulde et

Moorman),

^mais que l’on a

suppose §

^{constant, ce}

qui

^{est vrai} seulement dans le cas d’un 6chantillon massif. Dans le cas considere

ici,

^{on a}

pres

^de

To :

,

o

^sin

7x

o- d

Le modele nous a

permis

n6anmoins de

pr6voir

dans le cas des films minces et de I’h6lium contenu

dans un tube 6troit les deux effets suivants observes

au

voisinage

^de

To :

- attenuation de la

singularite logarithmique;

-

disparition

^du

comportement

^en

(Tx - 7")2/3

^de

la densite

superfluide,

effets que nous avons decrits

pr6c6demment.

^{11 reste}

a

expliquer pourquoi,

^{dans les}

systemes

^de

petite

taille

( To N

²

OK),

^{on observe une variation encore}

plus

^lente

(en ( To - T) 2)

de la densite

superfluide.

I1 n’est _pas

possible

^{dans les}

experiences

^de

quatrieme

son de

negliger

^la

possibilite

d’effets lies a la distribu- tion

statistique

^des pores. Afin d’obtenir une

géométrie

mieux

contr6l6e,

^des

experiences

de troisieme son ont

ete

entreprises

^sur des films d’h6lium non satur6s

[20].

Nous remercions les Drs C.

Caroli,

^{F. Talkano et}

R. S.

Thompson

pour des discussions sur ce travail.

APPENDICE

A

Calcul de la chaleur

spdcifique

^{d’un film mince}

La formule

(29)

^{s’6crit :}

d’ou on deduit la contribution du terme de fluctuations du

potentiel thermodynamique

^{a la chaleur}

speci-

fique (30).

APPENDICE B

Densitd normale de films dlhdlium ^II

Nous calculons les termes de

l’int6grale (31) qui dependent

^{de T}

par lal

^et interviennent dans la

dependance

^en

temperature

de Pn ^et pg. Si on pose

ou en retenant le terme

dependant

^{de T} dans la limite

De meme :

Finalement,

^en utilisant la forme de _Pn

(31)

^et la definition de

D’ou finalement le resultat

(32).

BIBLIOGRAPHIE

[1]

^GINZBURG (V.

L.)

et PITAEVSKII

(P. L.),

^Sov. Phys.

JETP,

1958, 34, 858.

[2]

^GUYON

(E.)

^{et RUDNICK}

(I.),

^1re

partie

^{de cet} article,

J.

Phys., 1968, 29, ^1081.

[3]

^THOULESS

(D. J.),

^Ann. Physics, 1960, 10, ^553.

[4]

^CLOW

(J. R.)

^{et REPPY}

(J. D.),

Phys. ^Rev. Lett., 1966, 16, ^887.

TYSON

(J. A.)

^{et DOUGLASS}

(D.

H.),

Phys.

^Rev.

Lett., 1967, 19, 291.

[5]

^{Nous utilisons un}

système

^{où 0127} = kB ^{= 1.}

[6]

^ORNSTEIN

(L. S.)

^{et ZERNIKE}

(F.),

Proc. Acad. Sci.

Amsterdam, 1914, 17, 793 ;

Physik.

Z., 1918, 19, 134.

[7]

^{Voir DE GENNES}

(P. G.), Superconductivity

^of

metals and

alloys (Benjamin,

^New York,

1966),

p. ^174.

[8]

^FISHER

(M. E.), J.

^Math. Phys., 1964, 5, ^944.

70

[9]

PATASHINSKI

(A. Z.)

et POKROVSKII

(V. L.),

^Zhurnal

Eksperim i

^Teor. Fiz., 1964, 46, 944

(translation

Sov. Phys.

JETP,

^{1964, 19,}

677).

[10]

On utilise la relation :

[11]

La fluctuation ^de

03B403C8

^est

couplée

^{à celle de}

03B403C8*.

En

diagonalisant

^le

système d’équations couplées

en

03B403C8

^et

03B403C8*,

^on

pourrait

voir que la branche du

spectre

^sans bande interdite

correspond

^à

un mode de fluctuations satisfaisant ^la relation

03B403C8*-n

^{= -}

03B403C8n

^et que ^l’autre branche du

spectre

satisfait la relation

03B403C8*-n

⁼

03B403C8n.

[12]

^LANDAU

(L.)

^{et LIFSHITZ}

(E. M.),

Statistical

Physics, Pergamon

Press, London.

[13]

^MAKI

(K.),

^non

publié.

[14]

BUCKINGHAM

(M. J.)

^{et FAIRBANK}

(W. M.), Progress

in low

temperature Physics,

^{Gorter ed.}

(North-

Holland, Amsterdam,

1961),

^vol. III, p. ^81.

[15]

JOSEPHSON (B.

D.),

Phys. Letters, 1966, 21, ^608.

[16]

MANCHESTER, Rev. Mod. Phys., 1967, 39, 383.

M. Chester

(comm. privée)

^a

analysé classiquement

les effets de taille dans le film d’He à

partir

^{de la}

modification de densité

superfluide

^{due aux forces}

de V. d. W. et obtenu une

description

raisonnable des mesures de

03C1s(T)

^{dans les films.}

[17] ^FULDE

(P.)

^et MOORMAN, 1967, 6, 403.

[18]

^BREWER

(D. F.),

ⁱⁿ

Superfluid

^{Helium, Allen}

(J. F.)

ed. (Academic Press, New York,

1966).

[19]

FREDERISCHE

(H.

^P.

R.),

Physica, 1949, 15, 860.

[20]

^RUDNICK

(I.),

^KAGIWADA

(R. S.),

^FRASER

(J. C.)

^et

GUYON

(E.),

Phys. ^Rev. Lett., 1968, 20, 430.