13.9 On utilise les conventions habituelles ~a =
a
1a
2a
3
et ~b =
b
1b
2b
3
. 1) L’identité de Lagrange implique :
k ~a × ~bk
2= k~ak
2k ~bk
2− (~a ·~b)
2= k ~ak
2k ~bk
2−
k~ak k ~bk cos(ϕ)
2=
= k~ak
2k ~bk
2− k ~ak
2k ~bk
2cos
2(ϕ) = k ~ak
2k ~bk
21 − cos
2(ϕ)
=
= k~ak
2k ~bk
2sin
2(ϕ)
On sait que k~ak > 0 et que k ~bk > 0. En admettant 0 6 ϕ 6 180 ˚, on a aussi sin(ϕ) > 0. C’est pourquoi, on conclut à k~a × ~bk = k~ak k ~bk sin(ϕ) . 2)
ϕ
~a
~b
Le parallélogramme construit sur les vecteurs ~a et ~b a une aire égale au rectangle de longueur k~ak et de largeur k ~bk sin(ϕ). Son aire vaut donc : k ~ak k ~bk sin(ϕ) = k~a ×~bk.
Géométrie : produit vectoriel Corrigé 13.9