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13.9 On utilise les conventions habituelles ~a =

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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13.9 On utilise les conventions habituelles ~a =

 a

1

a

2

a

3

 et ~b =

 b

1

b

2

b

3

 . 1) L’identité de Lagrange implique :

k ~a × ~bk

2

= k~ak

2

k ~bk

2

− (~a ·~b)

2

= k ~ak

2

k ~bk

2

k~ak k ~bk cos(ϕ)

2

=

= k~ak

2

k ~bk

2

− k ~ak

2

k ~bk

2

cos

2

(ϕ) = k ~ak

2

k ~bk

2

1 − cos

2

(ϕ)

=

= k~ak

2

k ~bk

2

sin

2

(ϕ)

On sait que k~ak > 0 et que k ~bk > 0. En admettant 0 6 ϕ 6 180 ˚, on a aussi sin(ϕ) > 0. C’est pourquoi, on conclut à k~a × ~bk = k~ak k ~bk sin(ϕ) . 2)

ϕ

~a

~b

Le parallélogramme construit sur les vecteurs ~a et ~b a une aire égale au rectangle de longueur k~ak et de largeur k ~bk sin(ϕ). Son aire vaut donc : k ~ak k ~bk sin(ϕ) = k~a ×~bk.

Géométrie : produit vectoriel Corrigé 13.9

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