Étude mathématique et numérique de cristaux photoniques fortement contrastés

HAL Id: tel-00562138

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00562138

Submitted on 2 Feb 2011

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

Étude mathématique et numérique de cristaux

photoniques fortement contrastés

Christophe Bourel

To cite this version:

Christophe Bourel. Étude mathématique et numérique de cristaux photoniques fortement contrastés.

Mathématiques [math]. Université du Sud Toulon Var, 2010. Français. �tel-00562138�

U.F.R. S ien es et Te hniques

THÈSE

pour obtenirle grade de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DU SUD TOULON-VAR

Dis ipline : Mathématiques Appliquées

Présentée etsoutenue publiquement

par

Christophe BOUREL

le13 dé embre 2010

Titre :

Étude mathématique et numérique de ristaux

photoniques fortement ontrastés

Jury et rapporteurs :

M. AMMARI Habib, É ole normalesupérieure, Paris Rapporteur

M. BELLIEUD Mi hel, Université de Perpignan Via Domitia Examinateur

M. BONNETIER Eri , Université Joseph Fourier,Grenoble Rapporteur

M. BOUCHITTE Guy, IMATH, Université du Sud Toulon-Var Dire teur de thèse

M. NICOLET André, Institut Fresnel,Marseille Rapporteur

M. SEPPECHER Pierre, IMATH, Université du Sud Toulon-Var Examinateur

Je souhaite adresser mes remer iements les plus profonds à ertaines personnes sans

qui ette thèse n'auraitpu voir lejour :

MonsieurGuyBOUCHITTE, monmaîtrede thèse, quim'a transmissapassionpour

les métamatériaux et qui a partagé ave moi ses très nombreuses onnaissan es. Je le

remer ie pour sagrande disponibilité et sapatien e parti ulièrementdurant la période

de réda tion.

Éri BONNETIER et Habib AMMARI pour avoir ee tué la déli ate tâ he de

rap-porter mathèse.

Frédéri ZOLLAetAndréNICOLET,pouravoirfaitpartiedemonjury.Jelesremer ie

égalementde m'avoira ueilliàMarseilleetprodiguéde nombreux onseilsnumériques,

en parti ulierà propos des élémentsd'arêtes de Nédéle .Mer i à André d'avoir a epté

de rapporter ma thèse de son pointde vuephysique.

Mi hel BELLIEUD, d'avoira epté d'être membre de mon jury.Je leremer ie

égale-mentdem'avoirorientéversGuydansmon hoixdethèseetdem'avoirsuiviet onseillé

au début de es trois années de travail.

PierreSEPPECHER,pouravoira eptéd'êtremembrede monjuryetpourson ours

de al ul des variationsque j'ai suivien première année ave grand intérêt.

DidierFELBACQ,pourm'avoira ueillidenombreuses foisàMontpellieretpour ses

onseils, en parti ulier sur la méthode d'approximationspe trale du hapitre6.

Cédri GALUSINSKI,pourlesnombreuses dis ussionsquenousavonseues autourde

problèmes numériques.

Un grand mer i à l'ensemble des membres du laboratoire IMATH pour leur a ueil

sympathique et les é hanges, s ientiques ou non, que j'ai eu ave eux durant es trois

années.

Mi kaël BARBOTTEU, mon en adrant de stage de M2 à Perpignan, pour m'avoir

initié aux joies de l'analyse numérique et de la programmationen Fortran, outils sans

lesquels le hapitre 6n'aurait pu voirle jour.

Toute l'équipe enseignante de l'Université de Perpignan, sour e de ma passion pour

les mathématiques.

Unremer iement àmafamilleetmes amis pour leur soutienae tifetleurs

Introdu tion 1

1 Contexte physique 7

1 Dira tion d'une onde éle tromagnétique . . . 7

1.1 Équations de Maxwell . . . 7

1.2 Régime harmonique . . . 8

1.3 Lois onstitutives . . . 9

1.4 Problème de dira tion, onditions de rayonnement . . . 12

1.5 Métal inniment ondu teur. . . 14

1.6 Les as de polarisation

E//

et

H//

. . . 15

2 Métamatériaux et ristaux photoniques . . . 16

2.1 Indi e de réfra tionnégatif . . . 18

2.2 Fréquen es interdites . . . 19

2.3 Comment obtenirdes résonan es,milieuxextrêmes. . . 20

3 Appli ations ré entes . . . 20

3.1 Super-lentille . . . 20

3.2 Cape d'invisibilité. . . 21

2 Outils mathématiques 23 1 Éléments d'analyse fon tionnelle . . . 23

1.1 Espa es de Sobolev . . . 25

1.2 Fon tions périodiques . . . 27

1.3 Compa ité par ompensation: lemmediv-rot . . . 31

1.4 Élémentsde théoriespe trale . . . 32

1.5 Un peu de théorie des probabilités. . . 37

1.6 Résultats lassiques pour le problème de dira tion . . . 38

2 Homogénéisation . . . 40

2.1 Notion de milieuxee tifs . . . 40

2.2 Convergen e double-é helle. . . 41

2.3 Exemples de limitesdouble-é helle . . . 47

3 Nanobres métalliques et tenseurs de permittivité réalisables 51 Introdu tion . . . 51

1 Homogénéisationde nano-bresmétalliques ( as apa itaire) . . . 52

1.1 Des ription de la stru ture . . . 52

2 Loi ee tive obtenue par homogénéisation réitérée . . . 59

2.1 Des riptionde lastru ture . . . 59

2.2 Résultatprin ipalet simulationsnumériques . . . 61

2.3 Estimations etrésultats préliminaires . . . 66

2.4 Analyse double-é helle . . . 68

2.5 Etude du problème de mi ro- résonan es . . . 71

2.6 Démonstration du théorème prin ipal . . . 74

2.7 Propriétés de la résonan e fondamentale . . . 78

3 Cas de nano-bres orientées dans lestrois dire tions . . . 81

3.1 Varianteave lesdire tions alternées . . . 82

3.2 Varianteave lesbres roisées . . . 84

3.3 Éléments de démonstration . . . 89

3.4 Permittivitésee tives atteignables par homogénéisation . . . 92

Con lusion. . . 93

4 In lusions diéle triques et magnétisme arti iel 95 Historique et des riptiondu modèle 3D . . . 95

1 Résultat prin ipal . . . 98

1.1 Loiee tive homogénéiséeet onvergen e . . . 98

1.2 Simulationsnumériques . . . 100

1.3 S héma de la démonstration . . . 101

2 Estimations et résultatspréliminaires . . . 102

2.1 Comportement du hamp loinde l'obsta le etbornes

L

2

. . . 103

2.2 Analyse double-é helle . . . 105

3 Solutions élémentaires sur le tore . . . 106

3.1 Des riptiondu hamp éle triquemi ros opique . . . 106

3.2 Des riptiondu hamp magnétique mi ros opique . . . 107

4 Perméabilité ee tiveen fon tion de lafréquen e. . . 115

4.1 Analyse spe trale sur le tore . . . 115

4.2 Tenseur de permittivité ee tif . . . 116

5 Démonstration du résultatprin ipal . . . 117

5.1 Obtention de laloiee tive . . . 117

5.2 Convergen e fortedouble-é helle. . . 119

5.3 Justi ation de l'hypothèse d'énergie. . . 126

6 Reformulation du problème spe tral (4.47) . . . 126

Con lusion. . . 131

5 Quelques résultats dans le as aléatoire 133 Des ription du modèle . . . 133

1 Résultat prin ipal . . . 136

2 Cadre mathématique sto hastique . . . 138

2.1 Des riptionde l'ensembledes évènements

Ω

. . . 138

3 Estimations et résultatspréliminaires . . . 143

3.1 Comportementloinde l'obsta le etborne

L

2

. . . 143

3.2 Analyse double-é helle sto hastique . . . 144

4 Solutionsélémentaires sur la ellule unité . . . 146

4.1 Cara térisation du tenseur de permittivitéee tif . . . 146

4.2 Cara térisation de laperméabilité ee tive . . . 147

5 Démonstration du résultat prin ipal . . . 149

5.1 Loi ee tive homogénéisée . . . 149

5.2 Convergen e forte double-é helle . . . 150

5.3 Justi ation de l'hypothèse d'énergie . . . 154

6 Loi de perméabilité ee tive dépendantde lafréquen e . . . 154

6.1 Simulationsnumériques . . . 155

6.2 Le as de diéle triques ave très faiblespertes . . . 155

6 Approximation numérique des tenseurs ee tifs 161 Introdu tion . . . 161

1 Méthode de Galerkinpour l'approximation spe trale . . . 162

2 Approximation du tenseur

ε

eff

_(ω)

obtenu dans le hapitre3 . . . 165

3 Approximation du tenseur

µ

eff

_(ω)

obtenu dans le hapitre4 . . . 167

3.1 Élémentsd'arêtes de Nédéle . . . 167

3.2 Un résultat de densité . . . 174

3.3 Approximation du tenseur

µ

eff

. . . 180

4 Cal ul ee tifdes opérateurs dis rétisés . . . 181

4.1 Noyau de Green périodique. . . 181

4.2 Extra tion de la singularité du noyau.. . . 183

Con lusion et perspe tives 187

Dans le milieu des années 90, les avan ées en nano-te hnologies ont rendu possible

l'élaboration de matériaux arti iels dont le omportement vis-à-vis des ondes

éle tro-magnétiques est tout à fait surprenant et, pour ette raison, ils sont appelées parfois

métamatériaux. Depuis lors, es matériaux intéressent beau oup la ommunauté

s ien-tique, notammentdansledomainede l'optique,en raisonde leur apa itéà ontrler

la propagation lumineuse.

Ces milieux sont en fait des matériaux omposites (plus ou moins stru turés) pour

lesquels une théorieee tive peut parfois être mise en ÷uvre etfait apparaître des

ten-seurs de permittivité ou de perméabilité qui dièrent omplètement de eux que l'on

peut ren ontrer dans des milieux homogènes naturels. Dansledomainede l'optique, des

avan ées majeures ont été obtenues ré emment par J. B. Pendry ainsi que M. Lassas,

G. Uhlmann et al. [27℄. Notamment, Pendry a obtenu en 1996 [43℄ un milieu à

per-mittivité négative en dessous d'une fréquen e de oupure et en 1999 [42℄ il obtient un

milieu àperméabilité négative dans ertainesbandes de fréquen es.Dans ha unde es

as, les stru tures envisagées sont formées de mi ro- omposants métalliques de grande

ondu tivité formant diérents motifs disposés périodiquement (bres parallèles dans

le premier as et anneaux fendus dans le se ond). L'asso iation de es deux stru tures

permet d'obtenir un milieu se omportant,à ertaines fréquen es, omme un milieude

permittivité et de perméabilité simultanément négatives [38℄. Il s'agit de l'un des

mé-tamatériaux les plus populaires du fait de ses propriétés de réfra tion inverse. Notons

que, bien des années auparavant, quelques appli ations théoriques de tels matériaux à

indi es négatifs(notammentleslentillesplanes)avaientété dé ouvertespar Veselago et

présentées dans son élèbre arti le de 1968 [51℄.

Ces matériaux omposites sont souvent formés d'une stru ture périodique dont les

omposantssontmétalliquesoudiéle triques ave des paramètres onstitutifs

(permitti-vité, ondu tivité) présentant de forts ontrastes ave lamatri e (ou le vide)les

entou-rant.Unetellestru tureest illuminéeparuneondein identedontlalongueurd'ondeest

grande devant la taille et l'espa ement de es in lusions. C'est pour ette raison que le

omportementma ros opique de tellesstru tures peut parfois êtreassimilé à elui d'un

milieu homogène dé rit par des paramètres ee tifs : l'étude mathématique est ainsi

pla ée dans le adrede l'homogénéisation.

Les obje tif prin ipaux de ette thèse sont :

- Comprendresousquelles onditions (géométriedes in lusions,ordre du ontraste

rela-tivementàlapériode)lastru ture ompositese omporteasymptotiquement ommeun

obsta le homogène ara térisé par des tenseurs ee tifsde permittivitéetde

in idente et plus parti ulièrement dans le as où es tenseurs admettent des valeurs

propresde partieréelle négative.

Nous nous pla erons essentiellement dans le domaine de l'optique (longueur d'onde

inférieure à 800 nm) où la perméabilité des matériaux reste pro he de elle du vide.

Les eets de ontraste on erneront don le oe ient de permittivité (qui peut être

assez importantnotamment pour des métaux).

Dans ha une des stru tures étudiées, nous ee tuerons une analyse asymptotique

relativement à un petit paramètre noté

η

en fon tion duquel nous ferons varier la pé-riode, la permittivité relativedes in lusionsainsi que leur géométrie. Plus pré isément,

la période de la stru ture sera

dη

(où

d

est un paramètre de normalisation), les in lu-sions o uperont un sous-ensemble

Σ

η

de l'obsta le dira tant

B ⊂ R

3

et

ε

η

(x)

dé rira lo alement la permittivité du milieu.La stru ture dépend ainsi du seul paramètre

η

et reste ontenue dans le domaine borné

B

. Nous onsidérons alors, pour tout

η > 0

, le

problème de dira tion d'une onde in idente mono hromatique

(E

inc

_{, H}

inc

₎

(représen-tantles hampséle triquesetmagnétiques venant de l'inni),indépendantede

η

etde fréquen eangulairedonnée

ω > 0

.Le hampéle tromagnétiquetotal

(E

η

, H

η

)

estalors

solutiondu système de Maxwell

(

rot

_E

_η

_{= iωµ}

₀

_H

_η

_,

rot

_H

_η

₌

_−iωε

₀

_ε

_η

_E

_η

_.

(0.1)

I i

ε

0

et

µ

0

sont les permittivité et perméabilité du vide (si bien que

ε

η

= 1

dans

R

3

_{\ Σ}

_η

) etles équations dans (0.1) sont vériées au sens des distributions sur tout

R

3

.

Larésolutiondu système(0.1) oupléàdes onditionsd'ondes sortantesàl'innipourle

hamp dira té

(E

η

− E

inc

_{, H}

η

− H

inc

)

onduità unesolution unique

(E

η

, H

η

)

.Notre problèmemathématiqueprin ipalest lassiqueen théoriedel'homogénéisation:ils'agit

d'étudierle omportementasymptotiquequand

η

tendvers

0

de

(E

η

, H

η

)

etd'identier le hamplimite

(E, H)

en tantquesolutiond'unproblèmede dira tion ara térisépar des tenseursee tifshomogénéisés. Danslessituationsquenousallons ren ontrer, ette

étude s'avère déli atepour diérentes raisons:

ˆ L'obsta le

B

estbornéettridimensionnel: elaex lutlapossibilitéderéduirel'étude

au as de hamps éle triques ou magnétiques polarisés. Notons que ette hypothèse

simpli atri eesttrèssouventutiliséeparlesphysi iensetpermetderamenerlesystème

(0.1) à une équation de type Helmoltz en dimension deux. Elle est légitime seulement

quand l'obsta le est invariantdans une dire tion (don non borné).

ˆ Le fait de hoisir un fa teur de ontraste important (milieux extrêmes) donne un

rle ru ial àla topologiedes in lusionsausein de la ellule de périodi ité.

ˆ Dans ertains as, la re her he d'une loi homogénéisée dé rite par des tenseurs de

permittivitéetdepermittivités'avèreinfru tueuse.L'analyseasymptotiquepeuteneet

onduire à des loisee tives non lo ales omme nous leverrons dans le hapitre3.

ˆ Due à la nature ve torielle du système de Maxwell et au fait que les estimations à

priorimettenten jeuuniquement lerotationneldes hamps

E

η

et

H

η

,ilest très déli at

d'établir une borne uniforme de es hamps dans

L

2

Nous onsidéreronsessentiellementdeuxtypesdestru tures(parfoisave unevariante

sto hastique):

Dansun premier as, elles sont omposées d'in lusionsmétalliquesfortement

ondu -tri es ave faible taux de remplissage (pour limiter la dissipation).C'est de ette façon

que nous atteindrons des tenseurs de permittivité négatifs.

Dans le se ond as, es stru tures seront omposées d'in lusions fortement

diéle -triquesdisposéesave unefra tionvolumiquerestantstri tementpositive.Ilenrésultera

du magnétismearti iel etdes tenseurs de perméabiliténégatifs.

Danslesdeux as, laloihomogénéiséeglobaleserarégie parun problèmespe tralsurla

ellulede périodi ité(mi ro-résonateurs)quiapparaîtralorsde l'analyseasymptotique

double-é helledu hamp

(E

η

, H

η

)

.Lesos illationsde es hampsàl'ordredelapériode

η

sont en faitex itées par des résonan es internes asso iées.

Le plan du manus rit est le suivant:

Après quelques rappels sur les équations de Maxwell, nous présentons brièvement

dans le premier hapitre les ristaux photoniques et métamatériaux ainsi que quelques

appli ations ré entes.

Nous introduisonsdans lese ond hapitre les diérentes notations et notions

mathé-matiques qui seront utilisées tout au long de la thèse. Nous y présenterons notamment

la méthode de onvergen e double-é helle ave quelques exemples illustratifs, quelques

éléments on ernant les espa es de Sobolev périodiques ainsi que la théorie spe trale

d'opérateurs ompa ts.

Dansletroisième hapitre,nousproposonsla onstru tiond'un ristalphotonique 3D

onduisant à un tenseur de permittivité ee tif négatif. C'est à notre onnaissan e le

premier résultat mathématiquerigoureux permettant d'obtenir de tels matériaux

ee -tifs dans le adre de la dira tiond'onde éle tromagnétique par un obsta leborné 3D.

Notre métamatériauest onstruit en deux étapes :

- Lapremière, inspiréedes travauxde D.Felba q etG.Bou hitté[12℄, onsisteà

onsi-dérer un omposite forméde bresmétalliques parallèlestrès nes, très ondu tri es et

de longueur nie. Contrairement à l'idée ommunément admise, la loi onstitutive qui

résulte de l'homogénéisationd'unetellestru ture est non lo ale(toutefois une

permitti-vité négativepeut être atteinte lorsque lalongueur des bres est innie [25℄).

- La se onde étape est entièrement nouvelle. Elle onsiste à onsidérer une stru ture

formée delareprodu tionpériodique,àunepetiteé helle,du matériau omposite

pré é-dent.Enappliquantune pro édured'homogénéisationréitérée, nousobtenons unmilieu

ee tif lo altridimensionnel dé rit par un tenseur de permittivitédépendant de la

fré-quen e et faisant intervenir un problème spe tralsur la ellule unité.

Le tenseur ee tif obtenu dépend en outre des diérentsparamètres physiques

dé ri-vant la stru ture ( ondu tivité, taux de remplissage des bres, oe ient apa itaire).

pondre àdes questions on ernant lesmilieuxatteignables par homogénéisationtelles

quetraitéesdansl'arti leré entde G.Milton[34℄ (voiraussi lerésultatde P.Seppe her

[15℄ dans le as de l'élasti itélinéaire).

Dans le quatrième hapitre, nous proposons une extension 3D des résultats obtenus

dansun adrebidimensionnelpar J.Pendry[39℄en 2002puisdémontrésrigoureusement

par G. Bou hitté etD. Felba q [20℄ en 2005. Rappelons que dans es travaux, le ristal

photoniqueétait onstitué d'unréseaude bres diéle triquesparallèlesde longueur

in-nieet,pourun hoixjudi ieuxdu ontraste,faisaitapparaîtreuneperméabiliténégative

dans ladire tion des bres.

La stru ture que nous étudions i i est formée d'in lusions simplement onnexes

(ty-piquement des sphères), fortement diéle triques, et disposées périodiquement au sein

d'un domaineborné de

R

3

. En maintenant onstant le diamètre optique des in lusions

( e qui impose un ontraste de l'ordrede

1/η

2

), l'analyse double-é helle faitapparaître

unea tivitémagnétique auniveaudu systèmed'équations (ve torielles) surla ellulede

périodi ité. Ce système est résolu par méthodes spe trales et fait apparaître des

réso-nan es.Ilest entièrementdéterminéparle hampmagnétiquema ros opiquequirésulte

d'une moyennisation géométrique parti ulièreliée au1-formesdiérentielles sur letore.

Notre résultat d'homogénéisation onduit àune loide perméabilité lo ale dé ritepar

un tenseur ee tif dontlesvaleurs propressontde partieréelle hangeant de signe ave

la fréquen e. Ce i est une alternative à la élèbre onstru tion de Pendry [42℄ formée

d'anneauxfendus quiaété étudiéemathématiquementpar R.V.Kohn etS.P.Shipman

[30℄ dans un as 2D etpar G. Bou hitté et B. S hweizer [9℄ dans le as général3D.

Dans le inquième hapitre, nous nous intéressons à l'extensiondes résultatsdu

ha-pitre4lorsquelesin lusionssontdisposéesaléatoirement.Nousnous plaçonsdansle as

simplié d'une stru ture innie et invariante dans une dire tion an de pouvoir

onsi-dérer des hamps polarisés et rendre ainsi le problème bidimensionnel. Cette stru ture

est formée de bres ir ulaires parallèles innies dont les se tions sont des disques qui

restent dans un domaine borné de

R

2

. La disposition ( entres, rayons) et la

permitti-vitéde es in lusions ir ulairessontaléatoiresetrespe tent unehypothèsed'ergodi ité

adéquate.

L'analyse asymptotique est ee tuée en utilisant une variante sto hastique de la

onvergen e double-é helle introduite par Zhikov etPiatnitski dans [53℄. Nous mettons

en éviden e un ritère sur la loi de distribution des rayons et des permittivités

per-mettantde justier l'analyseasymptotique. Laloihomogénéiséeest déterministe etfait

intervenir uneperméabilitéee tivedonnée expli itementenfon tion delafréquen e et

de la loide probalilitéde ladistribution initiale.

Ledernier hapitredelathèseestdédiéàl'analysenumériquedestenseurs de

permit-tivitéetperméabilité ee tifsobtenusdans les hapitres3 et4.Dans ha un des as, le

tenseur est ara tériséparlesvaleursetve teurs propresduproblèmespe traldé rivant

lesrésonan es mi ros opiquesde la stru ture etdoit être al ulé numériquement. Nous

tral sera dé rit par un opérateur déni sur un espa e de fon tions à divergen e nulle.

La dé omposition en éléments nis de e dernier sera déduite des éléments d'arêtes de

Nédele [36℄.

Dans ha undes as,l'opérateurdis rétisé seraobtenupar l'intermédiaired'unnoyau

de Green périodique évalué à l'aide d'une formulation expli ite [32℄ de laquelle nous

extrairons lessingularités.

Enn, nous donnerons quelques on lusions générales et perspe tives à lan du

Sommaire

1 Dira tion d'une onde éle tromagnétique . . . 7

1.1 Équations de Maxwell . . . 7

1.2 Régimeharmonique . . . 8

1.3 Lois onstitutives . . . 9

1.4 Problème dedira tion, onditions de rayonnement . . . 12

1.5 Métal inniment ondu teur. . . 14

1.6 Les as depolarisation

E//

et

H//

. . . 15

2 Métamatériaux et ristaux photoniques . . . 16

2.1 Indi e deréfra tion négatif . . . 18

2.2 Fréquen es interdites . . . 19

2.3 Comment obtenir desrésonan es,milieuxextrêmes.. . . 20

3 Appli ations ré entes . . . 20

3.1 Super-lentille . . . 20

3.2 Cape d'invisibilité . . . 21

1 Dira tion d'une onde éle tromagnétique

1.1 Équations de Maxwell

Le hamp éle tromagnétique est représenté à l'aide de quatre fon tions ve torielles

dépendant de laposition

x

∈ R

3

etdu temps

t

∈ R

+

:

E

: le hampéle trique,

H

:le hamp magnétique,

D

: le hamp de dépla ement éle trique,

B

:l'indu tion magnétique. Les équationsde Maxwell lient es hamps auxtermes sour es

ρ

: ladensité de harge et

J

: la densitéde ourant, au travers du système d'équations suivant :

rot

_{E = −}

∂

B

∂t

, rot

H = J +

∂

D

∂t

,

div

_{D = ρ}

, div

_{B = 0 .}

(1.1)

Dans les situations usuelles, les hamps

E, H, D

et

B

sont des fon tions de arré

lo- alement sommablequi peuvent admettre des singularités (dis ontinuités), notamment

lorsque le milieu dans lequel se propage l'onde est hétérogène. Pour ette raison, les

équationsapparaissantdans (1.1)doiventêtreenvisagées ausens desdistributions(voir

hapitre2).Ce pointest fondamental etpermetde mieux omprendreles onditions de

transmissionsdes hamps àla traversée d'une interfa e.

1.2 Régime harmonique

On sait, grâ e à la transformée de Fourier, que toute fon tion réelle

f (x, t)

peut être onsidérée omme superposition d'une innité de fon tions sinusoïdales en temps. Ces

régimes sinusoïdaux, dits aussi régimes harmoniques, vont ainsi jouer un rle essentiel

dans l'étudedes équationsde Maxwell.

Transformée de Fourier. Au lieude nous intéresser auxfon tions

E, H, D, B, ρ

et

J

, nous allons onsidérer leur transformée de Fourier partielle par rapport à la variable

temporelle. Ce sont des distributions, notées

E, ˆ

ˆ

H, ˆ

D, ˆ

B, ˆ

J

, ˆ

ρ

, de la variable

(x, ν)

où

ν

est lavariable onjuguée de

t

.

Suivant les notations du livre de S hwartz [47℄, nous utiliserons la transformée de

Fourier qui,à toute fon tion

f

∈ L

1

_(R)

,asso iela fon tion

f (ν)

ˆ

déniepar

ˆ

f (ν) :=

Z

R

f (t)e

−2iπνt

dt ,

et qui peut être étendue aux distributions tempérées. D'un point de vue physique, la

variable

ν

représente lafréquen edes hampsetnous utiliserons pluttlavariable

ω :=

2πν

qui désignela fréquen e angulaireoupulsation.

Il est maintenant fa ile de déduire des équations (1.1) les relations vériées par les

transformées de Fourier pour haque valeur

ω

de lafréquen e angulaire.

rot ˆ

_E

_{− iω ˆ}

_B

_{= 0 , rot ˆ}

_H

_{+ iω ˆ}

_D

_{= ˆ}

_J

_,

div ˆ

D

= ˆ

ρ

, div ˆ

B

= 0 .

(1.2)

Les équations de Maxwell en régime harmonique. On se pla e dans le as où

les hamps et les sour es dépendent sinusoïdalement du temps, 'est-à-dire si toutes

omposantes de hamps, toutes omposantes de

J

ainsi que la densité de harge

ρ

,

s'é rivent sous laforme

U(x, t) = a(x) cos(ωt + φ(x)) .

(1.3) Bienentendu,nouspouvons hoisiraussiladépendan e

cos(

−ωt+φ(x))

.Ilest ommode

de représenter les hamps de ette forme à l'aide de la quantité omplexe

U(x) :=

a(x)e

−iφ(x)

(qui ne dépendent que de la variabled'espa e) vériantla relation

Si nous avions hoisi la dépendan e

cos(

−ωt + φ(x))

pour

U

, la dénition de

U(x)

deviendrait

U(x, t) = ℜ(U(x)e

iωt

₎

. Danstoute la thèse nous utiliserons une dépendan e

temporelle en

e

−iωt

.

À l'aide de l'équation (1.4), nous introduisons les fon tions de

L

2

loc

(R

3

; C

3

)

,

E

,

H

,

D

,

B

,

J

et

ρ

∈ L

2

loc

(R

3

; C)

(ne dépendant que de

x

∈ R

3

) asso iées aux hamps réels

E, H, D, B

etaux sour es

J , ρ

.

Ces quantités omplexes vérient alors lesystème de Maxwellharmonique

rot

_E

_{− iωB = 0 , rot H + iωD = J ,}

div D = ρ

, div B = 0 .

(1.5)

1.3 Lois onstitutives

Pour simplier, plaçons nous en régime harmonique de pulsation

ω > 0

. Le milieu dans lequel l'onde éle tromagnétique se propage est dé rit par les relations liant d'une

part

D

à

E

etd'autre part

B

à

H

.

Propagation dans le vide.

Dans levide, es relationssont simplementdes relations de proportionnalité

D

= ε

0

E

et

B

= µ

0

H

,

où

ε

0

et

µ

0

sont onstantes de permittivité et de perméabilité du vide. Lorsque l'on se pla e en l'absen e de harge et de ourant (

ρ = 0

et

J

= 0

), les équations (1.5) deviennent

rot

_E

_{= iωµ}

₀

_H

_,

rot

_H

₌

_−iωε

₀

_E

_.

(1.6)

En prenant le rotationnel su essivement dans les équations (1.6) et en exploitant le

fait que

div H = div E = 0

, on déduit que toutes les omposantes de

(E, H)

satisfont l'équation de Helmholtz

∆u + k

0

2

u

= 0

dans

R

3

_,

(1.7) où

k

0

:=

2π

λ

= ε

0

µ

0

ω

représente lenombre d'onde et

λ

la longueur d'onde.

Ondes planes.

Ce sontles solutionsde (1.7) de laforme

u(x) = A e

ik·x

,

(1.8)

où

k

∈ R

3

vérie

|k| = k

0

. Cette solution parti ulière

u(x)

représente une onde plane d'amplitude

A

, venant de l'inni etse propageant dans la dire tion

k

.

Ce type d'onde a un rle importantdans les problèmes de dira tionoù un obsta le

ontenu dans le vide est illuminé par une onde in idente que l'on dé ompose en la

superposition d'ondes planes ( e qui orrespond à une transformée de Fourier en

x

de l'onde in idente).

Dans

R

3

, on onnaît le noyau de l'équation de Helmholtz obtenu en résolvant, au sens

des distributions, l'équation

∆G + k

2

G

= δ(x)

dans

R

3

_,

où

δ

est la distribution de Dira en zéro. Cette équation a deux solutions parti ulières radialesdonnées par

G

±

(x) :=

₋

1

4π

|x|

e

±ik|x|

_.

(1.9)

Siune amplitude omplexe est de laforme

U(x) =

1

|x|

e

±ik|x|

_,

lafon tion réelle

U(x, t)

quilui est asso iée est

U(x, t) =

1

x

cos(ωt

± k|x|) =

1

x

cos



ω t

±

k

|x|

ω



,

e qui orrespond à une onde sphérique (les surfa es équiphases et équiamplitudes sont

des sphères) ave le signe

±

suivant que l'ondeest entrante ousortante.

Propagation enmilieuhétérogène. Loi lo ale. Danslesmilieuxusuels,lesrelations

onstitutivessont données par

D

= ε

0

ε

r

(x, ω) E

et

B

= µ

0

µ

r

(x, ω) H ,

où

ε

r

(x, ω)

et

µ

r

(x, ω)

sont des tenseurs d'ordre deux qui représentent les permittivité et perméabilité relatives en haque point de l'espa e. Les hétérogénéités du milieu se

traduisent par la dépendan e de es tenseurs par rapport à la variable

x

(qui est en généraldis ontinue). Leséquations de Maxwell (1.5) prennent ainsi laforme

rot

_E

_{= iωµ}

₀

_µ

_r

_{(x, ω) H , rot H =}

_−iωε

₀

_ε

_r

_{(x, ω) E + J ,}

div(ε

r

(x, ω) E) =

ρ

ε

0

.

(1.10)

Il restemaintenant àpré iser le ourant

J

.Dans le as de milieuxdiéle triquesparfaits (isolant éle trique), ona

J

= 0

et de e fait

ρ = 0

.Ainsi,les équationsde Maxwell sont

données par

rot

_E

_{= iωµ}

₀

_µ

_r

_{(x, ω)H}

_,

rot

_H

₌

_−iωε

₀

_ε

_r

_{(x, ω) E .}

(1.11) Dans lesmilieuxmétalliques,onse réfère en généralà laloi d'Ohmdonnée par

où

σ(x, ω)

est la ondu tivité dumatériauaupoint

x

. Pour unmilieudonné, la ondu -tivité

σ

dépend très fortement de la fréquen e et il s'avère qu'elle est très di ilement mesurable dans le domainede l'optique. Un métal qui satisfait la loi d'Ohm (1.12) est

appelé métalohmique.

Dansle as dematériauxinniment ondu teurs, lasituationdevientplus omplexe

dans la mesure où le ourant

J

obtenu dans l'analyse limite

σ

→ +∞

, devient une

distribution singulière on entrée sur lebord du ondu teur.

Formulationmixte métal-diéle trique.

É rivons te à te les relations onstitutivesdonnées dans les diéle triques et dans

les métaux ohmiques:

dans le métalohmique : dans lediéle trique :

(

rot

_E

_{= iωµ}

₀

_µ

_r

_H

_,

rot

_H

₌

_−iωε

₀

_ε

_r

_E

_{+ σ E =}

_−iωε

₀

_(ε

_r

₊

iσ

ωε

0

)E ,

(

rot

_E

_{= iωµ}

₀

_µ

_˜

_r

_H

_,

rot

_H

₌

_−iωε

₀

_ε

_˜

_r

_E

_.

(1.13)

Il apparaît alors par simple omparaisonque les équationsdu as métalliquesont

iden-tiques à elles du as diéle trique dès que

˜

µ

r

= µ

r

et

ε

˜

r

= ε

r

+

iσ

ω

.

(1.14)

Ainsi,unmétalohmiquehomogène

(ε

r

, µ

r

, σ)

parundiéle triquehomogène

(˜

ε

r

, ˜

µ

r

)

peut être vu de la même manière qu'un diéle trique homogène de permittivité relative

ε

˜

r

donnée par (1.14). De e fait, la quantité

J

dans le système de Maxwell est in orporée dans le se ond membre

−iωε

0

ε

˜

r

E

de la se onde équation de la se onde équation de Maxwell.Laquantité

d

= ε

0

ε

˜

r

E

seraappelée ourantdedépla ement.Pourlephysi ien, e ourantestunequantitéma ros opique:ellesedistinguedu ourantliéàlaloid'Ohm

que l'on observe àl'é helle de l'éle tron.

Conditions de transmission.

Rappelons que les équations (1.11) sont à interpréter au sens des distributions dans

R

3

.De e fait,elle ontiennentintrinsèquementdes onditions de transmissiondans des zones de dis ontinuité des oe ients

ε

r

,

µ

r

. Considérons une surfa e

S

séparant deux

milieux homogènes

B

+

et

B

−

, ou même plus généralement deux milieux pour lesquels

ha undesparamètres

ε

r

,

µ

r

et

σ

sontdesfon tions ontinues.Cha unde es oe ients est dé rit par les omplexes

(ε

±

_{, µ}

±

₎

de lafaçonsuivante

ε

r

(x) = ε

+

1

B

+

(x) + ε

−

1

B

−

(x) ,

µ(x) = µ

+

1

_B

+

(x) + µ

−

1

B

−

(x) .

De telles surfa es se ren ontrent typiquement à l'interfa e entre deux milieux. Dans

ha undes domaines,lesfon tions

E, H

sontrégulières,aumoinsune foisdiérentiable mais elles subissent éventuellement un saut à la traversée de

S

. Dans le as où

ρ

et

J

sont des fon tions régulières, on peut déduire des équations (1.11) les onditions de

ra ordement suivantes

(ε

r

E)

+

· n = (ε

r

E)

−

· n , (µ

r

H)

+

· n = (µ

r

H)

−

· n ,

ave

n

un ve teur unitaire normal à

S

et

(E

±

_{, H}

±

₎

la restri tion à

B

±

de

(E, H)

(voir hapitre 2 pour plus de détails sur lathéorie des distributions).Ainsi,dès que les

fon tions

ρ

et

J

sont susamment régulières, on a ontinuité des omposantes tangen-tielles de

E

et

H

ainsi que la ontinuité de la omposante normale de

D

:= ε

0

ε

r

E

et

B

:= µ

0

µ

r

H

.

1.4 Problème de dira tion, onditions de rayonnement

Supposons qu'un fais eau lumineux é laire un objet opaque. Certain des rayons sont

don bloqués par l'objet et il peut apparaître derrière elui- i une zone d'ombre. Ce i

n'est exa t que si l'objet est grand devant la longueur d'onde in idente. Dans le as

ontraire, lephénomène est plus omplexe et tout se passe ommesi l'obsta le se

om-portait à son tour omme une sour e lumineuse émettant un hamp, dit hamp

dif-fra té, dans tout l'espa e. Mathématiquement, ela revient à onsidérer un domaine

borné

B ⊂ R

3

représentant l'obsta le dira tant et une onde in idente

(E

inc

_{, H}

inc

₎

. On

sepla e en régime harmoniquede fréquen e angulaire

ω

oùladépendan e en temps est de la forme

e

−iωt

. Le hamp éle tromagnétique total

(E, H)

est la somme du hamp

in ident etdu hamp dira té.Il vérie leséquations de Maxwell

(

rot

_E

_{= iωµ}

₀

_H

_,

rot

_H

₌

_−iωε

₀

_ε

_r

_E

_,

(1.15)

où

ε

r

= ε

r

(x, ω)

est la permittivité relative en haque point de l'espa e et vérie

ε

r

(x, ω) = 1

hors de

B

(i i on se pla e en fréquen e optique e qui justie le hoix

µ

r

= 1

).

Pour obtenirl'existen e etl'uni itéde lasolutionde (1.15), ilfautajouter une

ondi-tionauxlimitesàl'inni.Cette ondition portesur le omportementdu hampdira té

(E

d

, H

d

) := (E

_{− E}

inc

, H

_{− H}

inc

)

qui doit se omporter à l'inni omme la superpo-sitiond'ondes sortantes. Plus pré isément,ildevra vérierla onditionde Silver-Müller

suivante

(E

d

, H

d

) = O



1

|x|



,

ωε

0

 x

|x|

∧ E

d



− k

0

H

d

= o



1

|x|



.

(1.16)

Defaçon équivalente, seréférantàlasolutionsphériquesortantede l'équationde

Helm-holtz

φ

donnée par (1.9) i.e.

φ(x) =

e

i k0 |x|

4π|x|

, ette ondition peut être réduite sous la formed'une équation intégrale.Cette relationdue à Stratton et Chuest donnée par

E

d

_η

(x) =

Z

|z|=R



iωµ

0

φ(x

− z)



z

|z|

∧ H

d

η



+

_{∇φ(x − z) ∧}



z

|z|

∧ E

d

η





dσ ,

H

d

_η

(x) =

Z

|z|=R



−iωε

0

φ(x

− z)



z

|z|

∧ E

d

η



+

_{∇φ(x − z) ∧}



z

|z|

∧ H

d

η





dσ ,

où

dσ

désigne la mesurede surfa e. Elle permet d'exprimer le hamps

(E

d

_{, H}

d

₎

à

l'ex-térieurd'une boule

B

R

de rayon

R

(en dehorsde laquelleon adu vide,

ε

r

= µ

r

= 1

) en fon tion de sa tra esur lasphère

{|x| = R}

.

P =

1

2

E

∧ H .

Ceve teurpermetde ara tériserl'énergieéle tromagnétique

W

B

dissipéepareetJoule lors de la dira tionde l'onde in idente. On ala relationsuivante

W

_B

=

_ℜ



Z

S

P · n ds



,

où

S

est une surfa e fermée délimitant un domaine

Ω

telque

B ⊂⊂ Ω

(voir[44℄). À l'aide des équations (1.15) etd'une intégration par parties, onobtient

W

_B

=

1

2

ℜ



iωε

0

Z

Ω

ε

r

|E|

2

dx

− iωµ

0

Z

Ω

|H|

2

_dx



(1.17)

=

₋

1

2

ω ε

0

ℑ(ε

r

)

Z

Ω

|E|

2

_{dx .}

(1.18)

En parti ulier,sil'obsta le est un métalohmique ara térisé parune ondu tivité

σ

, on déduit de (1.15) que l'énergiedissipée par le métal est donnée par

W

_B

=

−

σ

2

Z

Ω

|E|

2

_{dx .}

(1.19)

Les paramètres

ε

,

µ

dans le domaine de l'optique. Comme nous l'avons fait

re-marquer,lesmatériauxsontgénéralementdispersifs, 'est-à-diredé ritspardestenseurs

de permittivité etde perméabilité qui dépendent de lafréquen e

ω

de l'onde in idente. Dans les problèmes de dira tion que nous étudierons dans ette thèse, lafréquen e de

l'onde in idente sera toujours dans le domaine de l'optique. Ce domaine est formé des

ondes infrarouges, dont les fréquen es sont omprises entre

300

GHz et

375

THz (lon-gueur d'onde entre

0.8 µ

met

1

mm),ainsi quede la lumière visible dontles fréquen es sont omprises entre

375

THz et

750

THz (longueur d'ondeentre

0.8 µ

met

0.4 µ

m). On pré ise que lesmatériaux ompositesque nous onsidérerons serons toujours onstitués

de matériauxhomogènes lassiques(naturels). Or, dans e domainede fréquen es, tous

les milieux naturels, métalliques ou diéle triques, ont une perméabilité relative pro he

de

1

(alors quelapermittivitérelativeasapartie réellepouvantvarierentre des valeurs négatives dans le as de métaux et de grandes valeurs pour des diéle triques. En

pra-tique, nous seronsdon ontraintde onsidérer des milieuxdé rits parune perméabilité

relative

µ

r

= 1

et le seul degré de liberté sur les paramètres onstitutifs on ernera la permittivitérelative

ε

r

(que nous hoisirons àforts ontrastes).

Donnonsquelquesexemplesde permittivitéquel'onren ontre dansledomainevisible

Matériau Longueur d'onde

(µm)

Permittivité relative Or 0.4 -2.4+6.4i 0.83 -2.9+2i Argent 0.4 -3.77+0.67i 0.82 -30.2+1.59i Cuivre 0.41 3.5+5.2i 0.83 -27.6+2.73i Sili ium 0.4 -27.6+2.73i 0.8 13.6+0.04i

Notons quedansledomainedes mi ro-ondes(defréquen e omprisesentre

300

Mzet

300

Gz) on peut utiliser lemodèle de Drude pour dé rirepré isément le omportement des métaux ohmiques. La permittivité

ε

r

d'un tel métal vérie alors

ε

r

= 1 +

iσ

ε

0

ω

où

σ

est la ondu tivité donnée par

σ =

ε

0

τ ω

2

p

1

− iωτ

,

ave

ω

p

et

τ

des paramètres dé rivant le métal (respe tivement la fréquen e plasma et le temps de ollision moyen). Pour les fréquen es élevées ( omme elle de l'optique) e

modèle perd de sapré ision etne sera don pas utilisé i i.

1.5 Métal inniment ondu teur.

Pour étudier les phénomènes de dira tion par des obsta les métalliques,on utilise

parfois lemodèledu métalinniment ondu teur. Il s'agitd'un milieuthéoriqueobtenu

en passant à lalimite quand la ondu tivité

σ

tend vers l'inni dans un métal ohmique dé rit par

ε

r

= 1 +

iσ

ωε

0

.

Considérons un telmilieu o upant un volume

B ⊂ R

3

de frontière

Γ

.

Le hampéle tromagnétiqueest nulàl'intérieurde

B

etilapparaîtdeplusun ourant

J

Γ

etunedensitéde harge

ρ

Γ

lo alisés surlasurfa e(voir[44℄).Ennotant

n

lanormale orientée de l'intérieur vers l'extérieur de

B

, les onditions de transmission sont données sur

Γ

par

n

_{∧ E = 0 , n ∧ H = J}

Γ

δ

Γ

,

n

_{· H = 0 , n · D = ρ}

s

δ

Γ

.

(1.20)

Notons que dans e as, bien que la ondu tivité onverge vers l'inni dans la relation

(1.19), le métal ne dissipe plus d'énergie (nous renvoyons à [13℄ pour la

démonstra-tion).Euristiquement,l'énergiedissipée limiteest ara tériséepar leterme

R

Γ

E

· J

Γ

qui s'annule puisque

E

est normal à

Γ

alors que

J

Γ

luiest tangentiel(voir (1.20)).

Les relations(1.20) ont lieulorsque l'épaisseur du métal reste xée lors du passage à

la limite

σ

→ +∞

. Il est ru ial d'observer que la situation est diérente lorsque l'on autorisele métal às'aner. Dans e as, il peut apparaître des onditions de

transmis-sion diérentes. Par exemple, onsidérons la dira tionpar un métal de ondu tivité

κ

h

formantle ylindre

D

0

× {−

h

2

,

h

2

}

où

D

0

est un ensembleborné de

R

2

Il est montré dans [10℄, quele hamp limite

(E, H)

lorsque

h

→ 0

vérie

(

rot

_E

_{= iωµ}

₀

_H

dans

R

3

_{\ Σ}

0

,

rot

_H

₌

_−iωε

₀

_E

dans

R

3

_{\ Σ}

0

,

ainsi queles onditionsde transmissionsàlatraversée delasurfa e

Σ

0

:=

D

0

×{x

3

= 0

}

données par

E

+

_{∧ n = E}

−

_{∧ n ,}

[e

3

∧ n] = κ E

+

.

Ainsi, bien que la ondu tivité du métal onsidéré dans et exemple onverge vers

l'inni, les onditions de transmissions limites ne sont pas elles d'un métal inniment

ondu teur maissont ara tériséespar laparamètre

κ

(rapportentre la ondu tivitédu matériau etson épaisseur). Parailleurs, dans e as ladissipation limite par eet joule

n'est pas nulleet dépend du paramètre

κ

.

Cet exemplemet en éviden eque l'ordrede grandeur du volumed'un obsta le

relati-vement àses paramètres onstitutifsintervientde façon ru ialdans son omportement

limite. En parti ulier, même des matériaux de volume innitésimal peuvent inuer sur

la dispersion de l'onde in idente.

1.6 Les as de polarisation

E//

et

H//

Lorsquel'on onsidèreunproblèmededira tionparunestru tureinnieetinvariante

dans une dire tion(par exemple

e

3

),il est intéressant de simplierl'étude du problème en se ramenant à des hamps orientés dans ette dire tion. On dit dans e as que le

hamp est polarisé (magnétique si

H

//e

3

etéle trique si

E//e

3

).

Ily adeux as de polarisationre tiligne,notés

E//

et

H//

,qui orrespondent

respe -tivement à des hamps de la forme

E(x) = u(x

1

, x

2

)e

3

et

H(x) = u(x

1

, x

2

)e

3

,

(1.21)

où

u

est une fon tions alaire( omplexe) indépendantede lavariable

x

3

(ainsi,

E

et

H

sont à divergen e nulle).

En prenant su essivement le rotationnel dans ha un des équations de (1.15), il est

fa ile de voirque lafon tion

u

satisfait

∆u + ε

r

k

2

0

u = 0

dans

R

2

_:

dans le as

E// ,

et

div(

1

ε

r

∇u) + k

2

0

u = 0

dans

R

2

_:

dans le as

H// .

Si l'on onsidérait des matériaux de perméabilité variable diérente de

1

, il faudrait

naturellementrempla er

∆u

par

div(

1

µ

r

u)

dans le premier as et

k

2

0

u

par

k

2

0

µ

r

u

dans le se ond.

Müller (1.16) sesimplient etprennent laforme donnépar Somereld

u = O



1

|x|



,



∂u

d

∂

_|x|

− ik

0

u

d



_{= o}



1

p|x|



.

2 Métamatériaux et ristaux photoniques

Les ristaux photoniques sont des matériaux stru turés remarquables dans lesquels

la lumière (ou plus généralement un hamp éle tromagnétique) ne peut se propager

librement. Elle peut être bloquée (réé hie), autorisée uniquement dans ertaines

di-re tions ou même lo alisée dans ertaines zones. Ces matériaux orent don un moyen

de ontrler la propagation de la lumière. Ce sont des matériaux omposites qui sont

généralement onstituésd'unréseau périodiqued'in lusionsdiéle triquesoumétalliques

dont la taille ara téristique de la stru turation est de l'ordre de la longueur d'onde

in idente. La propriété prin ipale des ristaux photoniques est l'existen e de bandes de

fréquen es interdites, 'est-à-dire que la propagation de la lumière est interdite dans

ertaines dire tions et pour ertaines fréquen es. Ce phénomène est onnu sous le nom

de Ele tromagneti Band Gap. On retrouve omme appli ation de et eet plusieurs

dispositifs ommepar exemplelesmiroirsde Braggoulesltresdiéle triques de F

abry-Perot quiontdespropriétés derée tionetde transmissionremarquables(bienquetrès

dépendantes de lafréquen e de l'ondein idente ainsi que de son angle d'illumination).

Notons que l'on ren ontre des ristaux photoniques dans la nature aussi bien dans

lemonde organique queminéral. Eneet, de nombreux animaux présentent des

mi ro-stru turespériodiquessur leursé ailles,leur arapa e ouleursplumesfaisantapparaître

des phénomènes d'irides en e très marqués (variationsrapides de la ouleur apparente

dumatériauenfon tionde l'angled'illumination).Cephénomèneest aussiprésentdans

desstru turesminérales;parexemplel'opale,quiestunero he onstituéedemi ro-billes

de sili e réparties selon un arrangement plus oumoins régulier.

D'unautre té,ilyalesmétamatériauxquisontdes matériaux ompositesarti iels

présentant également des propriétés extraordinaires vis-à-vis des ondes

éle tromagné-tiques. L'é helle de leur stru turation est à la fois grande devant l'é helle atomique

et petite devant la longueur d'onde (de l'ordre de dix fois). En physique, on appelle

ette é helle l'é helle mésos opique.Par exemple, dans la gammedes mi ro-ondes, une

stru ture sera sus eptible d'être un métamatériau si son é helle est omprise entre le

nanomètre et le entimètre environ. Cette ondition sur l'é helle fera que es milieux

hétérogènes pourront parfois être dé rits ma ros opiquement par une loi ee tive (voir

paragraphe suivant). L'intérêt prin ipal de es milieuxarti iels est que ette loi

ee -tivepourraêtreasso iée àdesparamètres depermittivitéetde perméabilitéquel'on ne

ren ontre pas dans lesmilieuxnaturels.

Les métamatériaux sont ainsi des matériaux omposites stru turés qui, vis à vis du

ontrle de la propagation d'ondes éle tromagnétiques, vont jouer un rle similaire à

tions, onpourra voirlesmétamatériaux ommedes ristauxphotoniques a tifsàbasses

fréquen es.

Notion de paramètres ee tifs. De la même manière qu'un milieu peut être

onsi-déré ommehomogène àune é helle ma ros opique (bienquetrès hétérogèneauniveau

atomique), une stru ture à l'é helle mésos opique aura un omportement pouvant être

modélisé par une loi moyennée appelée loi ee tive ou loi homogénéisée. Notons que,

même silalongueur d'ondeest grandedevantlataille ara téristiquede lastru ture,la

loi ee tive ne sera pas toujours elle d'un milieu homogène, mais pourra au ontraire

faire apparaître des propriétés plus omplexes telle que elles qu'on ren ontre dans les

milieuxnon lo aux (on renvoiepour ela au hapitre 3).

Dans ette thèse, nous onsidérerons des stru tures de perméabilité ee tive égale à

1

illuminéespar uneonde mono hromatiquede longueur d'onde

λ

grandedevantl'é art séparant les in lusions. Notre obje tif sera de savoirsi la stru ture peut être rempla ée

par un milieuhomogènedé ritpar desparamètres depermittivitéetde perméabilité

ef-fe tif (n'ayant don pas un omportementnon lo al). D'unpointde vuemathématique,

l'identi ationde e omportement ee tifse pla e dans le adre de la théorie de

l'ho-mogénéisation.Elle sera obtenue à l'issue d'uneanalyse asymptotique quand lenombre

d'in lusionstend vers l'inni.Cetteanalyseasymptotiquepeut êtretraitéesuivantdeux

pointsde vuediérents.

- Dans le premier, la tailledes in lusions est xée alors que l'obsta le ontenant es

in lusions augmente de façon homothétique ainsi que la longueur d'onde. Ainsi, la

lon-gueur d'onde tend vers l'inni alors que l'obsta le remplit l'espa e tout entier. Cette

appro he, souvent utilisée par les physi iens, peut donner des intuitions orre tes

(no-tamment par l'obtention de ourbesde dispersion obtenues à l'aide de développements

en ondes de Blo h). Cependant elle n'apporte au une information sur la transmission

des ondes au la traversée du bord de l'obsta le. Or e i est le point essentiel lorsqu'il

s'agit d'un problème de dira tion.

-Nousadopterons lese ondpointde vueoù, dansl'analyse asymptotique, l'obsta le

ontenant les diuseurs ainsi que la longueur d'onde in identesont xés, le petit

para-mètre étantlatailledes in lusions. On travailleainsi àfréquen e xée et ave une onde

in identedonnée. En parti ulierla ondition derayonnementà l'inniest indépendante

des paramètres innitésimaux intervenant dans l'analyse. La loi ee tive sera ainsi

dé-duite du omportement asymptotique de la stru ture lorsque la taille ara téristique

des in lusions, typiquement la période, onverge vers zéro. Le problème pratique dans

l'exploitationde es résultatsthéoriques serabienentenduliéàleur domainedevalidité.

En eet, bien qu'il soit légitime de vouloir identier le métamatériau à son équivalent

homogénéisé (puisque la période est petite devant la longueur d'onde), il est di ile

d'obtenir dans un adre général la vitesse de onvergen e de l'é art entre les solutions

des problèmesréelsetlasolutionduproblèmelimite.Ainsi,mêmesionsauradémontrer

la onvergen efortedans

L

2

loc

de essolutionsdans ha undes asétudiés,lapertinen e pratique de nos résultats ne sera a quise qu'après une validation numérique à l'aide

milieu à indi enégatif (àdroite)

de odes 3D qui restent à mettre en pla e (voir [24℄ pour e type d'études dans le as

bidimensionnel). En dépit de es restri tions, l'analyse théorique de la onvergen e des

solutionsdans lesstru tures omplexesfortement ontrastéesquenousallons onsidérer

est un hallenge mathématiqueintéressant qui enri hitla théoriede l'homogénéisation.

Deplus, ommeonvalevoirpermettrad'élargirdefaçonimportantela lassedeslois

at-teignables.Un adrethéoriquerigoureuxest ainsidonnéà ertainsmodèlesde nouveaux

métamatériaux.

2.1 Indi e de réfra tion négatif

Les métamatériaux les plus élèbres sont sans doute eux présentant des paramètres

de permittivité et de perméabilité simultanément négatifs. Le premier à avoir étudié

le omportement de tels milieuxfut Veselago en 1967 [51℄. Évidemment il s'agissait de

spé ulations théoriques puisque de tels matériaux n'existaient pas à ette époque. Il

remarquaquelapropagationdes ondeséle tromagnétiquesdans de telsmilieuxpouvait

réserver quelques surprises notamment la possibilité d'une réfra tion inverse telle que

représentée dans la gure1.1.

Depuis les années 2000, e phénomène extraordinaire a pu être vérié

expérimenta-lement sur des métamatériaux élaborés en laboratoire. Ces stru tures onstituées de

mi ro-résonateursontune réponsema ros opique négativeàla foispour lapermittivité

etlaperméabilité.LepremierprototypeaétéproposéeparPendry[38℄oùest onsidérée

la superposition d'un réseau formé d'anneaux on entriques oupés, appelés split-ring

resonators (SRR), et d'un réseau de ls métalliques ontinus omme représenté dans

arran-anneaux oupés donne le

µ < 0

etles tiges le

ε < 0

.

gementpériodique de ls métalliques ontinus parallèlesprésentait, en basse fréquen e,

une permittiviténégative(nous reviendronssur e pointdansle hapitre3),puis qu'un

réseau périodique de SRR présentait une perméabilité négative autour d'une fréquen e

de résonan e.Il étaitalors raisonnablede penserquelasuperpositionde esdeux

stru -tures pourrait onduire àun indi ede réfra tion négatifau voisinagede lafréquen ede

résonan e des SRR.

2.2 Fréquen es interdites

Commenous l'avons déjà indiqué, une des propriétés remarquables des ristaux

pho-toniquesest laprésen e dezonesde fréquen es,ditesinterdites,danslesquellesle hamp

éle tromagnétique ne peut sepropager. Ce ipeutrésulterde phénomènes de dira tion

omplexesqui fontqueles ontributions desondes sontdestru tives, empê hantainsila

propagation.

Dans le as plus spé ique des métamatériaux, es zones de fréquen es interdites

peuventégalementexistermais ellesproviennentd'un phénomènediérent:ilsutque

l'un des paramètresee tifspermittivitéouperméabilitésoitnégatifsur un domainede

fréquen e alorsquel'autrerestepositif.L'ondeestalorsexponentiellementamortiedans

le milieu.Deux situationsapparaitrons:

 Les zones de fréquen es interdites forment des intervalles disjoints (

ele troma-gneti band gap) . Ce i apparaitra dans dans le as des stru tures étudiées dans

les hapitres 3, 4 et 5. Chaque bande interdite sera asso iée à une fréquen e de

résonan e d'unemi ro-in lusion.

 La zoneinterditeest onstituée d'unseul intervalle.Cetintervallepeut être asso ié

métalliquesparallèles très ondu tri es et très longues ( f. [25,43℄). Dans le as de

lastru tureen anneaux oupésdePendry, 'estlaperméabilitéquidevientnégative

dans un intervalleautour d'une unique fréquen e de résonan e.

2.3 Comment obtenir des résonan es, milieux extrêmes.

Les propriétés exotiques des métamatériaux sont généralement la onséquen e de la

superposition de phénomènes éle tromagnétiques à l'é helle des mi ro- omposants

for-mant la stru ture. Dans ertains as, es phénomènes peuvent s'ajouter les uns aux

autres et engendrer des eets per eptibles à l'é helle ma ros opique. Ces phénomènes

mi ros opiquessontsouventprovoquéspardeseetsderésonan es: 'est-à-direunmode

privilégiéde fon tionnement quia lieuà ertaines fréquen es.

On peut par exemple penser aux résonan es de Mie qui apparaissent dans un

vo-lume diéle trique de géométrie simple : typiquement des sphères (voir hapitre 4). En

illuminant une telle sphère par une onde plane, des modes résonants se développent à

des fréquen es dépendant du rayon de la sphère et ses paramètres de permittivité et

perméabilité.Cependant lorsque es sphères deviennent lesmi ro-in lusionsd'un

méta-matériau, la longueur d'onde in idente est trop grande pour que es modes résonants

soient ex ités et 'est pour ette raison que les résultats lassiques en homogénéisation

ne permettent pas d'in orporer lesphénomènes intéressantsqui pourraient en dé ouler.

Pouryremédier,lepoint léestd'obtenir e typede résonan esàun niveau

mi ros o-pique( equirevientàdépla erlesmodesrésonantsverslesbassesfréquen es).Pour ela

ilest essentiel de disposer de matériauxde trés grande permittivité de telle façonque le

ontrasteentre lesin lusionsetlamatri elesentourant puisseêtre onsidéré ommeun

paramètretrés granddansl'analyseasymptotique. Plus pré isémentlediamètre optique

desin lusions(quiestproportionnelàlara ine arréede lapermittivitémultipliépar le

diamètreréel)doitêtredumêmeordrequelalongeurd'ondein idente, equiimposeun

ontrasteen permittivitéde l'ordre de

η

−2

(rappellonsque laperméabilitérelativereste

de l'ordre de l'unité). En résumé il est don né essaire à faire appel à des matériaux à

ara téristiqueextrèmes.

3 Appli ations ré entes

3.1 Super-lentille

Uneappli ationtrèsimportantedesmétamatériauxenimagerie on ernel'élaboration

d'une lentilleplane. Celle- i a été imaginée par V. Veselago en 1968 [51℄ en s'appuyant

simplement sur l'exploitation des règles de réfra tion à l'interfa e entre deux milieux

d'indi es opposés, voirgure 1.3.

Le premierintérêtde e typede lentilleest leur invarian epar translation :lalentille

étant plane, elle n'a pas d'axe optique. De plus, J. B. Pendry a montré que les

C'est e omportement qui est à l'origine de leur intérêt appli atif et de l'utilisation

du quali atifsuper-lentille pour les désigner. En eet, une importantelimitationdes

systèmes d'imagerieusuelsest leurlimite derésolution, del'ordre delamoitiéde la

lon-gueur d'onde : si deux points sour es ont une distan e inférieure à ette limite, il n'est

pas possible de diéren ier leurs images dès que la distan e entre l'image et la sour e

est de l'ordre de quelques longueurs d'onde. Ce i est dû aux ondes évanes entes qui ne

peuventêtrerestituéesauniveaudel'imageenraisonde leurdé roissan eexponentielle.

Dans une lentilleplane,ona une situationtrès diérente: àl'intérieurde lalentille,les

omposantes évanes entes sont exaltées. Au niveau du point image, elles retrouvent le

niveau qu'elles avaient au point sour e. En d'autres termes, de la même façon que les

omposantes propagatives, elles ontribuentà laformation de l'image,qui devient ainsi

une image parfaite. Bien évidemment, e phénomène présente diérentes limitations

(liées en parti ulieràlaprésen e de pertes danslesmétamatériauxàindi e négatif)qui

font que la résolution a essible en pratique reste nie. Toutefois, des résultats

expéri-mentauxmontrent desrésolutions supérieuresà lalimite dedira tionave des lentilles

planes, dans des gammes de fréquen es allantdes mi ro-ondes[26℄ àl'optique [22℄.

3.2 Cape d'invisibilité

Les milieuxave un indi e de réfra tion ee tif négatif ne représentent qu'une partie

des domaines ouverts par les métamatériaux. En eet, ertaines appli ations mettent

à prot la apa ité des métamatériaux à se omporter de manière non homogène et

exploitentenparti ulierleurgradientd'indi ederéfra tionpour ontrlerlapropagation

lumineuse. C'est le as du dispositif de  ape d'invisibilité introduit par J. B. Pendry

dans son élèbre arti le de 2006 [41℄. Il s'agit d'un milieu hétérogène et isotrope de

forme annulaire qui va dévier l'onde in idente de façon à e qu'elle ontourne l'objet.

Ce milieu a été obtenuexpérimentalement pour lesmi ro-ondes en 2006 [46℄ ( f. gure

1.4). Dans le as d'une ape parfaite (sans perte), l'onde transmise reprend sa forme

initiale ( ommesil'obsta le etla ape n'étaientpas présents) rendant ainsile dispositif

invisiblepour toutobservateurextérieur ( f.gure 1.5).Les paramètresde permittivité

Figure1.5: Comparaison entre uneonde sepropageant danslevide etune autre traversant

un milieu entouré d'une ape d'invisibilité (propagation de gau he à droite).

La forme des fronts d'ondes transmises est semblable dans les deux as e qui

fait qu'un observateur se trouvant à droite de l'obsta le ne distingue que très

faiblement l'objet.

deséquationsdeMaxwellpartransformationd'espa eetsontappro hés enpratiquepar

l'intermédiairede métamatériaux.

Ce on eptest parti ulièrementprometteuren termed'appli ations,notammentdans

le domaine de la défense. Dans e ontexte, e  loaking se distingue de l'appro he

lassique de la furtivité. Un revêtement de furtivité a pour but premier d'annuler le

oe ientde réexiondans ertaines dire tionsspé iques(typiquement elled'une

an-tenne de déte tion). Pour e faire, l'idée est d'absorber les ondes in identes ou de les

réé hir dans une autre dire tion. À l'inverse, dans un dispositif de  ape

d'invisibili-té parfait, on annule à la fois le oe ient de réexion et l'absorption, et on rend le

Sommaire

1 Éléments d'analyse fon tionnelle . . . 23

1.1 Espa es de Sobolev . . . 25

1.2 Fon tions périodiques . . . 27

1.3 Compa itépar ompensation:lemme div-rot . . . 31

1.4 Élémentsde théoriespe trale . . . 32

1.5 Un peu de théoriedesprobabilités . . . 37

1.6 Résultats lassiquespour le problèmede dira tion . . . 38

2 Homogénéisation . . . 40

2.1 Notion de milieuxee tifs . . . 40

2.2 Convergen e double-é helle . . . 41

2.3 Exemplesde limites double-é helle . . . 47

Dans e hapitre, nous présentons les notations et les résultats de base dont nous

aurons besoin tout au long de ette thèse.

1 Éléments d'analyse fon tionnelle

Espa es fon tionnels. On se pla era en général sur un ouvert onnexe (domaine)

bornéde

R

N

où

N

∈ {2, 3}

.Pour tout

p

∈ [1, +∞[

,

L

p

₍

_B)

désignel'espa edes fon tions

mesurables

u :

B → C

(dénies à l'équivalen e près) telles que

R

B

|u|

p

_{dx < +}

_∞

ave la norme

kuk

L

p

(B)

:=

R

B

|u|

p

1

_p

.

On note

D(B)

(ou

C

∞

c

(

B)

) l'ensemble des fon tions

inniment diérentiables à support ompa t dans

B

et

D

′

₍

_B)

son dual topologique qui

n'est autre que l'espa edes distributions.

Rappelons queles dérivées distributionellesde

f

sont données par

D

∂f

∂x

i

, ϕ

E

=

−

Z

B

f

∂ϕ

∂x

i

,

∀ϕ ∈ D(B) .

(2.1) À e niveau, il est utile de rappeler les prin ipes élémentaires on ernant les dérivées

distributionellesde fon tionsadmettant des sauts.

Étant donnée une interfa e régulière

Γ

⊂ B

et une fon tion

u :

B → C

régulière dans

B \ Γ

,alors

∂f

∂x

i

=

 ∂f

∂x

i



+ [u]n

· e

i

δ

Γ

,

(2.2)