HAL Id: jpa-00207113
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00207113
Submitted on 1 Jan 1971
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Contributionà l’étude de l’effet photoélastique dans les cristaux fortement piézoélectriques. Calcul des constantes photoélastiques de quelques cristaux
piézoélectriques
J.-P. Deroyon, P. Thery
To cite this version:
J.-P. Deroyon, P. Thery. Contributionà l’étude de l’effet photoélastique dans les cristaux fortement piézoélectriques. Calcul des constantes photoélastiques de quelques cristaux piézoélectriques. Journal de Physique, 1971, 32 (7), pp.579-582. �10.1051/jphys:01971003207057900�. �jpa-00207113�
CONTRIBUTION A
L’ÉTUDE
DE L’EFFETPHOTOÉLASTIQUE
DANS LES CRISTAUX FORTEMENT
PIÉZOÉLECTRIQUES
CALCUL DES CONSTANTES
PHOTOÉLASTIQUES
DE
QUELQUES
CRISTAUXPIÉZOÉLECTRIQUES
par J.-P. DEROYON et P. THERY
Centre universitaire de Valenciennes, Le Mont Houy, 59, Valenciennes
(Reçu le I S février 1971, révisé le 22 mars 1971)
Résumé. 2014 Les composantes électrique et élastique des modes de vibration d’un cristal piézo- électrique doivent être considérées simultanément dans les interactions acoustooptiques. Il y a déformation de l’ellipsoïde des indices par effets photoélastique et électrooptique. Dans les cristaux fortement piézoélectriques, les deux effets ont des intensités comparables. Il faut donc introduire des constantes photoélastiques effectives modifiées par couplage électrooptique qui ont des valeurs très différentes des constantes photoélastiques classiques définies à champ électrique nul. Les constantes photoélastiques effectives n’ont pas même symétrie que les constantes photoélastiques définies à champ nul puisqu’elles dépendent de la direction de propagation considérée dans le cristal. Connais- sant les constantes élastiques effectives propres aux directions (100) et (001) de LiNbO3 et de CdS,
nous avons pu calculer les constantes photoélastiques à champ nul.
Abstract. 2014 The electric and elastic components of vibration modes in piezoelectric crystals
have to be considered simultaneously in acoustooptic interactions. The index ellipsoid is strained by photoelastic and electrooptic effets. In strongly piezoelectric crystals, the both effects have compa- rable magnitudes. Therefore we have to introduce effective photoelastic constant modified by elec- trooptic coupling which have very different values compared to classical photoelastic constants
defined with zero electric field. The effective photoelastic constants depend of the propagation
direction. Their symetry degre is not entierely determined by the crystal symetry. Knowing the
effective photoelastic constants proper to the (100) and (001) directions of LiNbO3 and CdS, we computed the photoelastic constants with zero electric field.
Classification
Physics Abstracts ;
03.40
I. Introduction. - La théorie de la propagation
des ondes acoustiques dans les cristaux piézoélectri-
ques est généralement formulée de façon à mettre en évidence la légère augmentation des constantes élas-
tiques due au couplage piézoélectrique [1 ], [2]. Récem-
ment une étude plus approfondie a permis de calculer les composantes électriques des modes de vibrations
se propageant dans les cristaux piézoélectriques [3], [4].
Dans ce travail, nous montrons que les compo- santes électriques et élastiques des modes normaux
de vibrations doivent être considérés simultanément dans les interactions où interviennent les vibrations du réseau. Le champ électrique induit par une onde
acoustique dans un cristal fortement piézoélectrique peut avoir une grande amplitude (105 V/m). Le milieu
de propagation étant simultanément soumis à une déformation élastique et à un champ électrique intense,
les coefficients de l’ellipsoïde des indices sont modifiés
par effets photoélastique et électrooptique. L’effet photoélastique ne peut être séparé de l’effet électro-
optique dans les cristaux piézoélectriques. Nous repré-
senterons ces interactions en introduisant des constan- tes photoélastiques modifiées par couplage électro- optique formellement identiques aux constantes élas-
tiques effectives définies par Kyame [2].
La déformation de l’ellipsoïde des indices due à l’effet électrooptique secondaire dépend de la direction
de propagation puisque le champ électrique induit
est toujours longitudinal. Les constantes photoélas- tiques effectives ont donc une valeur particulière pour
chaque direction de propagation dans le cristal.
Elles ne peuvent représenter les propriétés photoélas- tiques intrinsèques du cristal mais permettent de calculer les constantes photoélastiques à champ nul qui sont définies indépendamment de la direction
de propagation dans le cristal et sont donc indépen-
dantes des conditions expérimentales.
II. Effet photo élastique dans les cristaux piézo- électriques. - L’effet photoélastique représente la
variation d’indice induite par une déformation dans
un milieu transparent. Dans un milieu piézoélectrique,
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01971003207057900
580
il est indispensable de considérer simultanément les variations d’indices produites par effets photo- élastiques et électrooptiques puisque la déformation du milieu est toujours accompagnée d’un champ électrique induit et inversement.
2.1 RAPPEL DE L’EXPRESSION DU CHAMP ÉLECTRIQUE
INDUIT PAR UNE ONDE ACOUSTIQUE DANS UN CRISTAL
PIÉZOÉLECTRIQUE. - Considérons la propagation d’une
vibration dans un cristal piézoélectrique. Elle a un
caractère mixte (électrique et acoustique) et l’on
doit considérer simultanément la propagation d’une
onde de déplacement :
et d’une onde de champ électrique longitudinale : [3]
U : vecteur déplacement ;
E : vecteur champ électrique ;
k : vecteur d’onde ;
Sqs : amplitudes de déformation ;
elas : constantes piézoélectriques à déformation nulle ;
80’ 8ij : constantes diélectriques absolues et relatives.
Pour un faisceau acoustique transportant une puis-
sance de 1 W/cm2, l’amplitude de déformation est de l’ordre de 10- 5 et le champ électrique induit peut atteindre 101 V/m (dans un cristal fortement piézo- électrique telle la coupe (100) de LiNb03 par exemple).
2.2 CONSTANTES PHOTOÉLASTIQUES MODIFIÉES. - L’effet photoélastique est représenté par la variation
3ABij des coefficients B; de l’ellipsoïde des indices
d’équation Bij xi xj = 1 provoquée par la déformation du milieu. Dans le cas général où le milieu est à la fois
déformé et soumis à un champ électrique, les ABij
sont liés à la déformation et au champ électrique local par la relation [5] :
p;jqs : constantes photoélastiques à champ électrique
nul.
rijp : constantes électrooptiques à déformations nulles.
Dans un cristal piézoélectrique, il faut utiliser la
forme générale de l’expression (3) nous obtenons alors à l’aide de la relation (2) :
avec
L’introduction des constantes effectives p permet de représenter l’effet photoélastique primaire (varia-
tion d’indice due à la seule déformation du milieu)
et l’effet électrooptique secondaire (variation d’indice
due au champ électrique induit).
Sous forme matricielle, la relation (4) se met sous
la forme :
Les éléments du tenseur pmn s’obtiennent en effec- tuant le produit tensoriel des vecteurs (emp kp) et (en, kl) qui ont chacun six composantes. La symétrie
du tenseur pmn dépend de la symétrie du cristal (par
les coefficients rmp et enl) et de la direction de propa-
gation k. Le tenseur pmn a une valeur particulière pour
chaque direction considérée dans le cristal. Il en est de même du tenseur pmn qui ne représente donc pas
les propriétés photoélastiques intrinsèques du milieu.
Seuls les coefficients pmn définis à champ électrique nul représentent les propriétés du milieu du point de vue photoélastique.
Les constantes photoélastiques effectives Pmn propres à une direction de propagation sont obtenues expéri-
mentalement en mesurant la puissance lumineuse
diffractée par une onde acoustique haute fréquence
dans les conditions de Bragg [6]. La relation (5) permet alors de calculer les constantes photoélastiques lorsque l’on connaît les constantes électrooptiques
et piézoélectriques du cristal.
Ces précisions nous ont permis de calculer les constantes photoélastiques de deux cristaux piézo- électriques et d’expliquer les écarts qui apparaissent lorsqu’une constante photoélastique est mesurée dans
des conditions expérimentales différentes.
III. Calcul des constantes photoélastiques de quel-
ques cristaux piézoélectriques. - Dans cette partie,
nous calculons les constantes photoélastiques de
deux cristaux largement utilisés dans les modulateurs
acoustooptiques : le niobate de lithium et le sulfure de cadmium. Les conditions expérimentales utilisées
pour mesurer les pmn ont été rappelées afin de pouvoir
déterminer dans chaque cas les facteurs correctifs pmn.
3.1 LES CONSTANTES PHOTOÉLASTIQUES DU NIOBATE
DE LITHIUM LiNb03. - Les constantes photoélasti-
ques effectives de LiNb03 ont été mesurées dans des conditions expérimentales différentes [7], [8].
L’expérience décrite dans la première référence citée
fait intervenir des vibrations acoustiques longitudi-
nales se propageant suivant les directions (100) et (001) alors que la deuxième donne les résultats obtenus
avec des ondes acoustiques de type transversal se
propageant suivant la direction (100).
- Calculons d’abord les constantes photoélastiques
propres à la direction (100). Compte tenu de la symétrie des constantes électrooptiques et piézoélectri-
ques de LiNb03 et des valeurs publiées pour ces
constantes [9], [11], nous obtenons pour les pmn
non nuls les valeurs suivantes :
Les constantes photoélastiques à champ nul qui possèdent la symétrie du cristal sont liées à ces cons-
tantes et aux constantes photoélastiques effectives par la relation (5) :
Remarquons ici que les mesures de P4l faites par Dixon [7] et Maloney [8] sont compatibles si l’on
considère que les mesures de Maloney donnent la
valeur de P.56 et celles de Dixon celle de P14 qui n’est
pas modifiée par couplage électrooptique lorsque
l’onde acoustique est longitudinale.
- De la même façon pour la propagation suivant (001), nous avons calculé en utilisant les valeurs
La perturbation des constantes photoélastiques
est beaucoup plus faible que dans le cas de LiNb03.
Pour caractériser l’intensité de l’effet électrooptique secondaire, nous pouvons définir des facteurs de
couplage électrooptique par la relation :
publiées des constantes électrooptiques et piézoélec- triques [9], [11] les valeurs des constantes pmn et Pmn :
Les résultats numériques obtenus ci-dessus montrent
que les constantes photoélastiques effectives de
LiNb03, accessibles à la mesure ne peuvent être confondues avec les constantes photoélastiques à champ nul. Le grand écart entre ces constantes qui représente l’effet électrooptique secondaire, montre
que la diffraction de la lumière par le champ électrique
induit ne peut être négligé dans les cristaux piézo- électriques.
3.2 LES CONSTANTES PHOTOÉLASTIQUES DU SULFURE
DE CADMIUM. - Les constantes photoélastiques des
autres cristaux piézoélectriques peuvent être évaluées de la même façon. En utilisant les valeurs publiées
des constantes électrooptiques piézoélectriques et photoélastiques [7], [10], [11], nous avons obtenu le tableau suivant :
avec
Ces facteurs qui caractérisent l’intensité relative des effets électrooptique et photoélastique sont beau-
coup plus importants dans les cristaux de LiNbO3
que dans les cristaux de CdS :
582
IV. Conclusion. - Nous avons montré que le
champ électrique induit par une onde acoustique dans
un cristal piézoélectrique ne pouvait être négligé dans
les intéractions acoustooptiques. Dans les cristaux
fortement piézoélectriques l’effet électrooptique peut avoir un rôle très important et modifie la symétrie
des propriétés photoélastiques du milieu.
Il serait intéressant de considérer de la même façon
les effets du champ induit par les ondes acoustiques
excitées dans les modulateurs électrooptiques consti-
tués par un matériau piézoélectrique. Le champ induit produit une variation spatiale de l’indice de réfraction qui se superpose à la variation d’indice uniforme due
au champ électrique appliqué.
Bibliographie [1] PAILLOUX (H.), J. phys. radium, 1958, 19, 523.
[2] KYAME (J. J.), J. Acoust. Soc. Am., 1949, 21, 159.
[3] AULD (B. A.), I.E.E.E. Trans. Microwave Theory Tech., 1969, MTT 17, 800.
[4] HAVLICE (J. F.), BOND (W. L.), WIGTON (L. B.),
I.E.E.E. Sonic Ultrasonic, 1970, SU 17, 246.
[5] NYE (J. F.), Physical properties of Cristals-Oxford University Press, 1960.
[6] DIXON (R. W.), J. Appl. phys., 1967, 38, 5149.
[7] DIXON (R. W.), COHEN (M. G.), Appl. phys. letters 1965, 8, 205.
[8] MALONEY (W. T.), GRAVEL (R. L.), Proc. I. E. E. E., 1969, 1332.
[9] KAMINOW (I. P.), TURNER (E. H.), Proceding of the
I. E. E.E., 1966, 54, 10.
[10] MALONEY (W. T.), CARLETON (H. R.), I.E. E. E.
Sonics and Ultrasonics, 1967, SU-14, n° 3.
[11] BEYER (T.), LETCHER (V.), Physical ultrasonics, Aca-
demic Press, New York, London, 1969.
