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TRANSITIONS ÉLECTRONIQUES ET EFFETS
ÉLECTROOPTIQUES DANS LES CRISTAUX
FORTEMENT ANISOTROPES
F. Bassani
To cite this version:
TRANSITIONS ÉLECTRONIQUES ET EFFETS ÉLECTROOPTIQUES
DANS LES CRISTAUX FORTEMENT ANISOTROPES
F. BASSANI
Istituto di Fisica, Università di Pisa et G. N. S. M. du « Consiglio Nazionale delle Ricerche ))
Résumé.
-
On considère l'effet de I'anisotropie du réseau sur les constantes optiques. On montre que les effets électrooptiques dépendent de la direction du champ par rapport aux axes du cristal et on considère les conséquences de ce fait pour les cristaux anisotropes.On étudie le cas où l'anisotropie est si importante qu'on peut négliger la périodicité du cristal dans une de ses directions. Dans ce cas les transitions entre les bandes donnent lieu a des pics d'absorption très aigus, dont l'existence dépend de la polarisation de la lumière. En présence d'un champ électrique les pics se déplacent et s'élargissent, cet effet dépendant de la direction du champ électrique par rapport aux axes du cristal.
Abstract. - We consider the influence of the crystal anisotropy on the optical constants. It is shown that the electrooptic effects depend on the direction of the electric field with respect to the crystal axes and this has important consequences in anisotropic crystals.
We study in particular the case where the anisotropy is so strong that one may neglect the translational periodicity in one of the lattice directions. In this case a narrow absorption peak appears in each interband transition, but is forbidden for a particular polarization of light. In the presence of an electric field the peak shifts and widens, this effect depending on the direction of the electric field with respect to the crystal axes.
1. Constantes optiques.
-
L'étude des cristaux anisotropes nous offre la possibilité d'obtenir beaucoup plus de renseignements sur les transitions électroniques que l'étude des cristaux cubiques, parce que l'état de polarisation de la lumière excitatrice et les effets électrooptiques dans ce cas donnent des informations supplémentaires.Nous allons considérer la constante optique qui est la plus directement liée aux états électroniques, c'est-à-dire la partie imaginaire de la fonction di- électrique. La connaissance de ~ , ( o ) , pour toutes les fréquences, permet de connaître aussi la partie réelle, au moyen des relations de Kramers-Kronig [Il, et en conséquence, toutes les autres constantes optiques. A la partie imaginaire de la fonction diélectrique contribuent, soit les transitions électroniques entre les états d'énergie des bandes occupées et des bandes vides, soit les transitions excitoniques, pour lesquelles on considère l'interaction entre l'électron et le trou. Lorsque l'énergie de la transition est supérieure à une valeur limite, correspondant à la plus petite différence d'énergie entre les bandes vides et les bandes occupées, on néglige, en première approximation, l'interaction excitonique. Dans cette approximation, prenant en
considération seulement les transitions dipolaires, on peut écrire [2] :
où e indique la direction du champ électrique de la lumière, et la somme comprend toutes les bandes de valence occupées par les électrons et toutes les bandes de conduction. Si la transition est permise pour une certaine valeur du nombre d'onde k,, l'élément de matrice :
Mvc =
<
*cIe.V I * v > (1') est presque indépendant de k, si k est voisin de k,. Dans ce cas la variation de E~ en fonction de la fré- quence o est essentiellement donnée par la densité d'états :La densité d'états présente des discontinuités qui
TRANSITIONS ÉLECTRONIQUES ET EFFETS ÉLECTROOPTIQUES C 3 - 2 1
correspondent aux points critiques de vecteur d'onde kc, ou
Près de l'énergie où cette condition est satisfaite, on peut écrire :
On a la possibilité d'avoir 4 types de points critiques, 131, Mo, Ml, M,, M,, suivant le nombre des coeffi- cients négatifs dans l'expression (2).
Dans les cristaux anisotropes l'élément de matrice M,, est différent pour deux directions différentes de la polarisation du champ électrique de la lumière. En particulier, Mvc peut être égal à zéro pour une direction particulière de polarisation, et différent de zéro pour la direction de polarisation perpendiculaire à la précé- dente. Dans ce cas le changement de polarisation peut produire un changement radical du spectre d'excita- tion. Par exemple, dans le cas de CdS et de ZnS, exa- miné par Cardona et Harbecke [4], on trouve, dans le cas wurtzite, une structure dans &,(O) pour la lumière polarisée dans la direction de l'axe hexagonal, qui est différente de la structure qu'on trouve lorsque la direction de polarisation est orthogonale à cet axe. Cet effet est très utile pour classifier les états électroniques responsables des transitions, puisque des règles de sélection peuvent être établies théoriquement pour ces états, suivant la polarisation de la lumière excita- trice. Greenaway et Harbecke [5] ont utilisé ces idées pour interpréter les constantes optiques de Bi2Te3.
II. Effets électrooptiques. - L'application d'un champ électrique statique au solide modifie les cons- tantes optiques en raison de deux effets :
a) changement de l'énergie et des fonctions d'onde des états électroniques (effet Stark),
b) (c tunneling » de l'électron sous l'action du champ électrique en présence de la lumière (effet Franz-Keldish [6]).
Callaway [7] a montré que dans un cristal parfait l'effet Stark est très petit ; par conséquent on peut le négliger, au moins en première approximation. L'effet Franz-Keldish peut être étudié d'une façon très géné- rale en considérant l'influence du champ électrique sur la dépendance du temps de la fonction d'onde de l'électron. La fonction d'onde devient [8] :
r, t) = exp --
i i
sy
E n ) d t ( k , r), (3)où Ie vecteur k dépend maintenant du temps et du champ électrique :
En conséquence, la partie imaginaire de la fonction diélectrique devient :
x
1
1:
dt exp(k
1:
(Ec - E, - go) drr)i2
.
(4) Comme Mvc dépend peu du vecteur d'onde k, lastructure dans &,(CO) est donnée aussi dans ce cas par la densité d'états :
1
3,,(0, F) = -
5
*
1
1'
dtx
2 71% B.Z. (2T
OOn a montré récemment [9], [IO] que pour une direction du champ P donnée, on peut calculer l'ex-
pression (4) pour tous les types de points critiques et obtenir l'effet électro-optique. On démontre [IO] que cet effet devient négligeable loin des points critiques. Au voisinage de ces points l'effet consiste en une absorp- tion de lumière à une énergie plus petite que la plus petite différence d'énergie entre la bande de valence et la bande de conduction, ainsi qu'en une varia- tion de l'absorption, qui présente des oscillations d'un côté du point critique. L'amplitude de l'effet de la période des oscillations dépendent, pour chaque type de point critique, de la valeur et du signe du paramètre :
où e est la charge de l'électron, et a,, indique la pro- jection des coefficients de l'expression (2) dans la direction du champ électrique définie par les cosinus directeurs 1, rn et n :
a,, = a, Z2
+
a, m2+
a, n 2 . ( 5 )Les coefficients a,, a,. a, sont proportionnels aux inverses des masses efficaces correspondant au point critique qu'on considère. On en déduit alors que i'effet électrooptique dépend de la valeur des masses effi- caces et de la direction du champ électrique.
la direction du champ. Les techniques expérimentales utilisant la modulation par un champ électrique alternatif de basse fréquence et la détection synchrone ouvrent la possibilité d'obtenir des mesures suffisam- ment précises. Cette technique a été employée par Andler et Frova [ I l ] en absorption, par Seraphin et al. [12] et par Cardona et al. [13] en réflexion. On a réussi à identifier les énergies correspondant aux points critiques et à éclaircir la nature de quelques-uns d'entre eux, mais on n'a pas encore obtenu les masses efficaces à cause du fait que, généralement, on a un nombre de points critiques équivalent pour différentes valeurs de k,. L'effet
expérimental est alors compliqué par la composition des effets dus à ces points, correspondant à des valeurs différentes de a,, dans le paramètre (5). Pour k = O on a toutefois un seul point critique et l'effet électrooptique est simplement tiré des résultats de l'intégrale (4) avec une seule valeur du para- mètre (5).
Une différence très intéressante apparaît entre les cristaux cubiques et les cristaux anisotropes à k = 0 ; dans le cas du cristal cubique ol, = a, = a, et I'effet ne dépend pas de la direction du champ, tandis que, si le cristal est anisotrope, les masses efficaces, soit a,, a, et a,, peuvent être différentes, et l'effet électroop- tique dépend de la direction de champ électrique. Par exemple, dans le cas de CdS, à structure hexago- nale, on a a, = a, # a,, et l'on s'attend à ce que l'effet soit différent suivant que le champ électrique F est parallèle à la direction Z ou perpendiculaire à cette direction. Sur la figure 1 nous présentons les résul-
FIG. 1. - Densité d'états en fonction de &w au point critique Mo. La ligne continue se réfère à un champ électrique nul. Les autres lignes se réfèrent aux champs dans la direction Z et dans une direction orthogonale à S.
La valeur du champ est de 5 x 104 V/cm. Les valeurs des masses efficaces correspondent à :
ax = ay = 1,24 x 10-3 eV2 s.2 g-'
cc, = 1,53 x 10-3 eV2 s.2 g-'
(Bibliographie [IO]). tats théoriques pour les deux cas [IO]. On peut voir qu'il y a une différence de l'ordre de 10
%
dans l'effet Franz-Keldish, et cela s'accorde assez bien avec les résultats de Gutshe et Lange [14].III. Constantes optiques dans le cas du réseau à deux dimensions.
-
Pour un grand nombre de solides, l'anisotropie est si importante qu'on peut adopterTRANSITIONS ÉLECTRONIQUES ET EFFETS ÉLECTROOPTIQUES C 3 - 2 3 l'approximation qui consiste à négliger la périodicité
de translation dans la direction z et à considérer ces solides comme des réseaux à deux dimensions. C'est le cas du graphite, des composés semiconducteurs GaS et GaSe, etc. Pour les surfaces on a aussi la périodicité de translation seulement suivant deux directions.
Dans ces cas, l'expression pour la différence d'éner- gie, au voisinage des points critiques de vecteur k,
devient :
Ec - Ev = E0
+
ax(kx-
kcx)2+
ay(ky - kcy)2 (6) et la formule (1) donne des résultats différents de ceux obtenus dans le cas des trois dimensions. Si a, et a, sont de même signe on obtient un pla- teau. Par contre, si a, et a, sont de signes contraires on obtient une singularité logarithmique dans la densité des états (l"), qui donne un pic très étroit dans les constantes optiques. Ce pic est bien évident dans le cas plus simple du graphite pour lequel nous avons fait des calculs de bande d'énergie et de densité d'états [15]. Sur la figure 2, nous montrons la densité des états et la partie imaginaire de la constante di- électrique pour les bandes .n du graphite (la plus haute bande occupée et la plus basse bande vide). Pour référence, la structure des bandes d'énergie du graphite est présentée dans la figure 3. Sur la figure 4 on peut voir les résultats théoriques jusqu'à 20 eV comparés aux résultats expérimentaux de Philipp et Taft [15]. Les. deux pics à 5 eV et à 14 eV correspondent aux points critiques du type Ml, qui donnent la singularité logarithmique.Ryd.
FIG. 3. -Structure des bandes d'énergie du graphite à
deux dimensions. Les bandes a ont été indiquées par une ligne brisée et les bandes a par une ligne continue. Les énergies des états de valence de l'atome de carbone ont été indiquées aussi (Bibliographie [15]).
Les transitions électroniques qu'on a considérées sont permises seulement pour la lumière polarisée dans le plan du réseau. Si, par contre, la lumière exci- tatrice est polarisée perpendiculairement au réseau
FIG. 4. -Partie imaginaire de la fonction diélectrique pour le graphite à deux dimensions.
l'élément de matrice (1') devient nul pour les deux transitions de la figure 4, tandis qu'une autre transition devient permise, avec une singularité logarithmique à l'énergie d'environ 9 eV. Ces résultats ont été confirmés par les expériences de Greenaway et Harbecke [17] qui ont mesuré la réflectivité du graphite en fonction de l'angle d'incidence, pour la lumière polarisée dans le plan d'incidence.
IV. Effets électrooptiques dans le cas à deux dimensions.
-
Les effets électrooptiques changent aussi beaucoup lorsque l'anisotropie est telle qu'on peut considérer seulement la périodicité suivant deux directions. Dans ce cas on déduit [IO] des formules (4) et (4'), avec l'expression (6) pour l'énergie, que le point Mo donne un effet du type Franz-Keldish, tandis que pour le point Ml on a un déplacement et un élargisse- ment du pic et on a des oscillations d'un côté du pic. Les résultats pour les deux cas sont montrés dans les figures 5, 6 et 7. On peut remarquer que F dans le cas à deux dimensions représente la composante du champ électrique dans le plan du réseau et cc,, est la projection de a, et a, dans la direction du champ électrique, fixée par les cosinus directeurs 1, e, m :FIG. 5. -Densité d'états en fonction de &w près du point critique Mo à deux dimensions. La ligne continue donne le résultat pour F = O. La ligne interrompue et la ligne en poin- tillé donnent les résultats pour : ~ t / ~ ( e F ) ' / = 1,24 x 10-2 eV et 1,67 x 10-2 eV respectivement (Bibliographie [IO]).
Le cas le plus intéressant est celui du point Ml qui donne la singularité logarithmique. En fonction de la direction du champ électrique le pic se déplace d'un côté ou de l'autre suivant le signe de a,, comme on le voit sur les figures 6 et 7.
J v c (w)
K?ev:'10-3
FIG. 6. - Densité d'états en fonction de &w près du point M i dans le cas bidimensionnel.
La ligne continue donne le résultat pour F = 0.
La ligne interrompue et la ligne en pointillé donnent les résul- tats pour : ~r;/~(eF)'/~ = - 1,00 x 10-2 eV et 1,223 x 10 -2 eV
respectivement (Bibliographie [IO]).
a,,> 0
-
F - OFIG. 7. - Densité d'états en fonction de 6w près du point M i dans le cas bidimensionnel.
La ligne continue donne le résultat pour F = 0.
La ligne interrompue et la ligne en pointillé donnent les résul- tats pour : ~r;/~(eF)'/~ = 0,85 x 10-2 eV et 1,07 x 10-2 eV respectivement (Bibliographie [IO]).
Il apparaît possible avec les techniques expérimen- tales actuelles, de vérifier ces effets, au moins dans les cas des semi-conducteurs GaS et GaSe.
TRANSITIONS ÉLECTRONIQUES ET EFFETS ÉLECTROOPTIQUES C 3 - 2 5 électrooptique aussi avec un champ perpendiculaire
a u plan d u réseau tel qu'il a été observé par Brebner et Moser [18] dans GaSe et par Chiarotti et Del Signore dans les états de surface [19].
Bibliographie [l] Voir par exemple :
TAUC (J.), Rendiconti Scuola Enrico Fermi, XXXIVO Corso, « Optical Properties of Solids », 1966, page 63.
STERN (F.), Solid State Physics, 1963,15, 299. [2] Voir par exemple :
BASSANI (F.), Rendiconti Scuola Enrico Fermi, XXXIVO Corso, « Optical Properties of Solids »,
1966, page 33.
[3] VAN HOVE (L.), Phys. Rev., 1953, 89, 1189.
[4] CARDONA (M.) et HARBECKE (G.), Phys. Rev., 1965, 137, A 1467.
[5] GREENAWAY (D.) et HARBECKE (G.), J. Phys. Chem. Sol., 1965, 26, 1585.
[6] FRANZ (W.), Zeit Naturf., 1958,13,484.
KELDISH (L. V.), Zh. Experim. i Teov. Fiz., 1958, 34, 1138.
[7] CALLAWAY (J.), Phys. Rev., 1964, 134; A 998. [8] Voir par exemple :
WANNIER (G. H.), Rev. Mod. Phys., 1962, 34, 645. [9] ASPNES (D. E.), Phys. Rev., 1966,147, 554.
[IO] AYMERICH (F.) et BASSANI (F.), Il NUOVO Cimento 1967, 48 B, 358.
[Il] FROVA (A.) et ANDLER (P.), Phys. Rev., 1965, 137, A 1857.
[12] SERAPHIN (B. O.), Phys. Rev., 1965, 140, A 1716. [13] CARDONA (M.) et POLLAK (F. H.), Phys. Rev., 1966,
142, 530.
1141 GUT~CHE (E.) et LANGE (H.), Physica Status Solidi, 1964, 4, K 21.
[15] BASSANI (F.) et PASTORI (G.), Il Nuovo Cimento (à publier).
[16] TAFT (E. A.) et PHILIPP (H. R.), Phys. Rev., 1965, 138, A 197.
1171 GREENAWAY (D.) et HARBECKE (G.) (à publier). L'au- teur est très reconnaissant aux Docteurs Greena- way et Harbecke qui lui ont envoyé leurs résul- tats.
[18] BREBNER (J. L.) et MOOSER (E.) (à publier). L'auteur est très reconnaissant aux Docteurs Brebner et Mooser qui lui ont envoyé leurs résultats.
[19] CHIAROTTI (G.) et DEL SIGNORE (G.), communication privée.
DISCUSSION
H. AMAR.
