Bandes d'énergie électroniques dans un liquide à une dimension

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Submitted on 1 Jan 1967

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Bandes d’énergie électroniques dans un liquide à une dimension

Jean Fornazero, Guy Mesnard

To cite this version:

Jean Fornazero, Guy Mesnard. Bandes d’énergie électroniques dans un liquide à une dimension.

Journal de Physique, 1967, 28 (2), pp.221-228. �10.1051/jphys:01967002802022100�. �jpa-00206509�

BANDES D’ÉNERGIE ÉLECTRONIQUES ^{DANS UN} LIQUIDE

^A

^{UNE DIMENSION}

Par

JEAN

^{FORNAZERO et GUY}

MESNARD,

Laboratoire

d’Électronique

^{et de}

Physique

^du Solide, Faculté des Sciences de Lyon.

Résumé. 2014 On étudie

l’influence,

^sur la structure des bandes

d’énergie,

de la loi de

proba-

bilité caractérisant la variable aléatoire de distance

interatomique,

^{dans les modèles de métaux}

liquides

^{à une} dimension. On obtient une relation déterminant les limites des bandes, ^en moyenne

statistique,

^valable

quelle

que soit la forme du

potentiel

^{de c0153ur}

atomique.

^On

présente

les

caractéristiques générales

de la structure de bande du

liquide.

Abstract. ²⁰¹⁴ The energy band structure of a one-dimensional

liquid

metal model is

studied,

taking

^{account of the}

probability

distribution of the random variable of interatomic

distance.

We obtain a relation

determining

^{the band} limits, in statistical average, valid for any ^core function. We

present

^the

general

characteristics of the

liquid

^{band structure.}

Introduction. ^-

Depuis quelques années,

^{les struc-}

tures de bandes

électroniques

des modèles désordonnés ont fait

l’objet d’investigations nombreuses,

^notam-

ment celles des modèles «

liquides »

^{à une dimension}

(références [1]

^à

[14]).

^Les difficultés de détermina- tion de la structure de bande

proviennent

^essentiel-

lement de l’absence de

périodicité

^{dans la fonction}

énergie potentielle

^de

l’électron,

contrairement au cas

des modèles « solides ». Les références

[9]

^et

[12]

contiennent un résumé des travaux

antérieurs,

^à

l’exception

^des

plus

^récents

([11], [13]

^et

[14]),

^{dont il}

sera

question

^dans la discussion.

I.

Structure

de bande du modèle solide à une

dimension. ^-

Désignons

par

v(x)

la fonction

énergie potentielle

d’un électron dans le

champ

de force d’un

coeur

atomique.

^{Une suite de tels «}

puits »

^de

potentiel correspond

^{à l’état « solide »}

lorsque

^la distance d de deux

puits

consécutifs est constante; ^elle

correspond

à l’état «

liquide » lorsque,

^au

contraire,

^{cette distance}

varie. Dans

l’approximation

^{de la «} fixité des ions _»,

l’énergie potentielle

d’un électron se

déplaçant

^dans

le solide s’écrit :

xi

désignant

^la

position

^des

ions,

^{et l’on a :}

Les solutions de Bloch de

l’équation

^{de Schrô-}

dinger,

permettent de déterminer la relation entre

l’énergie E

et le vecteur d’onde k pour les bandes

permises.

Introduisons une matrice

M(x),

^{dite « matrice de}

transfert », définie _par la relation

et construite au moyen de deux solutions

particulières, y(x)

^et

z(x),

^de

l’équation (2) :

Nous

imposons

^{à ces solutions}

particulières

^{de rem-}

plir

la condition :

On reconnaît que det

M(x)

⁼

W(y, z),

^wronskien

des deux

solutions;

^la

propriété

^{de constance de ce}

dernier entraîne :

Nous utiliserons dans la suite ces matrices de trans- fert M à déterminant unité. Par

ailleurs,

les solutions de Bloch «

acceptables »

sont celles pour

lesquelles

^sont les racines ima-

ginaires

pures de

l’équation

^aux valeurs propres

de la matrice de transfert

iwj,

définie par

(3)

pour

xo=0,

^{x = d.}

Pour avoir exp

~= ikx),

^{il faut} que

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01967002802022100

222

Cette condition détermine les valeurs

permises

^de

l’énergie

^{E. Le cas où :}

traduit «

l’équation

^aux limites de bandes ».

Quant

^à

l’expression

^{de la somme} des racines :

eikx +

^{e-ikx = Tr}

Md, qui

^s’écrit

elle

permet

^la détermination de la relation E =

E(k)

cherchée.

II.

Structure

de

bande

du modèle ^«

liquide

^{». -} 1. CHOIX DU MODÈLE ET NOTATIONS. ^- Nous nous

plaçons

maintenant dans le cas où la distance

di

^entre

deux atomes voisins

prend

diverses valeurs

réparties

au hasard et nous nous proposons d’étudier ^un

modèle, L, comprenant

^{n atomes}

répartis

^{au hasard sur une}

longueur

^{D finie}

(nous

réservant de faire tendre D

ou n vers l’infini

ultérieurement).

^{Dans ce cas, le}

poten-

tiel n’est

plus périodique

^{et il n’est}

plus question

^de

fonctions de Bloch.

Cependant,

si l’on choisit comme

conditions ^aux

limites, imposées

^{aux fonctions} propres, des conditions moins restrictives que

les

conditions aux

limites «

périodiques

^», par

exemple

tl

étant, a priori,

soit réel soit

imaginaire

pur, ^tout revient à étudier un modèle

particulier

^L’

périodique

dont la maille élémentaire ne serait autre que le

liquide

^{L. Ainsi} pour le modèle

L’,

nous aurons

La structure de bande du modèle

L’,

pour ^une

répartition

donnée de l’ensemble des

di,

^{sera obtenue}

par la relation

Afp

^{étant la matrice} de transfert de la maille D et

K’ le vecteur d’onde des solutions de Bloch corres-

pondant

^à

En

fait,

^ce

qui importe

n’est pas l’étude d’une

répar-

tition

particulière

^d’un ensemble de

di,

^{mais d’une}

répartition

moyenne, ^{au sens} des

probabilités,

^sur

l’ensemble des différentes

répartitions possibles.

^Le

problème

^{est donc d’évaluer} la moyenne

Considérons pour cela ^une suite de n

puits

^de

potentiel répartis

aléatoirement sur une

longueur

^D.

Scindons cette dernière en n « cellules » de

longueurs

différentes

di,

^{de telle sorte} que chacune d’elles contienne un

puits plus

^un certain inter-

valle az;

^le

potentiel

cellulaire _Vci

correspondant (fin. 1 )

s’écrit :

FIG. 1.

Désignons

^{la valeur} moyenne

commune à ^toutes les variables aléatoires continues

di, supposées indépendantes.

^{Pour la suite des}

calculs,

il est commode de considérer les variables aléatoires

«

centrées » d2 - ~ d~ ~ = di

^{- d =} yz. Nous dési- gnerons par leur densité de

probabilité.

^Par

=

0;

par

ailleurs, ai

^{= a avec}

a ⁼ d - b.

2.

ÉVALUATION DE ( 1/2

^Tr

Mp ). 2013

^{Nous avons}

pour la matrice de transfert d’une maille D :

Mdi désignant

^la matrice de transfert d’une cellule

d2;

mais,

^{à son} tour,

Mb

étant la matrice de transfert du

potentiel atomique

proprement dit, v(x

^-

x~),

^et

Mai

celle de l’inter- valle _ai. Cette dernière est ^une matrice du

type M(sl)

(cf.

^annexe

A);

^ici

Mai

⁼

M(rai),

^en

posant

soit encore :

d’où

en

posant

matrice de transfert d’une cellule de

largeur d,

que

nous pouvons identifier à celle de la maille élémen- taire d’un certain «

solide-moyen

», pour

lequel d2

= d pour ^tout i

(on peut dire,

par

exemple,

^que

c’est le solide dont la « fusion » a donné naissance

au

liquide considéré).

Ainsi :

et

Or

et, d’autre

part,

comme, par

ailleurs,

il vient

avec, par

définition,

L’évaluation de ces éléments de matrice revient à

évaluer (

exp

(ry) ~,

^{soit :}

Sous réserve de discussion concernant cette

intégrale,

notamment sa convergence, ^on

obtient :

Si nous supposons ^la densité

f ( y) symétrique, f ( y) = f (- y) ;

^{alors la fonction}

g(r) = g(- r)

^l’est

aussi. Dès lors :

par suite

I étant la matrice

unité,

^et

Les valeurs propres de la matrice

Md,

sont les racines de

l’équation

séculaire :

soit encore

en tenant

compte

^{de ce} que det

ces deux racines étant inverses l’une de l’autre.

Si

S ~ >

1 il y ^a deux racines

réelles,

^on

peut

poser

1 1

⁼

exp -4-

^u.

Si

1 su 1

^{= 1 il} y ^a deux racines

égales p, = p _

^{= 1.}

Si

1 S

1 les racines ^sont

complexes conjuguées,

mais _{de module}

unité;

^nous pouvons donc les écrire

sous la forme : -.

p*

⁼

exp +

^iv.

Par

ailleurs,

les valeurs propres de

M~

^ne sont autres

que P’

^et

pn ;

par

conséquent :

Finalement :

Soulignons

^au passage que la condition

est la condition

correspondant

^{aux bandes}

permises

du «

solide-moyen

^{». Précisons} maintenant la nature

de la

fonction g(r) =

^{exp C’est la}

« fonction

génératrice

^{des moments » associée à la}

loi de

probabilité

^définie

par J(y).

^En

particulier,

si r ⁼ ik est

imaginaire

pur, il

s’agit

^{de la «}

première

fonction

caractéristique

^{», notée}

~(k),

^{dont les} pro-

priétés

essentielles sont :

Deux cas sont désormais à

distinguer

suivant le

signe

^{de E :} -

Si l’on tient

compte

^de

(34),

la condition _pour l’obten- tion des valeurs de E

permises,

est

automatiquement

^{vérifiée dès 1}

(voir

^{33 b et}

c) ;

par

conséquent,

^{la condition}

générale

pour les bandes

permises

^{est ramenée à}

(33 a) :

^:

et

l’équation

^aux limites de bandes est :

Passons au cas où n est très

grand,

^{sans modifier}

la valeur

de d,

c’est-à-dire en maintenant constante

la densité

atomique

linéaire : alors exp ^nu et

l’équation (37)

^{devient : 2}

224

Or, puisqu’on

^{est dans le cas où}

1 SI> 1, compte

tenu de

(31),

^{la relation}

(38)

s’écrit aussi :

c’est-à-dire

Si l’on passe à la limite pour ^{n ~} oo, ^on obtient :

Posons ⁼ Le deuxième membre

de

l’équation (41)

s’écrit alors

d’où

l’équation

^{aux limites} de bandes du modèle

liquide indéfini, applicable

^sans restriction au domaine des

énergies positives :

Notons que si ⁼

1

^cette fonction n’est

autre que ^« la deuxième fonction

caractéristique »

^de

la loi de

probabilité.

^Plus

généralement,

^le

logarithme népérien

^{de la « fonction}

génératrice

^{des moments »}

est la « fonction

génératrice

des cumulants ».

Il faut au

préalable

^{s’assiii ur} de la convergence de

l’intégrale (26).

^{Si cette condition est}

remplie.

^on

peut

traiter le deuxième cas comme le

premier,

^ce

qui

^nous

conduit à

l’équation :

Finalement,

^{si l’on se souvient}

que S

⁼

S(E), l’équation

^aux limites de bandes cherchées s’écrit :

avec

Les racines de cette

équation

transcendante four- nissent les limites des bandes

permises

^et interdites.

Sa résolution

analytique

^étant

impossible,

^{il faudra}

faire

appel

^{à des}

techniques

^{de calcul}

numérique,

soit au moyen de calculateurs

électroniques,

soit par des constructions

graphiques. Ainsi,

^alors que pour le modèle solide ces limites de bandes

correspondent

aux abscisses des

points

d’intersection de la courbe

représentative

de la fonction

S(E )

^avec deux droites

s ⁼ + ^{1 et s = -1}

parallèles

à l’axe des

énergies,

les limites de bandes pour le modèle

liquide

^{sont les}

abscisses des

points

d’intersection de cette même courbe

S(E)

^{avec les courbes}

représentatives

^{des fonc-}

tions

+ G(E)

^{et -}

G(E).

Comportement général

^de

lafonction G(E).

^{- La fonc-}

tion

G(E),

^étant

égale

^{à un cosinus}

hyperbolique, possède

^les

propriétés

suivantes :

a) G(0)

^{= 1 et}

G(E) >

¹

quel

que soit

E;

b)

^d’autre

lorsque k -~ oo ;

par

suite,

^{~ - oo et}

G(E) ~ +

^{oo avec}

E;

c)

^de

plus,

^{si la}

fonction O(k)

^{est une fonction}

monotone non croissante

(comme

^{c’est le cas} pour

une loi de

probabilité

^«

normale »),

^et

puisque

~ ~(k) 1,

la fonction

G(E)

^{est donc monotone non}

décroissante.

Comportement général

^de

la f onction S(E).

^{- Il est bien}

connu

depuis

^{les travaux} de Kramers

[15]. Rappelons

les

points

essentiels suivants :

a) S(E)

^est

continue;

b)

^{elle est}

toujours supérieure

^{à 1 tant}

que E

^est

inférieur à une certaine valeur

El;

c)

^{elle a un}

comportement

oscillatoire _pour E >

El,

^{avec une} infinité de maxima et minima

alternés ;

d)

^elle

prend

^une valeur > 1 à ^un

maximum,

^une

valeur

- 1

^{à un}

minimum;

e)

^{en valeur}

absolue,

^{les ordonnées des extrema}

diminuent

quand

^E

^augmente,

^{et tendent vers 1}

quand

^{E -~ co .}

III.

Caractéristiques

^de la structure

de

bande du

liquide.

^- Nous pouvons maintenant tirer de cette

étude du modèle

liquide, complètement aléatoire,

^les

propriétés caractéristiques

^{de sa structure de bande}

électronique :

PROPOSITION 1. ^~ Toute valeur de

l’énergie E permise

dans l’état solide est

également permise

dans l’état

liquide.

Cette

propriété

^résulte des relations

(33)

^et

(35).

Par contre, le fait que

l’inégalité (35) puisse

^être

vérifiée pour des valeurs de E telles 1 montre la

présence possible

^{de valeurs}

permises

pour le

liquide, qui

étaient interdites au solide : elles

s’ajoutent

^de

façon

continue à celles de la bande

permise

^{du solide et}

prennent place

^{dans sa bande}

interdite. Le

comportement qualitatif

résultant du

graphique

des fonctions

S(E )

^{et ±}

G(E)

^est

indiqué

sur la

figure

^2.

PROPOSITION 2. ^- La

largeur

des bandes interdites de l’état solide diminue

quand

^on

passe

^{à l’état}

liquide.

Étant

donné que pour

G(E) -

^{co et}

S(E) -~ 1,

^{il est clair}

qu’au-delà

d’une certaine valeur de

l’énergie, Ec, l’inégalité ~ S(E) ~ G(E)

^{est vérifiée}

pour ^tout

E;

^toutes les valeurs de E deviennent donc

permises,

^{d’où :}

PROPOSITION 3. ^- Il existe une valeur de

l’énergie,

au-delà de

laquelle

^il

n’y

^a

plus

^{de bandes} interdites.

De

plus,

^{si la}

première

^fonction

caractéristique

^est

F’1G. 2. ^- Différents

types

d’intersection des courbes

représentatives

des fonctions s ⁼

S(E)

^{et s}

= =1: G(E)

montrant les différents modes de rétrécissement des bandes interdites :

a)

faible rétrécissement au

voisinage

de .E ⁼ 0 ;

b)

^et

c)

rétrécissement de

plus

^en

plus

accusé pour des

énergies

^de

plus

^en

plus élevées,

avec, dans le dernier schéma,

disparition

de la bande interdite.

une fonction monotone non croissante

(propriété c)

de

G(E)),

^{on a les}

propositions

^{4 et} 5 suivantes : PROPOSITION 4. ^- Le « rétrécissement » d’une bande inter- dite est d’autant

plus important

que

l’énergie

^{E est}

plus

^élevée.

Ceci résulte de la

propriété b)

^de

G(E)

^{et de la}

propriété e)

^de

S(E).

Notons _que, dans le cas d’une bande interdite se

situant au

voisinage

^{de E =}

0,

^le rétrécissement sera

très peu

accusé;

^en

effet, G(E),

demeure très

proche

de la valeur 1

(fig.

²

a) .

D’autre

part,

^{étudions le mode de} « rétrécissement ».

Les deux limites d’une bande interdite ne se

déplacent

pas l’une ^vers l’autre de

quantités symétriques.

^D’où

la

proposition

^{suivante :}

PROPOSITION 5. ^- La limite

supérieure

^d’une bande inter- dite « s’abaisse » d’une

quantité plus importante

^{que celle}

dont « s’élève » la limite

inférieure.

Il faut faire ici encore une

exception

pour ^une bande interdite

qui

chevaucherait la valeur E ⁼

0;

il

pourrait

^se

produire

^un

déplacement équivalent

^de

chacune de ces deux limites.

IV.

Exemples.

^-

1)

^{A titre de}

premier exemple,

montrons que

l’équation

^aux limites de bandes d’un solide est un cas

particulier

de celle du

liquide.

^En

effet,

l’état solide

peut

être considéré comme corres-

pondant

^{au cas} limite où les distances

interatomiques di

suivent une densité de

probabilité

définie par la fonction

~(y)

^de

Dirac;

^cette fonction étant

normée,

la fonction

génératrice

^{des moments donne :}

Par suite

G(E)

⁼

1,

^{et la}

condition 1 S J

^{= G se}

ramène à

s 1

⁼

1, qui

^{est bien}

l’équation

^cherchée

pour le solide.

2)

^Nous considérons maintenant ^un modèle

qui

constitue un

exemple

^{à un double}

titre,

^d’une

part

en ce

qui

^{concerne le choix d’un}

potentiel

^atomi-

que

v(x) particulier,

^{à savoir un}

puits rectangulaire,

et d’autre

part

^{en ce}

qui

^{concerne la loi de}

probabilité, qui

^sera celle de Gauss. Ainsi

a étant l’écart

type

^et

(_y )

^{= 0. Cette fonction est}

normée;

^{on = 0 et}

f ( y) = f ~- y) .

^On

vérifie _que

l’intégrale (26)

existe bien dans ce cas.

D’ailleurs

Par suite

On vérifie au passage les

propriétés générales a), b) et c)

^{énoncées au}

sujet

^de

G~E).

D’autre

part,

^{si l’on} définit le

potentiel

^cellulaire

(fig. 3)

par :

W r. 3.

226

on a :

calcul élémentaire conduit à

l’expression :

L’équation

^aux limites de bandes du

liquide

^{est alors :}

est

imaginaire

pur :

naires _{purs :}

rétrécissement des bandes interdites est directement influencé _par les valeurs de l’écart

type

^cr, c’est-à-dire par la

dispersion

des valeurs des distances interato-

miques di

^{autour de leur valeur} moyenne d. Il _y aura un rétrécissement d’autant

plus prononcé

que ^{a sera}

grand.

^Par contre, ^{si 6 est très}

faible,

le rétrécissement

ne sera sensible

qu’à partir

^d’une

énergie

^{élevée. A}

la limite où 6 ⁼

0,

^{on retrouve} bien évidemment les bandes du

solide, puisque G(E)

^{= 1. On voit donc}

la

possibilité

^{de chiffrer une valeur de a pour}

qu’une

bande interdite déterminée

disparaisse.

3)

^{Comme troisième}

exemple,

traitons le cas d’un

potentiel atomique représenté

par ^une fonction de

Dirac ~ (x) .

Cette dernière

correspond

^{au cas limite}

d’un

puits

^de

potentiel rectangulaire (modèle

^désor-

donné de

Kronig

^et

Penney)

^{dont la}

profondeur

oo, la

largeur b

^-

0,

^mais de manière _que

vo b2

^-

0,

tandis que

vo b

^{tend vers une limite}

^finie;

posons

La matrice de transfert cellulaire devient alors

d’où

et

l’équation

^{aux limites de bande s’écrit :}

Ces deux

équations prennent

^des

expressions plus simples

que leurs

homologues

^{dans le cas des}

puits rectangulaires.

Si en

particulier

^{la loi de}

probabilité

^est

gaussienne,

la deuxième fonction

caractéristique

^étant

les deux

équations

s’écrivent :

4)

Si maintenant nous faisons intervenir une loi de

probabilité

^{dont la}

première

^fonction

caractéristique

n’est pas ^monotone

décroissante,

^{on note} que les

propositions

^{4 et 5 ne sont}

plus

exactement

vérifiées;

des

particularités supplémentaires peuvent apparaître.

Prenons

l’exemple

^{d’une loi de}

probabilité « uniforme »,

définie _par

avec la _moyenne

~y ~ =

^{0 et la variance}

^J2

⁼

a2/3;

sa

première

^fonction

caractéristique

^{est :}

par suite :

Il sufht de

représenter graphiquement

^{cette der-}

nière fonction _pour voir

l’apparition

^de

particularités

nouvelles. La

figure

^{4 montre}

qualitativement

^la

possibilité

^{d’avoir une} bande interdite

qui,

^d’une

part,

se rétrécit et, d’autre

part,

^{se scinde en deux}

petites

bandes interdites

séparées

par ^une bande

permise.

Cependant,

pour des valeurs de 6 très inférieures à

1,

ces

particularités disparaîtront

^{et l’on} retrouvera le

comportement général.

FIG. 4. ^- Intersection

particulière

des courbes

repré-

sentatives des fonctions S et G dans le cas d’une loi de

probabilité

^{« uniforme ».}

V. Discussion et conclusions. ^- Nos

investigations

concernant la structure de bande

électronique

^d’un

modèle

liquide

^{à une dimension sous}

l’angle proba-

biliste confirment et

précisent

^{la tendance au rétré-}

cissement des bandes interdites. Ce fait a été établi _par divers

auteurs,

^au moyen de différentes

méthodes;

la

plupart

concernent des modèles à

puits

^de

poten-

tiel

ô(x).

^Gubanov

[10]

^notamment

étudia,

par ^une méthode de

perturbations,

^{un modèle dans}

lequel

^les

distances

interatomiques

^{suivent une} distribution _gaus- sienne. Il conclut au rétrécissement des bandes inter- dites et l’attribue au fait _que le désordre « élève »

tous les niveaux

d’énergie permis

^{à l’état}

ordonné,

mais de telle sorte que la limite inférieure d’une bande interdite subisse une élévation

plus importante

que la limite

supérieure.

^{Ceci est en désaccord avec nos}

résultats

(voir proposition 5), qui

par ^contre

rejoignent

ceux de Makinson et Roberts

[3],

établis par calculs

numériques

^{sur des} chaînes de

puits ~(x) (2

⁰⁰⁰

puits)

dans le cas d’une distribution

parabolique

^{à cut-off.}

Notre mode de rétrécissement s’accorde aussi avec

celui

qui

^{a été décrit} par K. Hiroike

[12]

^{dans le cas}

de

potentiels ô(x)

^et d’une distribution

gaussienne

^des

distances

interatomiques.

^{Cet auteur utilise une}

méthode

préalablement présentée

par Faulkner et

Korringa [6]

^{dans le cas d’un}

alliage

solide binaire désordonné. Nos résultats confirment aussi ceux de de

Dycker

^{et Phariseau}

[11]

^établis

également,

pour divers

types

^de

distributions,

^{dans le cas}

particulier

^des

fonctions ~ (x) .

Signalons

par ailleurs les études de Dworin

[14],

concernant des chaînes de

puits

^de

potentiel ú(x),

^sur

les conditions de

persistance

des bandes interdites.

Il

obtient,

par l’intermédiaire d’un critère de conver-

gence de fractions continues

(théorème

^de

Worpitzky),

une condition

suffisante,

^{mais non}

nécessaire,

^dont

l’expression dépend

du choix du critère de conver-

gence. D’autre

part,

^{Matsuda et Okada}

[13]

^établis-

sent, par ^une méthode

analogue

^{à la}

précédente,

^une

condition d’existence des bandes interdites dans le

cas de

spectres

^de

fréquences

^de vibrations de chaînes

atomiques,

^ainsi que pour les

systèmes électroniques

que l’on

peut

^décrire par

l’approximation

^{des orbitales}

moléculaires de Hückel.

Ces deux derniers articles n’abordent _{pas la} des-

cription

^{de la structure de bande}

proprement

^{dite du}

liquide,

^dont les distances

interatomiques

^{satisfont à}

un

type

donné de loi de distribution. Il est donc malaisé de comparer leurs conditions ^sur les bandes interdites avec les

nôtres,

^{ces dernières tenant}

compte

quantitativement

^{des valeurs} moyennes ^et des

disper-

sions des distances

interatomiques.

Soulignons,

pour

conclure, qu’il

^{nous a été}

possible

d’écrire la condition

correspondant

^aux bandes per-

mises,

^{dans le cas d’un}

potentiel

^{de forme}

quelconque,

sous la forme

qui

^{est au}

liquide monoatomique

^ce

qu’était

^{la fameuse}

condition

pour le solide

monoatomique.

Ce modèle

liquide monoatomique

suppose les dis- tances

interatomiques représentées

par des variables aléatoires

indépendantes.

^Nous

publierons

^ultérieu-

rement nos études actuelles concernant le cas de modèles

polyatomiques, comportant

des liaisons fonc- tionnelles ou des corrélations entre variables aléatoires.

ANNEXES

A.

Expression

de la matrice de transfert M pour

une

région

^de

longueur

^{1 où}

règne

^un

potentiel

constant

v(x) ^{= W,}

^en

posant

si W - E C

0, s

^est

imaginaire

pur ^et les

lignes hyperboliques

^sont

remplacées

^{par des}

lignes trigono- métriques.

Propriété a :

^det

M(sl)

^{= 1.}

Propriété b :

B.

Étant

donné une matrice

M(xk)

^{dont les élé-}

ments sont fonctions de la variable _xk, on sait que la matrice

primitive

^{de cette matrice est} par définition celle dont les éléments sont les

primitives

des fonctions On définira de même la matrice

« moyenne » d’une matrice par la relation :

C.

Étant

donné un ensemble de fonction

fk(xk’

^de

variables

aléatoires xk indépendantes,

^la Théorie des Probabilités nous

apprend

^{que :}

D. Si A et B sont deux matrices

semblables,

^c’est-à-

dire s’il existe une matrice

Q régulière

^telle que B ⁼

Q-1 AQ,

^{il est bien connu} que :

a)

^{Tr B = Tr A = en}

désignant par Pi

^les

valeurs propres de la matrice

A;

Manuscrit reçu le 23

juillet

^1966.

228

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