Extra tion de la singularité du noyau

Introdu tion

Le omportement de ristaux photoniques fortement ontrastés a été étudié

théori-quement dans deux situations diérentes, dans les hapitres 3 et 4. La théorie de

l'ho-mogénéisation, onjuguée à une étude des mi ro-résonan es, a permis d'identier des

tenseurs de permittivité et de perméabilité ee tifs dépendant de la fréquen e

ω

. Les phénomènes de hangements de signes, mis en éviden e sur la partie réelle des valeurs

propres de es tenseurs, ont des onséquen es importantes en physique. Pour que es

phénomènessoientobservésdans lapratique,ilest ru ialde onnaîtrede façonpré ise,

lesintervallesdefréquen esoùlestenseurs

εeff

et

µeff

présentent espropriétésexotiques.

L'objetde e hapitre est de mettreen ÷uvre une méthode d'approximationnumérique

tridimensionnelle qui pourra être testée sur des exemples types de géométries.

Ce hapitreest organiséen quatre se tions.

Nous ommençons par présenter une méthode générale de type Galerkin permettant

d'appro her les valeurs et ve teurs propres d'un opérateur ompa t, auto-adjoint et

stri tement positif.

Dans la se onde se tion, nous mettrons en oeuvre ette méthode an d'appro her le

spe trede l'opérateur

R

etdedéduirel'approximationdutenseur depermittivitéee tif

εeff

Dans latroisièmese tion,nous appro herons lespe tre de l'opérateur

A

. La dis réti-sationde

Z0 :={f ∈ L2(Σ; C3) , div f = 0 , f· n = 0

sur

∂Σ}

seraobtenue àl'aidedes éléments d'arêtes de Nédele pour lesquels nous démontrerons un résultatde densité.

Il en résultera l'approximationdes omposantes du tenseur

µeff

.

Pour nir,nous donneronsune formulationexpli ite etimplémentabledes opérateurs

dis rétisés résultant de la méthode d'approximation spe trale.

1 Méthode de Galerkin pour l'approximation

spe trale

Introduisons quelques notations.

On onsidère

X

un espa e de Hilbert omplexe muni du produit s alaire noté

h·, ·iX

et

B

et

(Bh)h>0

des opérateurs linéaires ompa ts auto-adjoints de

X

dans

X

.

Notons

L(X)

l'ensembledesfon tionslinéaires ontinues de

X

dans

X

etintroduisons

k · kh

lasemi-norme de

L(X)

dénie par

kCkh := sup

x∈Xh

kxkX=1

kCxkX ∀ C ∈ L(X) .

On onsidère

λ1 > λ2 >· · · > λn >· · · ≥ 0

les valeurs propres de l'opérateur

B

et

Vλn

le sous-espa epropre asso iéà

λn {n ∈ N}

.De même,onnotera

λ1

h > λ2

h >· · · >

λN

h > 0

les valeurs propresde

Bh

et

Vn

λn

h

le sous-espa e propreasso ié à

λn

h

.

À un espa e ve toriel

V ⊂ X

, on asso ie

PV

le proje teur orthogonal de

X

dans

V

. De plus, onintroduitla distan e

d(u, V ) = inf

v∈V ku − vkX .

On onsidère lesdeux onditions suivantes

kBhx− BxkX → 0 ∀x ∈ X ,

(6.1)

{Bh− B}

uniformément ompa t , (6.2)

(voir dénition 2.25 pour l'uniforme ompa ité).

Théorème 6.1 On suppose que les onditions(6.1) et (6.2) sont satisfaites.

Alors, pour tout

λ

valeur propre de

B

de multipli ité

m ∈ N

, il existe des valeurs propres

(λn

h)_n∈Iλ

de

Bh

(

Iλ ⊂ N

) telles que leur multipli ité totale soit exa tement

m

et que

lim

η→0λⁿ_h = λ ∀ n ∈ Ih .

(6.3) De plus en notant

Wh

Iλ :=⊕n∈IλVλn

h

, on a

lim

η→0kPWh

Iλx− PVλxkX = 0 ∀x ∈ X .

(6.4)

2

Introduisons

(Xh)h>0

une suite de sous-espa es ve toriels de

X

de dimension

ph ∈ N

nie.

Proposition 6.2 On suppose quela suite d'espa es

(Xh)h

vérie l'hypothèse suivante

∀ x ∈ X, lim

h→0d(x, Xh) = 0 .

(6.5)

On dénit pour

B

ompa t auto-adjoint, l'opérateur

Bh

donné par

Bh := PhB Ph .

(6.6)

Alors, lafamille

{Bh− B}

est uniformément ompa te. Preuve.

L'opérateur

B

étant ompa t,ilsutdemontrerquelafamille

{Bn}

estuniformément ompa te. Montrons alors que

∪hBh(BX)

est relativement ompa t dans

X

(

BX

est la boule unitéde

X

).

Soit

(xk)k ⊂ ∪hBh(BX)

. On peut supposer, sans perte de généralités, que pour tout

k ∈ N

,

xk ∈ Bhk

où

Bhk

est une sous-suite de

Bh

. En eet, si tel n'était pas le as, alors il existerait

N ∈ N

telque

xk ⊂ ∪N

i=1Bi(BX)

pour tout

k

susamment grand. Or, et ensemble est ompa t en tant que réunion nie de ompa ts, e qui entraîneraitle

résultat attendu.

Montronsquelasuite

(xk)

admetunevaleurd'adhéren e.Pardénition,pourtout

k ∈ N

il existe

y_k ∈ BX

telque

xk = Bhkyk .

Onnotealors

y

unelimitefaibledelasuitebornée

(y_k)_k

(quitteàextraireunesous-suite).

Montrons àprésent que

lim

k→+∞kxk− BykX = 0 .

On apar dénition de

B_h

kxk− BykX =kBhkyk− BykX =kPhkBPhkyk− BykX .

En introduisant le terme

BPhkyk

dans lanorme pré édente, on prouve que

kxk− BykX ≤ k(Phk− Id)BPhkykkX +kBPhkyk− BykX .

(6.7) On sait par hypothèse que l'opérateur

Phk − Id

onverge fortement vers zéro. La dé-monstration onsiste alors àprouver que

lim

On a

kPhkykk ≤ kykk ≤ 1

puisque

yk ∈ BX

. Ainsi, puisque

B

est ompa t, il existe

z ∈ X

telque

kBPhkyk− zk → 0 ,

au moins à une sous-suite près. En ajoutant à ela que

Phkyk ⇀ y

faiblement dans

X

, ondéduit que

z = By

et don (6.8).

L'inégalité (6.7) et la onvergen e forte (6.8) montrent alors que

kxk− BykX → 0

. Ce i prouve que

By

est une valeur d'adhéren e de la suite

(xk)k

e qui termine la démonstration.

2

Formulation expli ite du problème spe tral dis rétisé.

On note

ph := dim(Xh)

etonxe

{ψk

h}^ph

k=1

unebasede

Xh

(àpriorinonorthonormée). On introduit les matri essymétriques

G_h

et

D_h

dont les oe ients sont donnéspar

(Gh)kl :=hBψk

h, ψ^l_hi , (Dh)kl:=hψk

h, ψ^l_hi ∀ (k, l) ∈ {1, .., ph}2 ,

(6.9) ainsi quele problème aux valeurs propres suivant

trouver

(λ, d)∈ R+× Rph

telque

G_hd= λDhd .

(6.10)

Lemme 6.3 Pour tout

h > 0

et

d= (dk)k∈ Rph

, posons

vh :=

ph

X

k=1

d^kψ_h^k .

Alors, on a l'équivalen e suivante

(λ, d)

solution de (6.10)

⇔ Bhvh = λvh .

Preuve. En onsidérant le produit s alaire par les éléments

ψk

hk

formant la base de

X_h

,l'équation

B_hv_h = λv_h

est équivalenteau système d'équations

ph

X

k=1

dkhBhψk

h, ψl

hi = λ

ph

X

k=1

dkhψk

h, ψl

hi , l ∈ {1, . . . , ph} ,

où

dk

est la

k

-ième oordonnée de

vh

dans la base

{ψk

h}

.

D'après ladénition (6.9) des matri es

Gh

et

Dh

, e système n'est autre que(6.10).

2

Remarque 6.4 Enasso iantlesrésultatsdonnésdanslethéorème 6.1etlaproposition

6.2,onobtiendral'approximationdesspe tresdesopérateurs

Q

et

R

donnésdans(4.81) etladénition3.15. Enpratique,nous ee tuerons une dé ompositionen élémentsnis

de leurs domaines quivériera la ondition de densité (6.5).De plus, an de onstruire

expli itementles problèmesauxvaleurspropresappro hés,donnésdans lelemme6.3, il

sera né essaire dans ha un des as, de onstruire une base de l'espa edis rétisé.

On pré iseque esdeux points(dé ompositionen élémentsniset onstru tiond'une

base) seront déli ats dans le as de l'approximation de l'opérateur

A

, en raison de la omplexitéde son domaine

Z0 :={f ∈ L2(Σ) , div f = 0 , f · n = 0

sur

∂Σ}

.

2 Approximation du tenseur

ε

^eff

(ω)

obtenu dans le

hapitre 3

Rappel du tenseur ee tif.

On onsidère

Y := [−1

2,¹₂]3

et

Σ := D × [−l

2,₂^l] ⊂ Y

représentant respe tivement la ellule de base et une in lusion de la stru ture (mise à l'é helle dans la ellule unité).

On note

D±

lesdeux bases du ylindre

Σ

.

L'opérateur

R

asso ieà

w∈ L2(D)

,lafon tion

[φw]∈ L2(D)

oùpour tout

φ ∈ W1,2(Y )

,

[φ]_l(y) := 1

l



φ(y,−l

2)− φ(y, l

2)^

et

φ_w

estl'unique élémentde

W_♯^1,2(Y )

(àune onstante près) vériant la relation

−∆φw = w(δ_D+− δD−)

dans

Y .

D'après lelemme 3.19, l'opérateur

R

est positif, ompa t etauto-adjoint. On onsidère

λ1 > λ2 > · · · > λn > · · · ≥ 0

les valeurs propres de

R

et

Vλn

le sous-espa e propre asso ié à

λn {n ∈ N}

.

Ave es notations, le tenseur diagonal

ε^eff

est donné par

ε^eff₁₁ = ε^eff₂₂ = 1

et

ε^eff₃₃ = 1− l^X

n∈N

1

k2

0

2πγ − λn+ i

κ

kPVλnk² .

(6.11)

Les oe ientss alaires

γ

et

κ

représententrespe tivementla apa itéetla ondu tivité des bres apparaissant dans le problème initial ( f. (3.7), (3.8)) et

k0

est le nombre (

k0 = √ε0µ0ω

).

Dis rétisation dudomaine

D

. Construisonsunespa e

Xh

dedimensionnievériant

(6.5) (ave

X = L2(D)

) à l'aided'une dé omposition en élémentsnis de

L2(D)

. On introduit

Kh

une dis rétisation du domaine

D

formée de re tangles notés

Di

pour

i∈ {1, . . . , ph}

de tés

h_k

dans la dire tion

e_k

. On note

h := sup{h1; h₂}

.

Pour plus de simpli ité, nous hoisissons des fon tions élémentaires onstantes sur

haque élément de la dis rétisation. Ces fon tions, notées

ui

pour

i ∈ {1, .., ph}

, sont

dénies par

ui := ¹

p|Ki|^{1Di ,}

(6.12)

de façonà e que

kuikL2(D) = 1

pour tout

i∈ {1, .., ph}

.Pour allégerlesnotations, nous hoisissonsde ne pas faireapparaître la dépendan e en

h

sur les fon tions élémentaires

u_i

et sur les re tangles

D_i ∈ Kh

. On note de plus

Eh :={ui}^ph

i=1

,

Xh := vect(Eh)

et

Ph

laproje tion orthogonalede

L2(D)

dans

X_h

.

Lemme 6.5 Pour tout

u∈ L2(D)

, on a

lim

Labase

{ui}^ph

i=1

étant orthonormée,on apour tout

u∈ L2(D)

Phu =

ph

X

k=1

hui, uiui=

ph

X

i=1



−

Z

Di

u



1Di .

Si

u∈ W1,2(D)

, on on lut aisément àl'aide de l'inégalitéde Poin aré (2.7) que

ku − Phuk²L2(D) =

Z

D











u−

ph

X

i=1



−

Z

Di

u



1Di











2

≤ Ch²k∇uk²L2(D) .

On étend la onvergen e à tout

L2(D)

par densité.

2

Ena ord ave ladénition (6.6), onintroduit l'opérateur

Rh

donnépar

Rh := PhR Ph ,

quiestnaturellementpositif, ompa tetauto-adjoint.Notons

λ1

h > λ2

h >· · · > λN

h > 0

ses valeurspropres et

Vh

λn

h

le sous-espa e propreasso ié.

Pour tout

n ∈ N

,on dénit

In :={k ∈ N , λk

h → λn}

et

in

un entier xé dans

In

.

On note

WIn

l'espa eve toriel donnépar

WIn :=⊕k∈InV_λ^hk

h .

Remarque 6.6 La dénition de l'ensemble d'indi es

In

prend du sens en raison du

théorème 6.1(appli able i i)qui prouveque

In 6= ∅

pour tout

n∈ N

etque

∪nIn = N

. On introduit enn les alaire

ε^p_h

, donné pour tout

p∈ N

,par

ε^p_h := 1−

p

X

n=1

1

k2

0

2πγ − λin

h + _κⁱkPWh

In(1)k2

L2

(D) .

(6.14)

I i

PWIn

désignele proje teur orthogonal sur

WIn

.

Théorème 6.7 Ave les notations pré édentes, le tenseur

ε^eff

donné en (3.50)vérie

ε^eff₁₁ = εeff

22 = 1

et

ε^eff₃₃ = lim

p→+∞lim

h→0ε^p_h .

(6.15)

Preuve.

On introduit, pour tout

p∈ N

leréel

εp

, dénipar

ε^p := 1−

p

X

n=1

1

k2

0

2πγ − λn+ i

κ

kPVλn(1)k2 .

Par dénition, on a que

lim_p→∞εp = εeff

33

. D'autre part, la onvergen e (6.13) entraîne que la famille d'espa es ve toriels

Xh

vérie la ondition de densité (6.5). Il en résulte, d'aprèsla proposition6.2, que

{Bh− B}

est une familleuniformément ompa te. Ainsi, le théorème 6.1nous donne pour tout

n∈ {1, . . . , p}

la onvergen e

lim

h→0kPWh

Inw− PVλnwkL2(D) = 0 ∀w ∈ L2(D) .

Il sut alors de prendre

w = 1

pour on lure que

lim_h→0ε^p_h = εp

et ainsi terminer la

démonstration.

2

Le théorème 6.7 et la formule (6.14) nous donnent nalement une pro édure

d'ap-proximation du tenseur de permittivité ee tif. Pour que elle- i puisse être utilisable

en pratique,il est indispensableque les termesde lamatri ede terme général

(M_h)_ij =hRui, u_ji

(6.16)

puissentêtre al ulésrapidement( f.lemme6.3).Nousmontreronsdanslase tion4de e

hapitre, qu'il est possible d'exprimer l'opérateur

R

de manière intégrale en exploitant

le noyau de Green de l'opérateur

−∆

ave onditions périodiques. Cette formulation

e a e permettra la onstru tion,dans un tempsraisonnable, de la matri e

Mh

.

3 Approximation du tenseur

µ

^eff

(ω)

obtenu dans le

hapitre 4

Dans ettese tion,nousallonsappro her numériquementlespe trede l'opérateur

A

, dénit dans (4.81), qui ara térise le tenseur de perméabilité ee tif

µ^eff

.

La se tion est organisée en trois parties.

Nous ommen erons par onstruire une famille d'espa es ve toriels

Zh

voués à

ap-pro her

Z0

, le domaine de l'opérateur

A

. Cha un de es espa es

Zh

sera engendré par les éléments d'arêtes de Nédéle asso iés à un maillage en pavé de

Σ

. Nous donnerons également un moyen de selimiter àune familleformant une base de

Zh

.

Dansune se onde partie, nousdémontreronsque et espa e

Zh

vérie la onditionde densité (6.5).

Dans ladernière partie,nous appro herons expli itement laperméabilité

µeff

.

3.1 Éléments d'arêtes de Nédéle

On rappelleque l'espa e

Z0

est déni par

Z0 :=f ∈ L2(Σ) , div f = 0 , f · n = 0

sur

∂Σ

.

Galerkin simple puisque nous avons besoin de fon tions à divergen e nulle. Nous allons

utiliser une dé omposition en pavés du domaine

Σ

et onsidérer les éléments d'arêtes asso iés. Ces fon tions sont à divergen e nulle et ont été introduites par Nédéle dans

[36℄.Pourdes raisonsdesimpli ité,nousallons onsidérerlesélémentsd'arêteslesmoins

régulierspossible: 'est-à-direanessur haquepavédeladis rétisation.Leurdénition

expli iteest donnée en (6.17)etné essite lesnotations suivantes liées àladis rétisation

de

Σ

.

Maillagedel'in lusion

Σ

. Ondis rétise

Σ

enpavéségauxde tés

h_i

dansladire tion

ei

(

i ∈ {1, 2, 3}

). On note

K

l'ensemble de tous les pavés de ette dis rétisation,

F

l'ensemble de leurs fa es non in luses dans

∂Σ

et

A

l'ensemble des arêtes des pavés de

K

non in luses dans

∂Σ

. Ainsi,

K

,

F

et

A

sont des sous-ensembles de

P(R3)

et nous onsidérons leurs élémentsfermés dans

R³

.

On introduit

h := sup_i{hi}

la taille ara téristique des pavés,

p = p(h)

le nombre d'arêtes de

A

et

|K| := h1h2h3

le volumede haque pavé de

K

.

Dénition 6.8 On adopte les notations suivantes où

a ∈ A

est xé. On pourra se

reporterà lagure 6.1 pour une représentation graphique.

• (Ka

i)4

i=1∈ K

sontles quatre pavés qui ontiennent l'arête

a

. On notede plus

Ka

0 :=

K₄^a

et on suppose qu'ils sont disposés autour de l'arête

a

de façon à e que pour

i∈ {0, . . . , 3}

,

Ka

i

et

Ka

i+1

aient une fa e en ommun.

• Fa

i ∈ F

est lafa e ommune à

Ka

i

et

Ka

i+1

pour

i∈ {0, . . . , 3}

.

• na

i ∈ R3

est le ve teur unitaire normal à

Fa

i

orienté de

Ka

i

vers

Ka

i+1

pour

i ∈

{0, . . . , 3}

.

• ha

i > 0

est lataille d'un pavé de

K

dans la dire tion

na

i

.

Dénition et propriétés générales des éléments d'arêtes.

Dénition 6.9 Pourtout

a∈ A

et

x_a∈ a

xé, l'élément d'arête

ψ^a

est déni par

ψ^a(x) = ¹

|K|

4

X

i=1

"



(x− x^a)· n^ai + h^a_i



n^a_i

−



(x− x^a)· n^a_i−1− h^a_i−1



n^a_i−1

#

1_Ka

i(x) ,

(6.17)

ave les onventions d'é riture

n^a₀ := na

4

et

ha

0 := ha

4

.

Il est fa ile de voir que le hamp

ψ^a

est onstant dans la dire tion de l'arête (dans

∪iKa

i

)et est orthogonal à ladire tionde

a

. On lereprésente dans lagure 6.2.

Remarque 6.10 Pour tout

a∈ A

, lafon tion

ψ^a

vérie les propriétés suivantes (i)

ψ^a

est ane sur tous les pavés de la dis rétisation

K

.

n

^a₄

K

₃^a

a

n

^a₃

K

₄^a

K

₂^a

K

₁^a

n

^a₁

n

^a₂

Figure 6.1: Convention du sens des

nor-males aux fa esdes pavés.

Figure6.2: Représentation graphique

d'unélémentd'arête

ψa

dans

les quatre pavés

{Ka

i}4

i=1

.

(ii)

ψ^a

a son support dans l'union des quatre éléments de

K

ontenant l'arête

a

. (iii) Pour tout

a∈ A

,

F ∈ F

et

n_F

un ve teur normal à la fa e

F

, on a

ψ^a· nF 1_F 6= 0 ⇔ a⊂ F .

(iv)

divψ^a= 0

dans

Y

et

ψ^a.n = 0

sur

∂Σ

(i.e.

ψa∈ Z0

). (v)

∀i ∈ {1, . . . , 4}

,

ψ^a· n^ai = ¹

|Fa

i |

dans

Fa

i

.

On note

EC

lafamilledonnée pour tout

C ⊂ A

par

EC :={ψ^a : a∈ C} .

(6.18) Nous sommes alors en mesure de dénir le sous-espa e ve toriel qui va appro her

Z0

. On lenote

Zh

et ilest dénipar

Zh := vect(EA) .

(6.19) On note de plus

P_h

laproje tion orthogonalede

Z0

sur

Zh

(orthogonalepar rapportau produit s alaire de

L2(Σ; R3)

).

Lemme 6.11 On xe une fon tion

f_h ∈ Zh

. Alors, pour tout

K ∈ K

en notant

Fi

et

F_i+3

les deux fa es de

K

orthogonales à

e_i

, on a que

f_h

est ane dans

K

et vérie

∂

∂xj

f_h· ei = 0 , ∀ j 6= i

dans

K ,

(6.20)

∂

∂xi

f_h· ei=±¹

hi



−

Z

Fi+3

f_h(x)· eidσ(x)− −

Z

Fi

f_h(x)· eidσ(x)



dans

K .

(6.21)

En parti ulier, si

f_h ∈ Zh

vérie

Z

F

f_h· nF = 0 , ∀ F ∈ F ,

(6.22) où

nF

est un ve teur normal

F ∈ F

, alors

f_h

est identiquement nul dans

Σ

.

Preuve. L'égalité(6.20) est une onséquen e immédiatede ladénition 6.17 de

ψ^a

. L'égalité (6.21) résulte dire tement du fait que

f_h · ei

est ane dans

K

et vaut la onstante

±fh· ei

sur ha une des fa es

Fi

et

Fi+3

.

Ladernière propriété est alors une onséquen e immédiatede (6.20)et (6.21).

2

Base de l'espa e d'approximation

Zh

.

Comme nous l'avons souligné dans la remarque 6.4, le al ul des valeurs et ve teurs

propres des opérateurs dis rétisés sera ee tué, en pratique, sur les matri es dénies

dans (6.9) àl'aide d'une base de l'espa e

Zh

.Le résultatsuivant indique que ette base n'est pas triviale.

Proposition 6.12 La famille

EA:={ψ^a : a∈ A}

n'est pas libre dans l'espa e

V_h

. Preuve.

On onsidèresixarêtes

{ak}6

k=1

diérentesdeux àdeux etayantunpointen ommun. Nousallonsmontrerquelafamille

E{ak}

n'estpaslibre: 'est-à-direqu'ilexiste

(αk)6

k=1 ∈

R⁶

non tous nuls telque

6

X

k=1

αkψ^ak = 0 .

(6.23)

Grâ e audernierpointdu lemme6.11, l'équation pré édente est obtenue dès lors que

6

X

k=1

α_kψ^ak(x)

!

· nF = 0 , ∀ F ∈ F, x ∈ F .

(6.24)

La omposantenormaledes élémentsd'arêtes

ψ^a

pour

a ∈ A

est onstante sur lesfa es de

F

d'aprèslepoint

(v)

delaremarque6.10( onstantenullelorsque

a6⊂ F

).Commeon lefaitapparaîtredanslagure6.3,ilest possiblede hoisirlesensde rotationde ha un

des hamps

ψ^ak

desorteque lesuxnormauxàtravers haquefa ese ompensentdeux

à deux (on utilise i i à nouveau la propriété

(v)

de la remarque 6.10). Ainsi, il existe

(α_k)6

k=1 ∈ R6

vériant (6.24) ave pour

k∈ {1, .., 6}

,

α_k =±1

.

(d) (e) (f)

Figure 6.3: Ons'intéresseauxsixfon tionsélémentaires

(ψak)6

k=1

pour desarêtes

(a_k)

ayant unpointen ommun.Cha undess hémas estasso iéàune fon tion

α_kψak

ave

α_k =±1

.Onreprésenteen grislesquatrefa es

F^ak

i

où leuxnormal de

ψ^ak

est

nonnuletonrepèrepar unve teur lesensde rotationde lafon tion

α_kψ^ak

que

l'on a hoisi. Ainsi, parmi les sixs hémas, ha une des fa es apparaît deux fois

etlesve teursasso iéssont opposés.La sommede essixfon tionsvadon être

à uxnormalnulsur ha une desfa es.

Base de

Zh

. En pratique,le al uldes valeurs etve teurs propres de

A_h

passe par la résolution du problème aux valeurs propres (6.10) formulédans

R^ph

. Il est don ru ial

de pouvoir onstruire lesmatri es

Gh

et

Dh

(données en 6.9) etdon un sous-ensemble

A0 ∈ A

telque

EA0

soit une base de

Zh

.

D'après les arguments donnés dans la démonstration de la proposition 6.12, il est

né essaire d'éviterle as où six arêtes ontun point ommun. Pour ela, on onsidère la

familleformée des arêteshorizontales

A1∪ A2

ave

Ai :={a ∈ A , a k ei}

.Il s'avère en fait que

EA1∪A2

n'est pas une famillegénératri e de

Z_h

.Nous dé rivons dansla suiteles arêtes de

A3

qu'ilfaut ajouter à

A1∪ A2

pour ompléter lafamille.

On onsidère pour

a∈ A

,l'ensemble

Sa

déni par

S^a:= D(a)∩ Σ ,

(6.25)

où

D(a)

est la droite de

R³

ontenant l'arête

a

. Ainsi,

Sa

ontient les arêtes de

A

alignées ave

a

.Cetensembleest unsegmentsi

Σ

est onvexe,etpeutêtreune réunion de segments dans le as ontraire ( f gure 6.4).

L'idée, pour onstruire la famille

A0

est d'ajouter à

A1∪ A2

une unique arête de

A3

Figure 6.4: Diéren es entre lesarêtes ontenues dans

A

et

A0

ela

Ca(Sa)⊂ R3

,la omposante onnexede

Sa

ontenant

a

eton onsidère

U ⊂ P(R3)

l'ensembledonné par

U :={Ca(S^a) | a ∈ A3}.

(6.26) En d'autres termes, l'ensemble

U

est formé des segments parallèles à

e₃

, de longueur maximaledans

Σ

et ontenant au moinsune arête de

A3

. On note

n0

lenombre de es segments eton xe

{ak , k = 1, . . . , n0} ⊂ A3

telque

U = {Cak(S^ak) , k = 1, .., n0} .

De ette façon, ha undes éléments de

U

est un segment qui ontientune uniquearête

ak ∈ A3

.

Dénition 6.13 On dénit

A0 ⊂ A

par

A0 :=A1∪ A2∪

n0

[

k=1

{ak}

!

.

(6.27)

On note que la dépendan e de

A0

en terme du hoix des arêtes

ak ∈ A3

ne va pas

avoird'inuen e sur lesrésultats quisuivent.Dans lapratique, ilsseront hoisis leplus

simplementpossible, souvent en onta t ave lebord de

Σ

.

Théorème 6.14 La famille

Eh = EA0 = {ψa | a ∈ A0}

forme une base de

Vh

(non-orthogonale).

Preuve.

Montrons que la famille

Eh

est génératri e.

On xe

b 6∈ A0

et ondoit montrer que

b∈ vect(EA0)

. On est assuré, par dénition de

A0

, que

b∈ A3

etqu'ilexiste une unique arête

a∈ A0∩ A3

telle que

b∈ Ca(Sa)

. Ainsi, lesarêtes

a

et

b

sont alignées etl'ensemble

co(a, b)

(enveloppe onvexe de

a∪ b

) est un segment de dire tion

e₃

in lus dans

Σ

. Il est re ouvert par les arêtes de

A3

et il existe don

n∈ N

et

(ak)n

k=1 ∈ A3

tels que

co(a, b) =

n

[

k=0

ak .

On suppose de plus que

a0 := a , an= b

et

ak

\

ak+1 6= ∅ ∀ k ∈ {0, . . . , n − 1} .

Nous allons terminer la preuve en montrant par ré urren e la propriété suivante pour

tout

k ∈ {1, . . . , n}

:

On a

a0 := a∈ A0

quientraînequelarelation(6.28)est vériéepour

k = 0

.Onsuppose à présent qu'elle est vraiepour

k

xé dans

{0, . . . , n − 1}

.

On se trouve i i dans le même adre que elui de la démonstrationde la proposition

6.12. En eet, puisque toutes les arêtes de dire tions

e₁

et

e₂

sont éléments de

A0

, on est assuré de l'existen e de

(bl)4

l=1 ∈ A0

telle que les six arêtes formant l'ensemble

L := {ak, ak+1, b1, . . . , b4}

soient diérentes et partagent un point ommun. D'après l'argument présentédans lagure 6.3, lafamille

EL

est liée. Plus pré isément,on a

vect(EL) = vect(E{ak,b1,...,b4}) .

Or, on aque

vect(E{ak,b1,...,b4}) ⊂ vect(EA0)

(puisque

bl ∈ A0

pour tout

l ∈ {1, . . . , 4}

et

ψ^ak ∈ vect(EA0)

) et ainsi ondéduit

ψ^ak+1 ∈ vect(EA0)

. Montrons quela famille

EA0

est libre.

Fixons

(βa)_a∈A0 ⊂ R

une famillede réels vériant

X

a∈A0

β_aψ^a= 0

dans

Σ

(6.29)

et montronsque l'on a né essairement

βa= 0

pour tout

a∈ A0

.

Pour fa iliter la démonstration, nous nous plaçons dans le as où le domaine

Σ

est un ylindre dans la dire tion

e₃

dont les bases sont notées

D±

. On suppose de plus que

toutes les arêtesde

A0∩ A3

tou hent labase

D−

.

On peut voir les arêtes de

A0\ A3

ommeune multitudede grilles disposées les unes

au-dessus des autres. Nousallons utiliserun raisonnement itératifpour prouver queles

oe ients

βa

sont tous nuls. Notre raisonnement va onstruire une suite d'ensembles

Ck⊂ A0

formés des arêtesde

A0

pourlesquellesil resteàmontrerqueles oe ients

β_a

asso iés sont nuls. On fait naturellementl'initialisation

C0 :=A0

et ilfaut montrer que

Ck=∅

pour

k ∈ N

assez grand.

ˆ Lorsque

Ck \ A3 6= ∅

, on onsidère l'ensemble noté

G

onstitué des arêtes de

Ck

formant la grille la plus éloignée de

D−

. Quelque soit

a ∈ G

xé, il existe une fa e de

F

ren ontrant

a

qui ne ren ontre au une autre arête de

G

(on utilise i i l'hypothèse selon laquelle les arêtesde

A3

tou hent

D−

). Autrementdit, en reprenantles notations

données dans ladénition 6.8, ilexiste

i∈ {0, .., 3}

tel que

F_i^a∩ ^[

a∈G

a = a .

(6.30)

Cette relationajoutée aupoint (iii)de lapropriété 6.10 nous permet de dire que

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