Construction de bases normales pour les extensions galoisiennes absolues à groupe de Galois quaternionien d’ordre $12$

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

J

EAN

C

OUGNARD

J

ACQUES

Q

UEYRUT

Construction de bases normales pour les

extensions galoisiennes absolues à groupe de

Galois quaternionien d’ordre 12

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

14, n

o

_{1 (2002),}

p. 87-102

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_2002__14_1_87_0>

© Université Bordeaux 1, 2002, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/) implique l’accord avec les condi-tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute uti-lisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-nir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

Construction de bases normales

_pour

les

extensions

_galoisiennes

absolues à

_groupe

de

Galois

_{quaternionien}

d’ordre

12

par JEAN COUGNARD et

JACQUES

QUEYRUT

RÉSUMÉ. On donne une caractérisation

simple

pour l’existence

des bases normales pour les extensions modérément ramifiées à groupe de Galois

quaternionien

d’ordre 12. La preuve conduit à

un

_algorithme

_que l’on illustre _par un

_exemple.

ABSTRACT. We

_give

an _easy caracterisation for the existence of

normal

_integral

bases for tame

_{quaternionian}

extensions of

_degree

12 of the rationals. The

_{proof gives}

an

algorithm.

Soit G le _groupe

_{quaternionien}

d’ordre

_12,

on s’intéresse aux extensions

galoisiennes

de

_Q,

_{modérément ramifiées de groupe de Galois G. Ce travail}

reprend

et

_complète

celui de J.

_Queyrut

paru en 1973

[Q].

Soit une

telle

_extension,

son anneau des entiers

ON

est un

Z~~G~-module

projectif de

rang un, étendu à un ordre maximal M de

U[G]

contenant

_{7L G,}

il est

M-stablement libre

_{F 1,}

le noyau de l’extension des scalaires de

Cl (Z [G] )

dans contient deux éléments

_[F2].

À

_{chaque caractère 0}

de G on associe

A(s,4»,

la fonction L d’Artin

_{étendue ;}

la classe de

_ON

est déterminée par la valeur de la constante de

l’équation

fonctionnelle de

où 0

est

_l’unique

caractère

_symplectique

de G. Le

_Z[G]-module

_0~

est

stablement libre si et seulement si

_{W(e) =}

+1

_[F2].

On sait _que les

Z[G]-module stablement-libres sont libres

_[S],

on en déduit l’existence d’une base

normale. On se _propose, comme dans

[Q],

de

reprendre

la méthode de

Martinet

_[M2]

et de la pousser

jusqu’à

une construction

_explicite

de la base

normale.

Remarques.

La construction

_peut

_{s’appliquer}

au cas des extensions

qua-ternioniennes modérées de

_degré

20 pour

lesquelles

les modules stablement libres sont libres

_[S]

ainsi

_qu’à

celles de

_degré

16

_puisque

l’on sait construire

une base normale _pour les extensions modérément ramifiées

de Q

à _groupe

de Galois

D4

[C] (leur

existence est assurée dans ce dernier cas en

appliquant

conjointement

les résultats de

_[F3]

et

_[S]).

La même méthode

_permet

de construire la base normale des entiers d’une extension modérée

_{de Q}

dont le _groupe de Galois est

_D3

x

C2.

1. _{Le groupe} G et ses

représentations

Le _groupe G est le

_produit

_{semi-direct d’un groupe}

_cyclique

d’ordre 3 et d’un _groupe

_cyclique

d’ordre

_4,

avec un centre d’ordre 2. Il admet la

présentation

suivante :

Le centre de G est

_engendré

_par son _corps

Nl

des invariants est une

extension à groupe

G/

T2

&#x3E; cr5

_S3

diédral d’ordre 6. Cette extension étant modérément

_ramifiée,

_ON,

est

_Z[53]-libre

_{de rang} un

[Ml].

_L’unique

sous-groupe d’ordre 3 de G est

_engendré

par

u2

et le groupe

quotient

G/

~2

&#x3E;

est

_cyclique

d’ordre

_4,

on note E le _corps

_qu’il

laisse invariant et

_El

son

sous-corps

quadratique

(El

est réel

_puisque

_plongeable

dans une extension

cyclique

de

_degré

_4).

Le choix de T comme élément d’ordre 4 détermine une extension

_{cubique K}

de clôture

_galoisienne

_Nl.

On se _propose de démontrer :

Théorème.

ON

admet une base normales si et seulement si :

Remarque.

Le critère montre que l’existence de la base normale tient aux

propriétés

de ramification dans et est

_indépendant

du

_plongement

de l’extension de

_degré

6 dans l’extension

_{quaternionienne.}

On connaît les

_{représentations}

de

_G,

d’abord celles

_qui

sont relevées de

ses

_{quotients :}

Les

_{représentations}

de

_degré

un :

associées à des facteurs

_simples

de

_l’algèbre

_{Q[G] isomorphes à Q ;}

et sa

conjuguée correspondant

au facteur

simple

de

Q[G]

isomorphe

à

Q[i] ;

la

_{représentation}

de

_degré

2 _{du groupe}

_{s3 :}

Il reste la

_{représentation}

fidèle de

_degré

2 donnée _{par :}

où

₍

est une racine

_primitive

6-ème de

l’unité,

de caractère

1/;.

Elle vient

de ce _que le _groupe

_{multiplicatif}

des

_quaternions

de Hamilton

(H(R)

=

de base avec les

multiplications

i2

= j 2

= -1,

i j = - j z

=

k)

contient un _sous-groupe

isomorphe

à G : on _{pose w}

= 2

, on a

w3 = -1,

=

w-1.

On déduit un

morphisme

d’algèbre

de dans

dont

_l’image

est la

_{sous-algèbre}

de de dimension 4

_{sur Q}

de base

1, i,

w, wi en

_envoyant

sur w et T sur i. On

_peut

calculer le discriminant de

l’image

de Z[G]

dans cette

_algèbre

à

_partir

des traces réduites des éléments

etel de cette

base,

on obtient :

Le nombre de

_places

ramifiées dans

_l’algèbre

est

_pair

_(loi

de

_{réciprocité}

de

Hasse)

et est strictement

_positif

_(la

_complétion

à l’infini donne les

quater-nions

_{usuels), l’algèbre}

ainsi construite est le _corps de

_quaternions

ramifié à l’infini et en 3 :

_{Q(-i~-3) ;}

c’est le facteur

_simple

de

_Q[G]

associé à

_4&#x3E;.

L’image

_{A~_1 _3~}

de

_Z[G]

dans ce _corps est un ordre maximal

(son

discrim-inant est

_égal

à celui de

_{l’algèbre).}

On sait

_[V]

que tous les modules sans

torsion sur cet ordre sont libres. Pour un

quaternion

a + bi + cca +

_dwi,

sa

trace réduite et sa norme réduite sont données _{par :}

Les

_{représentations}

ci-dessus nous donnent des

algèbres simples

fac-teurs directs de

_l’algèbre

_Q[G].

La

_comparaison

des dimensions prouve

2.

_{R,amification,}

discriminants

On utilise la formule de Hasse

_exprimant

le discriminant comme

produit

de conducteurs. Pour chacune des

_extensions,

cette formule nous donne :

Les

_propriétés

de ramification

_peuvent

se déduire de

[Ml]

(chapitre VI)

et

des

_propriétés

_générales

de la ramification

_([Se]

Ch.

_{IV). L’hypothèse}

de ramification modérée et les formules donnant le conducteur d’Artin d’une

représentation

induite

_{( ~Se~}

Ch.

_VI)

conduisent aux formules suivantes _pour

les conducteurs :

Puisque

l’extension est modérément

_ramifiée,

2 n’est _pas ramifié dans

_E/Q

et 3 ne l’est _pas dans

N/E (ni

dans

Nl/El),

_par contre 2

_peut

être rami-fié dans

_(cf.

_[M-P])

et 3 l’être dans

_{E/El (mais}

pas dans

Ei /Q

plongeable

dans une extension

cyclique

de

degré 4).

Soit

_L/M/Q

une tour de corps de nombres

L/Q

et

_L/M

_{galoisisiennes}

(Gal(L/Q)

= r et

Gal(L/M)

=

H),

L/M

cyclique

modérément ramifiée

de

_degré

_premier

_{p ;} on note s un

générateur

de

Gal(L/M).

On note G un

Z[r]-module

projectif

inclus dans

_L,

Jvl =

,CH

_et T la _trace dans

L/M,

_on

a

T(G) _

,M,

(1 -

Lemme 1. La suite :

où T se déduit de la trace est exacte.

Démonstration. La trace T est une

_surjection

de ,C sur

,NI,

soit _y = _{pu E}

c - u E =

( 1-

s)£,

soit c = z + u. L’intersection de

_{( 1-}

et

M est

_égale

à

_{01.

D

On en déduit une relation entre les discriminants de ces

modules,

rela-tivement à la forme trace T =

Comme M C

_M,

on a une forme trace T’ liée à la trace dans

_M/Q

et =

AT’

{,il~l )

qui

transforme la formule

précédente

en :

On

_applique

ceci dans diverses situations. Tout d’abord dans

_N/N1

où l’on

a une

propriété supplémentaire

due au

degré.

En effet si _{x, y}

xy E

ONl

et

_TN/Q(xy)

=

2TNl/Q(XY)

ce

_qui

donne :

et de la même manière dans

_E/El

où l’on obtient :

On sait _que

_OE

_possède

une base normale

engendrée

_par un élément _v,

défini à

_conjugaison

et à

_{multiplication}

_{par -1}

_près.

On sait alors que

(1 -

est un libre de base a = _{v - et} de Z base

{a, T(OE)1.

On calcule

_égal

à : 1

ce

_qui

_compte-tenu

de

TZ (a) _

-a donne :

qui

implique

f (0,)

=

Proposition

1. On a

_{t’égalzté}

TEl/Q(a2)

= _E = +1

(resp.

-1) si

N est réel

_(resp.

_complexe).

Démonstration. Pour la valeur

_absolue,

il suffit de _comparer les deux

expressions

du discriminant de

_E/Q,

_pour le

_signe

_El

est réelle et E =

El

a2

=

El

T ~a2 )

montre

_{que a2}

et son

_conjugué

sont de même

signe, négatif

si et seulement si E est

_complexe.

0

3. Première réduction Le

_diagramme

suivant :

- .... - . , ,

-est

_commutatif,

les

_applications

sont des

_morphismes

de

_Z[G]-modules

car

7’2est

dans le centre de G. Le noyau

(1 -

de

l’application

trace

(surjective,

de

_{_0~}

dans

_ONt)

est un module sur

_l’algèbre

!1= ~ ~G~ / ( 1 +~2 ),

cette

_algèbre

est

_isomorphe

à

_l’image

de

_Z[G]

dans 0153

_Q(-i~-3).

Il en

résulte _que

_ONION,

est

_isomorphe

à +

T2 )

_ON,

c’est un

A-module

_projectif.

Si

_ON

admet une base

normale,

le A-module

ON/ONt

est libre et

ONl

=

( 1

+ T2 ) ON

est libre sur

Z[53] ri

7~ ~GJ / ( 1-

T2 ),

montrons _que la

_réciproque

est vérifiée.

Proposition

2.

_ON

admet une base normale si et seulement si le A-module

et le

_ON,

sont libres.

Démonstration. Il ne _{reste que} la

réciproque

à établir. Pour

cela,

on se

base sur les

produits

fibrés :

Si le

_morphisme

d’anneaux

_7G~S3~

-&#x3E; vérifie les conditions de

Milnor

_[M]

_(i.e.

si le

_morphisme

de _groupes de

_7G~S3~*

dans

_{Z/2Z[?3]* qui}

s’en déduit est

_surjectif)

alors

_ON

est c’est ce

qu’on

établit dans

le lemme suivant.

Lemme 2. Le

_morphisme

de _groupes de

_7G(S3~*

dans

_7G/27G~S3~*

déduit de la réduction modulo 2 est

_surjectif.

Démonstration du lemme : Dans

_l’algèbre

_M2(Q),

le

facteur Q ED Q

est

_isomorphe

à

_Q[C2

_{] (C2,}

_groupe

_cyclique

d’ordre

₂₎

et est

égal

à comme

l’idempotent

central

1+ 3 a2

est inversible dans

7G/27G~S3~,

on en déduit _que

Z /22[53] £i

Z/2Z[C2] C M2(F2)

et donc :

qui

est d’ordre 12.

_L’image

de

_~3,

_engendrée

par les

images

de 0",

égale

à

_{(à, ( ] j )),}

et de _T,

_égale

à

_{(7, ( ~ Õ»}

est

_isomorphe

à

_83.

Par

_ailleurs,

dans la

_{décomposition}

de c’est un élément d’ordre 2 donc il

appar-tient à

_{Z [S3] *,}

son

_image

dans

L/27C2*

®Gl2(IEZ)

est

_égale

à

_{(7, (}

_{10 »}

_qui

n’appartient

pas à

l’image

de

S3,

on en déduit bien la

surjectivité

voulue.

Ceci termine le démonstration du lemme et celle de la

_proposition.

D

Remarque.

Si

01

est une base normale de

_ON,

et 0’

une A-base de

(1 -

il existe une unité 6 de

Z[S,3]

(qui

appartient

soit à

S3,

soit à

(o - 02 + T(1

+ o -

o2))S3)

telle _que

E81- 9’

= 0 mod

(20N)

et

_{0’) /2}

est une base normale de

ON.

Corollaire 1. Le

_Z[G]-module

_ON

_possède

une base normale si et seule-ment si

_(1-

_T2)ON

est un A-module libre.

Démonstratzon. On sait que

ON,

est

lorsque

est

modéré-ment ramifiée

_[Ml].

D

4. Réduction pour l’étude de

(1-

T2)ON

Les

_{représentations}

fournies par

( 1- T2 ) ON

sont les deux

représentations

irréductibles

_qui

ne se factorisent _{pas par}

S3.

On va introduire une

décom-position

de pour

exploiter

cette

_propriété.

La trace dans

_N/E

associe à _x,

_{TNIE (X)}

= X +

02 (~) + 04 (x),

comme

T2

=

03

_est dans le _centre

de

_G,

la trace

_applique

_{(1 -}

=

( 1-

dans

(1 -

noyau de la trace dans l’extension

_E/El

restreinte à

_OE.

Lemme 3. La trace dans

_N/E

induit une

_surjection

de

(1 -

sur

(1-

r2)OE8

Démonstration. C’est immédiat

_puisque

la trace est

_surjective

de

_ON

sur

OE

et que

o2

commute avec

r 2.

0

Lemme 4. Le _noyau de la trace dans restreinte à

_{(1 -,r 2) ON}

est

_égal

Démonstration. Soit x dans le noyau de la trace dans

N/E

restreinte à

(1 - T2)ON,

il existe t E

_Onr

tel _{que x} = t -

_{U2 (t)}

et il faut montrer _que t

peut

être choisi dans

_{(1 -T2)Onr.}

On sait que l’on a aussi

0’3(x) =

-~ soit

- Q5 (t) = - t + 0’2 (t),

ce

_qui

donne

t -~ Q3 (t)

=

QZ (t + Q3 (t) )

et montre

que

t+a3(t)

qui

appartient

à

Nl

est invariant par

Q2,

c’est un élément de

El,

on

_peut

donc l’écrire

u + u3 (U), U

E

OE.

Il en résulte

qu’il

existe u E

OE

tel

que t -u =

E

(l-r2)ON

et

(t-u)-a2(t-u)

=

t-U2(t)

= _x. 0

On

_peut

résumer ces deux lemmes _par la suite exacte :

On en déduit _que

(1 -

T2)OE -

(1 -

-r 2)ONI(l _ Q2)(1 - T2)ON

est un

on en déduit

1- Q2 = 1-

= 1 +

0’-1

qui engendre

le même idéal

bilatère que 1 + 0’. Il n’est _pas difficile de constater _que

A/(l

+

_{~) ~}

_{7~ (z~ :}

Soit le

_morphisme

d’anneaux de A =

?Z (G) / ( 1

₊

72)

_sur

Z[i]

obtenu en

envoyant

T sur z et 0’ sur -1.

_L’image

de a + bT + ca + daT +

est

_égale

à

_{(a -}

c +

_e)

+

_{(b -}

d +

_f)1,

elle est nulle si et seulement si

e = _{-a + c,}

f

= -b ₊

d,

les éléments du noyau sont _ceux de la forme

a ( 1-

Q2 )

+

_c(1

+

_0’)

+

_{b( 1-}

+ +

_a)T

ils sont dans l’idéal

_engendré

par 1 + or

qui

est lui-même dans le noyau. On a bien :

Finalement

est un

Z[1]-module

sans

torsion,

donc libre

(ce

_que l’on avait

rappelé

en

considérant

_uniquement

l’extension

_{E/~) .}

On s’intéresse à la structure de

_{(1 -}

_{a 2) (j _ T2)ON,}

_noyau de la trace

dans

_N/E

restreinte à

_{(1 -}

c’est d’abord un sous-A-module sans

Z-torsion de

_{( 1- T Z ) ON,}

il est annulé _par 1 +

Q2

+

U4

_qui,

dans

_A,

est

_égal

à 1 - 0’ +

0’2.

On

_peut

aussi

_{l’interpréter}

au _moyen de la suite exacte :

Mais dire _{que y} E

_{~(1 -}

à dire _{que y} est dans E et de

trace nulle dans

_E/El

donc est de la forme _y = ~ -

T2(~), x

E

_OE.

On

obtient ainsi une autre structure de A-module sur

(1-0’2)(1-r2)ON

car la

multiplication

par 1 -

Q2

n’est pas un

morphisme

de A module. Le lemme

précédent

nous dit donc _que

((1 -

T2)ON~~~2~ _

(1+Q2+Q4)(1-T2)Orr

=

(1 -

0’ +

Q2)(1 - T2)ON.

On

conclut,

pour cette structure que : 1

On

_peut

étudier le A-module

_projectif

_(1-T2)ON

au _moyen du

diagramme

commutatif :

On montre que les idéaux

_{( 1- Q)}

et

_{( 1- Q + 0’2 )}

ont une intersection réduite

à

_{0}.

Les

_diagrammes

ci-dessus sont des

_produits

fibrés.

5. L’anneau A et ses

quotients

A(_1,-3)

est un ordre maximal de

_{Q( -1,-3)}

de Z-base

1, i, w, wi.

Cons-truisons le

_morphisme

d’anneaux de A dans

_A(-,,-3)

obtenu en

_envoyant

l’image

de T sur i et celle de Q sur w.

L’image

de

est

_égale

à

_{a+ bi +aJ +dwi +euJ+ fuJi qui}

_peut

se récrire

(a-e)+(b- f )z+(c+

e)w + (d + f )wi,

cette

_image

est nulle si et seulement si a = _{e = -c,} b =

f

=

- d,

le _noyau est donc formé des éléments

_{+b(l- 0’+(2)r}

c’est donc l’idéal bilatère

_engendré

_{par 1 -} or +

0’2.

On a donc

l’isomorphisme :

Rappelons

que tout module

projectif sur

est libre ainsi que tout module

projectif sur

l’ordre maximal

_{A/i_3)}

_[V].

On a

ainsi,

_pour tout A-module

projectif

de rang un :

Le module M étant

_projectif

le

_{A(_1,_3)-module}

_(resp.

M/ ( 1-

0’ +

Q2 )

_(resp.

_{M/ ( 1}

+

_{Q) )}

est libre. On en déduit _que l’ensemble

des classes

_{d’isomorphismes}

de A-modules de

_type

fini sans torsion est en

bijection

avec

_{im(Z[i]*)B(Z[i]/3)*/im(A* ,-3).}

Le _groupe

(Z~/3)" ~ t~

est

_cyclique

d’ordre 8

_(engendré

par

l’image

de

1+T)

et

l’image

de

Z[i]*

en

est un _sous-groupe

cyclique

d’ordre 4. Il nous faut maintenant déterminer

le _groupe

_A(-1,-3).

On sait que ce sont les éléments de

_{A(_1~_3)}

de norme

réduite 1. Pour

_cela,

on a vu

(1)

_que a _pour norme réduite

(a

_{+ )2}

+

_(b

+ d)2

+ 3c2

+

3d2 .

On étudie cas _par cas

l’égalité

à 1 et on

2 2 4 4

constate _que les seules unités de

_A(-,,-3)

sont les

_images

de G. Comme

dans

_G,

il

_n’y

a _pas d’élément d’ordre

8,

l’image

de

_A(-1,-3)

_{dans 1F9}

est

incluse dans le sous-groupe

cyclique

d’ordre 4. On

_peut

donc conclure

_qu’il

y a deux classes

d’isomorphisme

de A-modules

projectifs

de rang un. On

redonne la démonstration du :

Théorème 2

_([Q]).

Si

_N/Q

est modérément

_ramifiée,

on

_peut

trouver une

des _{congruences suivantes}

_qui

s’excluent ait tieu :

et

_ON

admet une base normale si et seulement si la

_première

de ces

con-gruences est

vérifiée.

Démonstration. On a démontré _que le

diagramme

commutatif est un

produit

fibré. Les modules

_1-

~-- et

( 1-

02 ) ( 1- r2)ON

sont des modules libres

_(le

premier

sur

Z[i],

le

second,

muni de la structure

_quotient,

sur

A(-,,-3»,

le module

ON

est un module

libre si et seulement si on

_peut

choisir une base a

(de

(1-r2)OE)

et une base

p (de 1-

₍

Q2 1- T2)ON)

₎

_l

₎

telles

_qu’elles

aient même

_image

dans

1-T 2 E .

3(l--r2)OE Comme

3(1-T2)OE

est un _espace vectoriel de dimension un sur

_Jr"9,

il existe

3(1 T )OE _

un élément E

_{E 1B9}

tel _que à = On aura donc une

de ON

si E

peut-être

choisi _{dans le sous-groupe d’ordre 4}

_{de 1B9.}

_Quitte

à

_changer

l’une des bases _a,

₆

on

_peut

_{supposer que} l’on a soit ii soit à =

(1

₊

-r)o.

Appelons

,8’

celui des éléments

_qui

satisfait une de ces deux relations

_qui

s’excluent mutuellement. Il existe alors

_(on

a un

_produit

fibré)

un

unique

0 E

_{( 1-}

_{tel que}

a =

TN/E (0),

{3’

=

( 1-

~2 ) 9

(il

suffit de

prendre

On a alors :

ce

qui

montre que les congruences sont vérifiées.

Supposons, réciproquement,

que l’on a a -

(l+2r~)/~

mod

3 ( 1- T2 ) 0~ .

Il existe z E

_{( 1-}

tel _que

_{/~ === (1 2013}

_{Q2 ) (z)}

ce

qui

donne :

On en déduit _que E comme

3 n’est _pas ramifié dans

_N/E,

E

3(1 - 7-~)0~

a et

_6’

ont bien la même

_image

dans

_{(1 -}

_{T2)OE)/3(1 - -r2 )OE}

_(rappelons

que l’on a choisi sur

_{(1 -}

Q2)(1 -T2)Onr

la structure de A-module

_qui

vient du

_quotient

de

(1 -

r2)OE.

La

_première

_congruence est

_équivalente

à

_{(1 -}

A-libre mais on a vu _que cette

_{propriété implique}

l’existence d’une base normale. D On se _propose de traduire ce théorème en une

propriété

sur le _corps des

Corollaire 1. Si 3 n’est pas

ramifié

dans

EIE1’

les éléments a

_{et 0}

vérifient

l’une des deux congruences

qui

s’excluent mutuellement :

avec cette

_condition,

_ON

_possède

une base normale si et seulement si la

première

de ces _{congruences est}

vérifiée.

Démonstration. On pose À =1 ou 1 + T suivant le cas. On a la _congruence a -

(1

+

2~2 ) a~i =

0 mod

_{3 ( 1-}

si on élève au

_carré,

le membre

de

_{gauche appartient}

à

_ON,

et est divisible _par 9. On

_développe

le carré :

a2

+

_[(1

+

2~’2 ) a~~ 2 -

_2a(1

+

20,2)Àp.

On

_prend

d’abord la trace sur

_{E1, comme a2 E}

=

3a2,

@

ensuite

car

À{3

E

_{(1 -}

QZ)(1 -

On obtient donc

3a2 -

+

2U2(.~~i))2)

mod

_{90E1. Étudions}

_séparément

ce

_qui

se _{passe pour} chacune

des valeurs de À.

Si ~ = 1. On a

_TNI/EI

_([{3

+

2Q2~~)~2l -

_{T N / E}

(p2)

+

_{4T N / E ~a2~~2)}

+

4TNl/El (~iQ2(,B)),

on évalue le dernier terme en

_remarquant

_que

d’où l’on déduit la

_première

_congruence.

Si À = 1 + _T. On

_peut

reprendre

le même calcul en

_{remplaçant ,Q}

_par

~’ _

On obtient alors : mod

_30E,.

En

_prenant

la trace

_{sur Q}

on a

TE1~~~CY2~ -

-Tn,l~~((~3

+

T,û)2)),

mais +

aernler terme est invaxiant _par T et en meme _temps =

et est donc nul. Il ne reste alors que

. . 01.. _n . _..,. _01,

-L’hypothèse

de ramification

_implique

_que est

_premier

avec

_3,

les

deux _congruences sont

_{incompatibles.}

0

Supposons

maintenant que 3 est ramifié dans on sait

(proposition

₁₎

que

TEl/Q(a2) ==

0 mod 3

et ~

0 mod 9.

On

reprend

la _congruence a -

(1

+ 0 mod

_{3(1 -}

si on

le

_produit

des idéaux

_premiers

au-dessus de 3 dans

_N,

si on élève au

carré,

on obtient cette fois-ci :

a2 +

_{~( 1}

+

2~2 ) a~j 2 _

_{2a ( 1}

+

~2 ) a~i -

0 mod 27. Les calculs se

_poursuivent

comme

_{précédemment}

et on aboutit à :

Corollaire 2. Si 3 est

_ramifiée

dans

_E/El,

les éléments a et

_{{3 vérifient}

l’une des deux congruences

qui

s’excluent mutuellement :

dans ce cas

condition,

ON

possède

une base normale si et seulement si la

première

de ces _{congruences est}

véri fiée.

Il reste à donner une

expression

plus simple

de

6. Calcul d’indice

La

_proposition

1 et les identités

_{(2), (2’)}

du

_paragraphe

_{2 montrent que} l’on

_peut

écrire

_ON

= _ce

qui

_comparé

à la formule

(3’)

donnant

_également

ce discriminant

_{implique :}

IIp

ramifié dans

N/Q?-Si on se

_place

dans l’extension

_NIE

_cyclique

de

_degré

3 dont le _groupe de Galois est

_engendré

_par

_u2@

avec le module

( 1-

r2)ON,

comme

( 1-

T) OE

est de dimension

_2,

on obtient

_grâce

à

(3) :

On

_peut

maintenant calculer

_{dTNl/Q((1-0’2)(1-r2)ON)}

en utilisant la

formule

_ci-dessus,

_{(2), (2’)}

et la

_{proposition (1),}

ce

_qui

donne :

D’où l’on déduit

On

_peut

_également

calculer ce discriminant au _moyen de sa

_{base (3}

comme

qui

conduit au calcul :

En utilisant les relations facilement :

Proposition

3. On a

_{l’égalité}

TNl/Q(f32)

= 2E _q où E = +1

(resp.

-1) si N/Q

est réelle

_{(resp. imaginaire).}

Démonstration. Pour la valeur absolue cela se déduit des deux

_égalités

précédentes

et pour le

signe

avec les mêmes

_arguments

_que dans la

propo-sition 1. Il

En

_comparant

les valeurs de

_TNl/Q(f32),

et les corollaires 1

et 2 de la section

_précédent,

on a maintenant un critère de base normale.

Il suffit de _{remarquer que} si 3 est ramifié

_N,

il l’est dans E. Les deux corollaires se transforment en :

ON

admet une base normale si et seulement si :

ce

_qui

_{après simplification}

donne l’énoncé du théorème 1.

Pour la

_{construction,}

le seul

_{point qui}

reste est la détermination de la

{3

de

_(1-

_{a2)(1- T2)ON.}

Considérons le sous-module

(1-O’2)ONt de

ONi , il

est libre sur

7 53 / ( 1

+

U2

+

U4)

_puisque

_ON,

_possède

une base

_normale,

il

_possède

donc une z-base

{~y, T (~), Q4 (~), TQ4 (~y) ~

con-structible

_(puisque

la base normale de

_ON,

l’est

_(cf.

_{[Ml] chapitre 6)).}

Si

on construit maintenant le Z-module de base

il est inclus dans

_ON,

annulé _{par 1 +}

T2

et par 1 +

QZ

+

Q4,

c’est un

SOUS-A(-1,-3)

module libre de base qa. Si on connaît son indice dans

(1-

_{0’2)(1 - r2)ON = A(_~~3)~}

on va

_pouvoir

déterminer

0.

En effet on

_peut

alors écrire

T"~A(_i _3)~a =

_{A(_i~3)/3 G}

_ON

avec un idéal 1 de

A/i _3)

(donc

principal)

engendré

par un élément _p de norme réduite con-nue. Comme la norme réduite est une forme

_quadratique

définie

_positive

on a un nombre fini de

_{possibilités}

_{pour p}

_(défini

à

_{multiplication}

à droite

_près

par une unité de

~1~_1~_3~ ),

le critère

d’intégralité

_permet

alors de conclure

et d’obtenir

/3

à

_{conjugaison près.}

Il faut donc calculer l’indice des deux

A(-1,-3)

modules libres

_engendrés

l’un _{par ,a} l’autre

_{par /3.}

Pour cela il suffit de calculer leurs discriminants relativement à la forme trace

_qui

se

déduit de celle de Pour le

_premier,

il est donné _par la

_proposition

3 ;

pour le

second,

comme _,a. vérifie les mêmes relations

galoisiennes

_que

/3,

on a

(A~_1~_3~)~ya)

=

6TN1~~(y2a2)4

ce

_qui

donne l’indice :

Puisque

a2

E

_El

le numérateur

_peut

se transformer :

L’indice devient :

Il faut maintenant trouver dans

_{A (- 1, - 3)}

les éléments _p de norme réduite

Comme

_/3

est défini à

_{multiplication près}

_par les unités de

_{A( -1,}

_-3),

il suffit de

prendre

pour p les

représentants

des orbites des éléments de la norme réduite voulue sous l’action à droite des éléments

inversibles de

_A(-,,-.3).

7.

_Exemple

Les calculs

_exposés

ci-dessous ne sont pas

détaillés,

mais le lecteur

peut

les reconstituer facilement en utilisant PARI

[P].

Le

_polynôme

P

= X3 - X2 _ 11X

+ 5 a _pour discriminant 5 x

₍₂

x

17)2,

si x est une racine de ce

polynôme

elle

engendre

une extension

_cubique

K = non

_galoisienne

dont la clôture

_galoisienne

_Nl

est obtenue en

composant K

et

_E1

=

Q( ¥’5).

On obtient une extension N à groupe

_Q12

en

_composant

K et E =

Q( (5).

Comme 2 et 17 sont les seuls

_premiers

à avoir un indice de ramification

égal

à

_3,

le critère de base normale est vérifié.

On choisit pour v une racine de

X 4 - X3

+ XZ - X + 1

telle _{que u} =

v

+ T2(v)

= _{v + v} =

1+ 2 5,

on fixe u _par son action sur les racines de

P,

T

est

_{l’automorphisme qui}

laisse

_{fixe K ,}

tel _que

_{r(v) =}

-v2.

Pour construire

une base normale de on

_peut

suivre

l’algorithme

exposé

dans

[Ml],

ici il n’est _pas difficile de constater que

01

= xu convient. On construit

q

= 81- ~z (81 ) .

On calcule

TEl/Q(a2TNl/El

(’Y2»

qui

vaut

_-340,

c’est donc que l’on

peut

choisir

_{3

= _qa.

Il faut maintenant trouver une

base 0’

de

(1 -T2)ON

comme A-module.

Pour cela on doit déterminer

_lequel

des éléments

(v -

T3(v))

est _{congru à}

_(1+2Q2)(,Q)

modulo 3. Il suffit de calculer les

_polynômes

minimaux

_{correspondants}

pour voir que l’on

peut

choisir

qui

a _pour

_polynôme

minimal

On termine de la même manière : on cherche une unité e E

(voir

la _remarque à la suite du lemme

₂₎

de sorte

_{que 0’}

_{soit congru à}

_e01

modulo2

_(on

calcule les

_polynômes

minimaux pour vérifier la

congruence) ;

on trouve que c’est le cas avec e = _{QT ce}

qui

donne la base normale formée

des

_conjugués

de :

/

qui

a _pour

polynôme

minimal :

Bibliographie

[C] J. COUGNARD, Construction de bases normales pour les extensions modérément ramifiées des _{rationnels à groupe} J. Théor. Nombres Bordeaux 12 _(2000), 399-409.

[F1] A. _FRÖHLICH, Arithmetic and Galois module structure for tame extension. J. Reine _Angew. Math. _{286/87 (1976),} 380-440

[F2] A. _FRÖHLICH, Galois Module Structure of _{Algebraic Integers. Ergebnisse} der Math. vol. 1,

Springer Verlag, Berlin, 1983.

[F3] A. FRÖHLICH, Galois module structure and root numbers for _quaternion extensions of degree

2n. J. Number _Theory 12 _(1980), 499-518.

[M1] J. MARTINET, Sur l’arithmétique d’une extension galoisienne à groupe de Galois diédral

d’ordre 2p. Ann. Inst. Fourier 19 _(1969), 1-80.

[M2] J. MARTINET, Modules sur _l’algèbre du groupe _{quaternionien.} Annales Sci. de l’Ec. normale

sup. 4e série fasc. 3 _(1971), 399-408.

[MP] J. MARTINET, J.-J. PAYAN, Sur les extensions cubiques non Galoisiennes des rationnels et

leur clôture galoisienne. J. Reine _Angew. Math. 228 (1967), 29-33.

[M] J. MILNOR, Introduction to _{algebraic K-theory.} Annals of Mathematics Studies, No. 72. Princeton _{University Press, Princeton,} N.J.; University of _{Tokyo Press, Tokyo,} 1971.

[P] C. _BATUT, K. BELABAS, D. BERNARDI, H. COHEN, M. _OLIVIER, User’s Guide to Pari-GP,

version _2.02.12, 1999.

[Q] J. QUEYRUT, Extensions _{quaternioniennes généralisées} et constante de l’équation

fonc-tionnelle des séries L d’Artin. Publications Mathématiques de l’Université de Bordeaux I fascicule 4 _(1972-73).

[S] R. G. _{SWAN, Projective} modules over _{binary polyhedral groups.} J. Reine _Angew. Math. 342

(1982), 66-172.

[V] M.-F. _{VIGNÉRAS, Simplification pour} les ordres des corps de quaternions totalement _définis. J. Reine _Angew. Math. _{286/287 (1976),} 257-277.

Jean COUGNARD UMR 6139 S.D.A.D.

Université de _{Caen, Campus} II Bd. _{M~ Juin,} BP 5186 14032 Caen Cedex, France

cougnard0math.unicaen.fr

Jacques QUEYRUT

Laboratoire A2X Université de Bordeaux 1

351, cours de la libération 33405 Talence _Cedex, France