• Aucun résultat trouvé

Fonctions de plusieurs variables I

N/A
N/A
Info
Télécharger
Protected

Academic year: 2022

Partager "Fonctions de plusieurs variables I"

Copied!
2
0
0

Chargement.... (Voir le texte intégral maintenant)

Texte intégral

(1)

Fonctions de plusieurs variables I

87

.

Soit Ox un repère cartésien du plan et ( , les coordonnées du point courant M de ce plan. On considère le

champ .

y x y)

(

2 2

)

( ) ln

f M = x +y 1) Calculer gradfJJJJG . 2) Calculer

2 2

2 2

f f

x y

∂ ∂

∂ +∂ .

II

72

.

Soit (x y z, , ) les coordonnées cartésiennes d’un point M et

2 2

u 1

x y z

= + + 2 une fonction de la position de ce point.

1) Calculer gradJJJJGu. 2) Calculer

2 2

2 2

u u

x y z

∂ ∂ ∂

+ +

∂ ∂ ∂

2 2

u.

(2)

Corrigés I.

1) 22 2 22 2

grad x x y y

f u

x y x y

= +

+ +

JJJJG G G

u .

2) En utilisant

( )

2

u u v uv

v v

′ ′

′ = − , on obtient

( )

( )

( )

( )

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

2 x y 4x 2 y x

f

x x y x y

+ − −

∂ = =

∂ + + 2 .

En intervertissant x et y,

( )

( )

2 2

2

2 2 2 2

2 x y f

y x y

∂ −

∂ = + , donc

2 2

2 2 0

f f

x y

∂ ∂

+ =

∂ ∂ .

II.

1) Posons v=x2 +y2+z2. Comme

( )

1/2 3/2

2

1 −

− ′=− ′ v v

v ,

(

x2 y2x z2

)

3/2

x u

+

− +

∂ =

∂ , soit

grad 3

OM u=− OM .

2)

( ) ( ) ( ) (

2 2 2

)

5/2

2 2 2 2

/ 2 5 2 2 2

/ 2 3 2 2 2

/ 2 3 2 2 2

2 2

2 2 . 3

z y x

z y z x

y x x x z

y x z

y x x x x

u

+ +

−

= − +

+ +

+ +

−

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛− + +

∂

= ∂

∂

∂ − − −

. D’où

2 0

2 2 2 2

2 =

∂ +∂

∂ +∂

∂

∂

z u y

u x

u .

Références

Télécharger maintenant ( PDF - 2 Page - 48.20 KB )

Documents relatifs

On se place dans un plan orienté muni d'un repère (O, ( − → i , − → j )) orthonormé direct. Les fonctions coordonnées relatives à ce repère sont notées (x, y) . Les coordonnées d'un point M du plan sont donc (x(M ), y(M )) .

Pour un triangle entier (A, B, C) , d'après la question précédente, s'il existe un point entier Q dont les coordonnées relatives au triangle ne sont pas entières, il existe des

Fonctions de plusieurs variables

Le graphe d’une fonction de deux (a fortiori trois, quatre, etc.) variables est beaucoup plus difficile ` a tracer que le graphe d’une fonction d’une variable : difficult´ e du

Repère cartésien

René Descartes et sa femme, Hélène Jans, vivent à Santpoort, aux Pays-Bas. La France leur manque : au marché, ils souhaitent acheter des pommes de Normandie, des pommes Reinette.

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J). On considère les points ( ) ( ) ( ) ( )

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J). b) Déterminer une équation cartésienne du cercle circonscrit au triangle ABC. ii) ( ) ait une solution double à déterminer. iii)

Partie 1 : repère du plan, coordonnées

§ Dans un même repère, deux points qui ont les mêmes coordonnées sont égaux.. Les repères se différencient selon la position de leurs axes et leurs graduations (le choix des

Exercices sur les coordonnées dans le plan I.

I. Donner les coordonnées de F.. En déduire les coordonnées des points E, F et G. Faire une figure. 1°) Déterminer la nature du

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé d'unité 1 cm, on considère l'ensemble des points de coordonnées Pn ( n

Déterminer graphiquement la raison cela signifie lire l'ordonnée du point suivant cad celui dont l'abscisse est 1.. Déterminer graphiquement le terme u 2 cela signifie lire sur

En déduire les coordonnées du point I intersection de la droite (DF) et du plan (EBG)

On considère un cube ABCDEF GH (voir exercice précédent pour une figure)1. En déduire l’aire du