TD – Intégrales curvilignes et multiples - corrigé

(1)

Polytech’Montpellier Méthodes Mathématiques pour l’Ingénieur STE4

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TD – Intégrales curvilignes et multiples - corrigé

1- L’aire de la surface S est évidemment donnée par

∫∫

S

dS . L’élément de surface dS doit donc

être relié aux variations dx et dy des coordonn.ées x et y du point courant M de la surface S.

Lorsque x est fixé, la variation dz de ce point courant s’exprime simplement par y dy

dz z

∂

= ∂ . Lorsque x est fixé, le point courant se déplace donc le long d’un vecteur de

composantes

y dy z dy V_x

∂

= ∂ r 0

De même, lorsque y est fixé, la variation de z est simplement

x dx dz z

∂

= ∂ et le point courant se déplace alors le long du vecteur de composantes

xdx z dx V_y

∂

= ∂0 r

. Lorsque les coordonnées x et y du point courant changent simultanément, le point

courant se déplace donc dans le parallélépipède porté par les deux vecteurs précédents. L’aire de ce secteur est égal à l’élément de surface à prendre en compte dans l’intégrale de surface sur S et, par propriété du produit vectoriel on a la relation dS V_x V_y

r r ∧

= . Le résultat

recherché est alors obtenu directement en exprimant la norme du vecteur

1 y z x z

dxdy V

V_x _y

∂

−∂

∂

−∂

=

∧ r r

.

Remarque : Dans le cas plus général d’une surface dont l’équation paramétrique est







=

) , (

v u z z

v u y y

v u x x

, le calcul de la surface se fait par l’intégrale suivante :

∫∫

⁻

u v

uv v

uG G dudv

G ,

avec

2 2

2



 





∂ + ∂



 





∂ + ∂



 





∂

= ∂

u z u

y u

G_u x ,

2 2

2



 





∂ + ∂



 





∂ + ∂



 





∂

= ∂

v z v

y v

G_v x et



 





∂

∂ + ∂



 





∂

∂ + ∂



 





∂

= ∂

v z u z v

y u y v

x u G_uv x

2- La surface S délimitée par les points A,B,C admet pour équation x+y+z=1, ou bien encore z=z(x,y)=1-x-y. Par application du résultat démontré au 1-, on trouve que l’aire

(2)

2

recherchée vaut

∫ ∫

₌⁼ ₌⁼⁻ 









∂ + ∂



 





∂ + ∂

= ¹

0 1 0

2 2 y 1

y

y x

x dxdy

y z x

Aire z , avec

( ) ( )

¹ ¹ ³

1

1 ² ²

2 2

=

− +

 =



 





∂ + ∂



 





∂ + ∂

y z x

z . On trouve alors immédiatement que l’aire

vaut

∫ ∫

=

−

=

1

0 1

0 2

3 3

x x

y

dydx . On remarque par ailleurs que ce résultat est bien cohérent avec le fait que le triangle A,B,C est équilatéral de côté a= 2. Sa hauteur est en effet donnée par

32 22

2

2 2

 =



 



−

=

h et son aire par

32 32

2 2 1

2 = =

ah .

3- I₁ s’obtient en exprimant à partir du paramètre t : . On obtient

alors . En utilisant le fait que t = x/2^{, on}

obtient ensuite

∫ ∫

⁼

=

+ +

=



 



 + +

=

4

2

2 ^x 16 2 16ln2 4 6

x C

k j i dx

x j x i

dx V I

r r r r

r r

. En utilisant le

fait que t = 2/y, on obtient aussi

. Finalement, avec, lorsque M

se déplace sur le contour C, dt j

i t dt k dz j dy i dx dOM

r r r

r r

2

2 − 2

= + +

= , on obtient

.

4- Pour tout contour fermé sur lequel le théorème de Green dans un plan s’applique, on

sait que

∫∫

 ⁼

∫

⁺









∂

−∂

∂

C S

Qdy Pdx y dxdy

P x

Q . Le choix particulier Q=x et P=0 donne

. En utilisant la représentation paramétrique pour l’ellipse considérée, on obtient alors . Il faut noter que plusieurs choix de P et Q conduisent à des expressions utilisables pour estimer l’aire d’une surface plane à partir d’une intégrale sur son contour. Par exemple Q=0 et P=-y conduit à , le choix P=-y et Q=x donne quant à lui . On pourra vérifier que ces intégrales curvilignes conduisent bien à la même estimation de l’aire de l’ellipse considérée.

V r

k t j t i V

r r r r

2 8 2

+ +

=

∫

⁼

=

+ +

=

= ²

1

1 8ln2 2 3

t

t C

k j i dt

V dt V I

r r r r

r

∫

⁼

=

−

 =







 + +

=

1

2

3 4 6 2 4ln2

2 4

y

y C

k j

i y dy

j i y dy

V I

r r r r

r r

2 2 ln 4 16

2 16

1

4 2 = −



 



 −

=

⋅

=

∫ ∫

⁼

= t

t C

t dt dOM t

V I

r

∫

∫∫

⁼ ⁼

C S

xdy Aire

dxdy

[

^π

[

θ θ

θ^, ^sin ^, ⁰^,²

cos = ∈

=a y b

x

( ) ∫ ⁽ ⁾

∫

⁼

=

= +

=

= ^θ ^π

θ π

θ θ

π θ θ θ

θ ²

0 2

0

2 1 cos2

cos ab2 d ab

d ab

Aire

∫

⁻

=

C

ydx Aire

∫

⁻ ⁺

=

C

xdy ydx Aire 2

1

(3)

3 5- Le vecteur normal à S s’exprime simplement dans la base naturelle associée aux coordonnées sphériques par et sur la sphère de centre O de rayon R l’élément de surface s’exprime en coordonnées sphériques

(

^r^,ϕ^,θ

)

^par

θ ϕ ϕ^d ^d R

dS = ²sin . Le flux de V r

à travers S ne fait donc intervenir que la

composante de portée par er_r

, soit ϕ

θ ϕ θ

ϕ^cos ^sin ^sin ⁽ ⁾^cos sin

)

(y x x²z x² z

V_r = − + + + . On a utilisé pour établir ce

résultat les relations suivantes qui lient les coordonnées (vecteurs de base) cartésiennes et sphériques : ^x =^r^sinϕ^cosθ

θ ϕ^sin sin r y =

ϕ cos r z =

θ

ϕ θ

θ ϕ θ

ϕ ê ê ê

ir r_r r r

sin cos

cos cos

sin + −

=

ϕ ϕ

ϕ^e ^e

kr r_r r

sin

cos +

=

En utilisant les coordonnées sphériques uniquement on a alors ϕ ϕ θ

ϕ θ

θ ϕ ϕ θ

θ θ

ϕ^(sin ^cos ⁾^cos ^sin ^cos ^cos ^sin ⁽ ^sin ^cos ^cos ⁾^cos

sin² − + ³ ³ ² + ² ² +

= R R R R

V_r

Le flux de V r

à travers S est alors donné par l’intégrale . Les plus courageux pourront vérifier que cette intégrale donne bien le résultat obtenu de manière plus élégante dans la question suivante.

6- On choisit de fermer S en ajoutant S’, le disque de rayon R, de centre 0 et contenu dans le plan z=0, soit S’ définie par x²+ y² ≤ R, z =0. On note Σ la surface fermée Σ=S+S’ et on se propose d’appliquer le théorème de la divergence au champ vectoriel

et à la surface Σ : . Un simple calcul

permet de montrer que le champ V r

est à divergence nulle, si bien que le flux recherché s’exprime simplement par

∫∫

^⋅ ⁼⁻

∫∫

^⋅

' S S

dS n V dS

n

Vr r r r

. Sur S’, le vecteur normal unitaire extérieur est simplement et la coordonnée z est nulle si bien que

∫∫

^⋅ ⁼⁻ ⁻

' 2 S S

dxdy x dS

n Vr r

. En introduisant alors les coordonnées polaires

( )

ρ^,β ^dans le plan (xOy) telles que x =ρ^cosβ^, y= ρ^sinβ, on obtient facilement

cos 4

2 4

0 2 3 0

d R d dS

n V

R

S

β π ρ β

πρ

β ρ

=

⋅

∫ ∫

∫∫

=

r r

7- En introduisant les coordonnées polaires

( )

^r^,θ telles que ^x =^r^cosθ^, ^y =^r^sinθ on trouve que I s’écrit ⁼

∫∫

⁻

2 2

R

r rdrd e

I θ. On a utilisé ici le fait que l’élément de surface s’écrit en polaire sous la forme ^dS =^rdrdθ (voir la remarque ci-dessous). En explicitant les domaines de variations des coordonnées polaires on obtient

r

r e

e nr r r

=

=~

V r

θ

ϕ θ

θ ϕ θ

ϕ ê ê ê

j r_r r r

r

cos sin

sin + +

=

∫∫ ∫ ∫

=

⋅

S

r d d

V R

dS n V

π θ π ϕ

θ ϕ

2 ϕ

0 2 /

0

2 sin

r r

V

r

∫∫∫

⁼

∫∫

^⋅ ⁼

∫∫

^⋅ ⁺

∫∫

^⋅

Σ S S'

V

dS n V dS n V dS n V dv V

divr r r r r r r

k

− r

(4)

4

∫

=

∞ −

=

= ^π

θ 2 θ

0 0

2rdrd e

I ^r

r

soit π  =π



−

=

∞

− 0

2

2 2 1e ^r

I . Par ailleurs on remarque que I

s’écrit également 4 4 .

2

0 0

0

2 2

2











= 

=

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

^∞

=

∞ −

=

∞ −

=

∞ −

−∞

=

∞ −

−∞

=

−

x x y

y x

x y

y x

x dx e dy e dx e dy e dx

e

I On en

déduit le résultat attendu

0 2

2 ₌ π

+∞

∫

− dx

e ^x .

Remarque : L’expression de dS en polaire s’obtient géométriquement en disant que dS est égal à l’aire du « rectangle » porté par les vecteurs

(

^e^~^r^r^dr^,^e^~^r^θ^d^θ

)

ce qui conduit bien à

θ rdrdθ

dS₍_r_, ₎ = . De même en cartésien, l’aire portée par les vecteurs

(

^e^~^r^x^dx^,^e^~^r^y^dy

)

⁼

(

ⁱ^r^dx^,^r^j^dy

)

donne directement dS(_x,_y) =dxdy. La relation de passage entre les deux expressions fait intervenir le déterminant suivant (aussi appelé le Jacobien) :

r r r y

r y

x r x

J − =

=

∂

∂ ∂

∂

= θ θ

θ θ

cos sin

sin

cos . On a la relation ^dxdy= ^J ^drdθ. Notez que cette

relation généralise au cas de plusieurs variables la formule de changement de variable utilisée pour les intégrales simples, à savoir du

u dx x

∂

= ∂ .

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