Fonctions de plusieurs variables et intégrales multiples – LM216
Albert Cohen
(Version 2012 révisée par Laurent Boudin)
Avertissement.Ces notes sont régulièrement mises à jour et corrigées. Toutes les remarques permettant d’améliorer la rédaction peuvent être envoyées par courrier électronique à [email protected] [email protected].
Dans ce cours, on s’intéresse aux fonctions de plusieurs variables du typef :Rn ÑRm,px1, , xnq ÞÑ fpx1, , xnq. Celles-ci interviennent naturellement pour décrire la dépendance de grandeurs physiques en fonction de la position dans l’espace et du temps. Elles peuvent aussi être définies par des expressions similaires à celles que l’on rencontre pour les fonctions d’une variable, soitf :px, y, zq ÞÑsinpxy2 1q
?z4 3x2, qui est une fonction des trois variablesx,yet z.
L’objectif principal de ce cours est de généraliser aux fonctions de plusieurs variables les notions de dérivation et d’intégration qui ont été abordées dans le cadre des fonctions d’une variable.
Ces notes contiennent la totalité des résultats du cours sous une forme très condensée. La plupart des démonstrations détaillées en amphi sont omises, et c’est un excellent exercice pour l’étudiant que d’essayer de les refaire uniquement à partir des indications données dans les notes.
Table des matières
1 Notions de topologie dansRn 2
1.1 Vecteurs et normes dansRn . . . 2
1.2 Quelques notions de topologie . . . 3
2 Fonctions continues 4 2.1 Définition et propriétés fondamentales . . . 4
2.2 Opérations sur les fonctions continues . . . 6
2.3 Fonctions continues et ensembles compacts . . . 7
3 Différentiabilité et dérivées partielles 7 3.1 Définitions et propriétés élémentaires . . . 7
3.2 Opérations sur les dérivées, fonctionsC1 . . . 8
3.3 Dérivées partielles d’ordre supérieur, fonctions Ck . . . 10
3.4 Points critiques et extrema . . . 11
3.5 Opérateurs du calcul différentiel . . . 12
4 Résultats plus avancés 13 4.1 Équations aux dérivées partielles . . . 13
4.2 Inversion locale et fonctions implicites . . . 14
5 Construction de l’intégrale multiple 15 6 Calcul des intégrales multiples 15 6.1 Le théorème de Fubini . . . 15
6.2 Changements de variables . . . 16
6.3 Intégrales généralisées . . . 17
7 Intégrales curvilignes 18 7.1 Arcs orientés et courbes fermées orientées . . . 18
7.2 Intégrale curviligne et formule de Green-Riemann . . . 19
1 Notions de topologie dans R
n1.1 Vecteurs et normes dans R
nRappelons qu’en dimension2, on identifie un vecteurxde coordonnéespx1, x2qavec un point du plan de coordonnéespx1, x2qune fois fixée une origine. On généralisera ici cette identification en désignant le point ou le vecteur de coordonnéespx1, , xnqparx px1, , xnq PRn.
Rappels rapides
– Lanorme euclidienned’un vecteur x px1, , xnq PRn est définie par }x} b
x21 x2n. – Leproduit scalairedexavecy py1, , ynqest défini par
xyx1y1 xnyn, avec, en particulier,}x}2xx.
– Inégalité de Cauchy-Schwarz :pour toutxety dansRn
|xy| ¤ }x} }y}, avec égalité si et seulement sixet y sont proportionels.
– Inégalité triangulaire :pour toutxety dansRn
}x y} ¤ }x} }y}.
– On rappelle aussi que siθ désigne l’angle entre deux vecteurs xety non nuls, on a cosθ xy
}x} }y}.
D’un point de vue géométrique, la norme euclidienne}x}correspond à la longueur du vecteur x(ou encore à la distance du pointxà l’origine). On définit ainsi ladistance euclidienne entre deux pointsx ety par
dpx, yq }xy}, c’est-à-dire la longueur du vecteur reliant le pointxau pointy.
La norme euclidienne n’est pas l’unique façon de mesurer la taille d’un vecteurx.
Définition 1.1 On appellenormesur Rn une applicationN deRn dansR vérifiant les trois propriétés suivantes :
1. Npxq 0 si et seulement six0,
2. Npλxq |λ|Npxq pour toutxPRn etλPR, 3. Npx yq ¤Npxq Npyqpour toutx, yPRn.
On vérifie facilement que la norme euclidienne vérifie ces trois propriétés. Voici d’autres exemples de normes : la norme « sup » ou`8 définie par
}x}8 : sup
i1,,n
|xi|, la norme`p définie, pour1¤p 8, par
}x}p: p|x1|p |xn|pq1{p. On voit que le casp2 correspond à la norme euclidienne.
Étant donné une norme N, un pointxet un nombre r¥0 on appelleboule fermée (respectivement ouverte) de centrexet de rayonr pour la normeN l’ensemble
B1px, rq ty; Npyxq ¤ru (respectivementBpx, rq ty; Npyxq ru).
On appelle boule-unité fermée (respectivement ouverte) la boule B1p0,1q (respectivement Bp0,1q). En l’absence de précision surN, il s’agira systématiquement de la norme euclidienne.
Définition 1.2 Deux normesN1 etN2 sont diteséquivalentess’il existe deux constantesc,C¡0 telles que, pour toutxPRn,
cN1pxq ¤N2pxq ¤CN1pxq.
Cette propriété signifie intuitivement qu’un vecteur très petit dans une norme le sera aussi dans l’autre. On vérifie par exemple aisément (en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz) que
}x}2¤ }x}1¤n1{2}x}2. On a aussi
n1{2}x}2¤ }x}8 ¤ }x}2. On a en fait la propriété fondamentale suivante.
Théorème 1.1 Toutes les normes surRn sont équivalentes entre elles.
1.2 Quelques notions de topologie
Soitpxppqqp¡0 une suite de points (ou de vecteurs) de Rn. On dit que cette suite converge vers une limiteaPRn, si pour toutε¡0, il existe p0 tel que
p¥p0ñ }xppqa} ¤ε.
On note alors lim
pÑ 8xppqaou encore parfoisxppqÑa. Dans le cas contraire, on dit que la suite diverge.
Lorsquen1, on a}xppqa} |xppqa|et on retrouve la définition usuelle de la convergence des suites réelles. On vérifie aisément que la limite d’une suite si elle existe est unique.
Grâce à l’équivalence des normes, il est possible de remplacer la norme euclidienne par n’importe quelle autre norme N sans altérer la définition de la convergence. Il en est de même pour toutes les notions que nous allons introduire dans cette section.
En particulier, en utilisant la norme sup, on voit que si xppq
xp1pq, , xpnpq et a pa1, , anq, la convergence de la suitepxppqqp¡0 versaest équivalente à la convergence pour touti1, , nde la suite desies coordonnées
xpipq
p¡0
vers la coordonnéeai.
Une suitepxppqqp¡0est dite de Cauchy si, pour toutε¡0, il existep0 tel que p, q¥p0ñ }xppqxpqq} ¤ε.
On vérifie aisément que toute suite convergente est de Cauchy. La réciproque est aussi vraie : l’espaceRn estcomplet, ce qui signifie que toute suite de Cauchy est convergente. Cette propriété se déduit aisément de la propriété analogue connue pourRen utilisant la norme sup. L’intérêt pratique de cette propriété est qu’il n’est ainsi pas nécessaire de connaître la limite d’une suite pour pouvoir prouver sa convergence.
Définition 1.3 Un ensemble U Rn est ditouvertdansRn si, pour tout xPU, il exister¡0 tel que Bpx, rq U.
Par convention l’ensemble videHest ouvert.
Pour un ensemble E quelconque, on dit que xest un point intérieur à E s’il existe r ¡ 0 tel que Bpx, rq E. L’ensemble des points intérieurs à E est appelé l’intérieur deE et est noté E. On vérifie˚ queE˚est le plus grand ouvert contenu dans E, et que E est ouvert si et seulement s’il est égal à son intérieur.
Définition 1.4 Un ensemble FRn est dit fermé si son complémentaireFcRnzF est ouvert.
Théorème 1.2 F est fermé si et seulement toute suite de point deF qui converge a sa limite contenue dansF.
Pour un ensembleE quelconque, on dit quexest unpoint adhérent àEs’il existe une suitepxppqqp¡0
de points de E qui converge vers x. L’ensemble des points adhérents à E est noté E, et est appelé l’adhérence (ou la fermeture) deE. On vérifie que E est le plus petit fermé contenantE et que E est fermé si et seulement siEE.
Quelques propriétés élémentaires :
1. Toute union finie ou infinie d’ouverts est un ouvert.
2. Toute union finie de fermés est un fermé
3. Toute intersection finie ou infinie de fermés est un fermé.
4. Toute intersection finie d’ouverts est un ouvert
5. Les seuls ensembles à la fois ouverts et fermés sontHet Rn. 6. Un ensemble fini de points deRn est fermé.
7. On aE˚EE.
Définition 1.5 On appellefrontièred’un ensembleE l’ensemble des points de son adhérence qui ne sont pas dans son intérieur, c’est-à-dire
BE:EzE˚EX pE˚qc.
Définition 1.6 Un ensemble ERn est dit bornés’il existe R¡0 tel que EBp0, Rq. Un ensemble fermé et borné deRn est dit compact.
Théorème 1.3 PourERn, les deux propriétés suivantes sont équivalentes : 1. E est compact.
2. Toute suite de points de E admet une sous-suite qui converge dans E (propriété de Bolzano- Weierstrass).
Définition 1.7 Un ensemble E est dit connexe s’il n’existe aucune paire d’ouverts non vides pU1, U2q tels queEU1YU2, etEXU1 etEXU2 sont disjoints.
Autrement dit,E est connexe si on ne peux pas le séparer en deux partie disjointes en l’intersectant avec deux ouverts. Dans le cas d’un ensemble ouvert, cela se traduit par la propriété intuitive suivante.
Théorème 1.4 Un ensemble ouvertU est connexe si et seulement si, pour toutxety dansU, il existe une ligne brisée contenue dansU qui les relie, c’est-à-dire un ensemble fini de pointstp1, , pmutel que p1xetpmy, et tel que les segments d’extremités pi etpi 1 sont tous contenus dans U.
Définition 1.8 Un ensemble E est ditconvexesi, pour toutx, yPE ettP r0,1s, on atx p1tqyPE, i.e. le segment d’extremitésxety est contenu dansE.
On peut vérifier qu’en dimensionn1les connexes et les convexes deRsont exactement les intervalles (de taille finie ou infinie). En revanche, en dimensionn¡1, tout convexe est connexe, mais la réciproque est fausse.
On vérifie aussi qu’une intersection finie ou infinie de compacts est un compact et de même pour les convexes.
2 Fonctions continues
2.1 Définition et propriétés fondamentales
On va s’intéresser à des fonctions de plusieurs variables et à valeurs réelles. Soitf :Rn ÑR. Pour x px1, , xnq PRn, on a fpxq fpx1, , xnq PR.
On étend à ce cadre la notion de domaine de définition connue pour les fonctions d’une variable.
Par exemple, le domaine de définition de la fonction fpx, yq lnpa
3x2y2q est l’ensemble D tpx, yq; x2 y2 3uc’est-à-dire la boule ouverte de centre0et de rayon ?
3, que l’on noteBp0,? 3q.
On s’intéressera aussi souvent à la notion plus générale de fonctions de n variables et à valeurs vectorielles, du type f : Rn Ñ Rm, où m ¥ 2 est un entier. Pour x px1, , xnq P Rn, on écrit fpxq pf1pxq, , fmpxqq PRm. Notons que chacune des fonctionsfiest alors une fonction denvariables et à valeurs réelles. On dit parfois quef est unchamp de vecteurs àmcomposantes, défini surRn.
SiERn, on appelleimagedeEparf l’ensemblefpEqdes images parf des points deE, c’est-à-dire fpEq tfpxq; xPEu.
On dit que la fonctionf estbornée surE sifpEqest un ensemble borné. Autrement dit, il existeR¡0 tel que}fpxq} ¤R pour toutxPE.
Si F Rm, on appelle image réciproquede F par f l’ensemble f1pFqdes antécédents par f des points deF, c’est-à-dire
f1pFq txPRn ; fpxq PFu.
Une fonction d’une variable et à valeurs réelles est décrite par son graphe, qui est le sous-ensemble de R2 défini par
Gf tpx, fpxqq; xPRu,
et que l’on représente par la courbe du plan d’équationy fpxq. Dans le cas d’une fonction de deux variables à valeurs réelles, on définit de même legraphe
Gf tpx, y, fpx, yqq; px, yq PR2u,
que l’on peut représenter comme une surface d’équationzfpx, yqdans l’espace à 3dimensions. Pour λPR, on appellecourbe de niveau λde la fonctionf l’ensembleCλ des points du plan dont l’image par f vautλ, c’est-à-dire
Cλ: tpx, yq; fpx, yq λu f1ptλuq.
Les notions de graphe et de courbes de niveau s’étendent de manière évidente au cas des fonctions den variables.
Définition 2.1 Une fonction f :Rn ÑRest continue en un pointa pa1, , anq PRn si, pour tout ε¡0, il existeα¡0 tel que, pour toutx px1, , xnq PRn,
}xa} ¤αñ |fpxq fpaq| ¤ε.
Une fonctionf est continue sur un ensembleE si elle est continue en tout point de cet ensemble. L’en- semble des fonctions continues surE est notéCpEqouC0pEq.
Dans le cas de fonctions f : Rn Ñ Rm à valeurs vectorielles, il faut remplacer |fpxq fpaq| par }fpxq fpaq}dans la définition ci-dessus. Grâce à l’équivalence des normes, il est possible de remplacer la norme euclidienne par n’importe quelle autre normeN sans altérer la définition de la continuité. On remarque que sif est continue au point a, alors elle est toujours bornée sur une boule Bpa, rqpour r suffisamment petit.
Une manière équivalente d’exprimer la continuité au pointaest de dire que pour tout suitepxppqqp¡0
convergeant versa, la suite pfpxppqqqp¡0 tend versfpaq. On peut aussi démontrer quef est continue sur Rn si et seulement si l’image réciproque de tout ensemble ouvert est un ensemble ouvert.
On démontre enfin que l’image d’un connexe par une fonction continue est aussi connexe, et que l’image d’un compact par une fonction continue est aussi compact. Cette dernière propriété entraîne qu’une fonction continue est toujours bornée sur un compact.
Définition 2.2 Une fonctionf :RnÑRmest lipschitziennesi, pour toutx,yPRn, on a }fpxq fpyq} ¤C}xy},
oùC est une constante indépendante dexety.
Si C est la plus petite constante vérifiant la propriété précédente, on dit quef estC-lipschitzienne, ou lipschitzienne de rapport C. On voit immédiatement que toute fonction lipschitzienne est continue.
En revanche, la réciproque est fausse. Un exemple de fonction1-lipschitzienne est l’applicationxÞÑ }x} (cela se déduit aisément de l’inégalité triangulaire).
Si f :Rn ÑRm est une application linéaire, alors en introduisant la base canoniquepεp1q, , εpnqq deRn, et en notant M max}fpεpiqq}, on voit que pour tout x px1, , xnq PRn on a
}fpxq} }
¸n i1
xifpeiq} ¤M
¸n i1
|xi| ¤M? n}x}.
En remplaçantxparxy, on voit ainsi que toute application linéaire est lipschitzienne et donc continue.
On appellenorme de l’application linéairef la quantité
~f~:sup
x0
}fpxq}
}x} .
On vérifie que~f~ est la plus petite constanteCtelle que }fpxq} ¤C}x}pour toutx.
2.2 Opérations sur les fonctions continues
Voici trois propriétés dont les démonstrations sont élémentaires :
1. Une combinaison linéaire ou une multiplication de deux (ou d’un nombre fini de) fonctions continues en un pointxest continue enx.
2. Si f : Rn Ñ Rm est continue au point x et g : Rm Ñ Rp est continue au point fpxq, alors gf :RnÑRp est continue au pointx.
3. La fonction πi : Rn Ñ R qui, à x px1, , xnq, associe sa ie coordonnée, i.e. πipxq xi, est continue. On l’appelle laieapplication coordonnée.
Ces propriétés permettent de construire de nombreuses fonctions continues en utilisant les résul- tats connus sur la continuité des fonctions d’une seule variable. Par exemple, la fonction fpx, yq lnpa
3x2y2q est continue sur son domaine de définition, par composition des applications coor- données, carré, racine carrée et logarithme. De même, on voit que sif :RnÑRest continue au pointx etfpxq 0, alors1{f est aussi continue au pointx.
Une classe importante de fonctions continues est celle des polynômes. On rappelle qu’un polynôme d’une variable est une fonction de la forme
ppxq a0 a1x amxm,
c’est-à-dire une combinaison linéaire d’un nombre fini de fonctions puissance xk pour k entier positif.
L’entier mest appelé degré du polynôme p. Le termeakxk est appelé monôme de degrék. Dans le cas de fonctions à n variable, un polynôme est une combinaison linéaire d’un nombre fini de fonctions du typexk11xk22 xknn (alors appelées aussi des monômes), oùk1, , kn sont des entiers naturels. Ledegré du monômexk11 xknn est par définitionk1 kn. Le degré depest celui du monôme de plus haut degré présent dansp. En notantk pk1, , knq PNn, on voit ainsi qu’un polynôme de degrémest de la forme
ppxq ppx1, , xnq ¸
k1 kn¤m
akxk11 xknn.
Une manière naturelle d’étudier les variations d’une fonction f de n variables consiste à fixer n 1 d’entre elles et à étudier ensuite la fonction par rapport à l’unique variable restante. Ainsi si x px1, , xnqest un point fixé, on définit laieapplication partielle au pointxpar
fi,xptq fpx1, , xi1, t, xi 1, , xnq.
Il est facile de vérifier que la continuité def enxentraîne celle de l’application partiellefi,xau pointtxi. En revanche, la réciproque est fausse : ainsi, la fonction définie parfpx, yq xy
x4 y4 sipx, yq p0,0q, et fp0,0q 0, admet des applications partielles continues en tout point, mais cependant cette fonction n’est pas continue au pointp0,0q.
2.3 Fonctions continues et ensembles compacts
Une fonctionf à valeurs réelles est dite minorée s’il existeM PRtel quefpxq ¥M pour toutxPE.
Dans ce cas, l’ensemblefpEqadmet une borne inférieure (appelée aussi infimum), qui est aussi le plus grand des minorants def. Cette valeur est notée inf
xPEfpxqet est caractérisée par les propriétés 1. Pour toutzPE, on a fpzq ¥ inf
xPEfpxq.
2. Il existe une suitepxppqqde points deEtelle que fpxppqq Ñ inf
xPEfpxq. Dans le cas où f n’est pas minorée, on pose inf
xPEfpxq 8. Dans le cas où l’infimum est fini, il peut être atteint, c’est-à-dire qu’il existe a P E tel que fpaq infxPEfpxq, ou ne pas être atteint. S’il est atteint, on parle de minimum de f sur E, et on note alors fpaq minxPEfpxq. On définit de manière similaire la borne supérieure (ousupremum)sup
xPE
fpxqsurE(fini ou égal à 8), que l’on appelle maximum max
xPE fpxqdans le cas où il est atteint. Le théorème suivant peut se démontrer à l’aide de la propriété de Bolzano-Weierstrass.
Théorème 2.1 SiE est un ensemble compact, toute fonction continue surE admet un minimum et un maximum.
On peut utiliser ce résultat afin de prouver l’équivalence de toutes les normes définies sur Rn, en montrant leur équivalence avec la norme sup.
3 Différentiabilité et dérivées partielles
3.1 Définitions et propriétés élémentaires
Définition 3.1 Soitf une fonction à valeurs réelles définie sur un ouvertU Rn. On dit quef admet une dérivée partielle au pointa pa1, , anq PU par rapport à saievariable si laieapplication partielle fi,a associée au point aest dérivable en tai. On note
Bf
Bxipaq fi,a1 paiq lim
hÑ0
fpa1, , ai1, ai h, ai 1, , anq fpaq
h .
Le calcul de Bf Bxi
consiste donc à ne dériver l’expression def que par rapport à la variablexi. Notons que les dérivées partielles Bf
Bxi
sont aussi des fonctions de nvariables à valeurs dans R. Par exemple, si fpx, y, zq 2xcosy, on a Bf
Bxpx, y, zq 2 cosy, Bf
Bypx, y, zq 2xsiny et Bf
Bzpx, y, zq 0.
Définition 3.2 Soient f une fonction à valeurs réelles définie sur un ouvert U Rn et v P Rn un vecteur fixé. La dérivée def en a P U suivant la direction v est la valeur de la dérivée de la fonction d’une variablefv,aptq fpa tvqen t0 si elle existe, c’est-à-dire lim
tÑ0
fpa tvq fpaq
t .
Intuitivement cette dernière quantité mesure les variations def lorsqu’on se déplace autour deadans la direction du vecteurv à la « vitesse »}v}. On voit en particulier que Bf
Bxipaq correspond à la dérivée enasuivant le vecteur de la base canoniqueεpiq.
Définition 3.3 Soit f une fonction définie sur un ouvert U Rn et à valeurs dans Rm. On dit quef estdifférentiableen un point aPU s’il existe une application linéaire deRn dansRm, notée dfpaqtelle que, pour touthPRn de norme suffisamment petite,
fpa hq fpaq dfpaqphq }h}εphq, avec lim
hÑ0εphq 0. L’application dfpaq est appelée différentielle def au point a, ou encore application linéaire tangentedef au point a.
La formule ci-dessus n’est rien d’autre qu’un développement limité de f à l’ordre 1 au voisinage de a. Dans le cas d’une fonction d’une variable à valeurs réelles, cette définition redonne la notion classique de dérivabilité, et on a alors dfpaqphq f1paqh. Clairement, si f est différentiable au point a, elle est continue en ce point.
Dans le cas d’une fonction de n variables et à valeurs dans R, dfpaq est une forme linéaire de Rn (donc à valeurs dansR). Pourh ph1, , hnq PRn, on peut donc écriredfpaqphq α1h1 αnhn, où lesαi sont des réels. On vérifie aisément qu’en fait,αi Bf
Bxipaq. Le vecteur
∇fpaq: Bf
Bx1paq, , Bf Bxnpaq
est appelé legradient def au pointa. On a donc
fpa hq fpaq ∇fpaq h }h}εphq fpaq
¸n i1
Bf
Bxipaqhi }h}εphq.
On déduit en particulier que la dérivée def enasuivant le vecteur v est donnée par le produit scalaire
∇fpaq v.
Ainsi, une fonction différentiable en un pointaadmet des dérivées partielles et plus généralement des dérivées suivant tout vecteur en ce point. La réciproque est fausse : il existe des fonctions qui admettent des dérivées suivant tout vecteur en un point mais ne sont même pas continues en ce point. On pourra étudier le comportement au pointp0,0qde la fonction définie parfpx, yq y2{xsix0 etfp0, yq 0.
Dans le cas d’une fonctionf denvariables à valeurs dansRm, on vérifie quedfpaqest une application linéaire deRn dansRm. Sa matrice, rectangulaire de taillemn, dans les bases canoniques deRn dans Rm est notée Dfpaq. Son élément de ligne i et de colonne j est donné par Bfi
Bxjpaq. Cette matrice est appeléematrice jacobiennedef au pointa. On peut écrire, pour chaque composante def,
fipa hq fipaq
¸n j1
Bfi
Bxjpaqhi }h}εiphq, mais aussi matriciellement, dans les bases canoniques,
fpa hq fpaq Dfpaqh }h}εphq.
3.2 Opérations sur les dérivées, fonctions C
1Les propriétés suivantes se prouvent de façon élémentaire :
1. Sif est constante, alors dfpxq est l’application linéaire nulle, pour toutx. Si f est linéaire, alors dfpxq f pour toutx.
2. Une combinaison linéaire de deux (ou d’un nombre fini de) fonctions différentiables en un point est différentiable, et on adpαf βgqpaq αdfpaq βdgpaq, ce qui s’écrit aussi∇pαf βgqpaq α∇fpaq β∇gpaqou encore Bpαf βgq
Bxi paq αBf
Bxipaq β Bg Bxipaq.
3. Sif etg sont deux fonctions à valeurs réelles différentiables au pointa, alorsf gl’est aussi et on a la formule de Leibniz∇pf gqpaq f∇gpaq g∇fpaq.
4. Sif est différentiable au pointaet g est différentiable au pointfpaq, alorsgf est différentiable enaetdpgfqpaq dgpfpaqq dfpaq.
La dernière propriété signifie que la matrice jacobienne degf enaest obtenue en effectuant le produit de la matrice jacobienne de g en fpaq par la matrice jacobienne def en a (on rappelle que le produit des matrices n’est pas commutatif). Dans le cas oùf :Rn ÑRet g:RÑR, on obtient∇pgfqpaq g1pfpaqq∇fpaq. Un exemple d’application est le suivant : si f est différentiable et non nulle au point a, g1{f l’est aussi et
∇gpaq ∇fpaq fpaq2 .
Un cas plus délicat est celui oùf : Rm ÑRn et g :Rn ÑR. Le théorème de composition donne alors
∇pgfqpaq pdfpaqqT∇gpfpaqq. Ceci se traduit aussi par la règle Bpgfq
Bxi paq
¸n j1
Bfj
BxipaqBg Bxjpfpaqq.
Les résultats qui suivent généralisent des propriétés bien connues pour les fonctions d’une variable.
Théorème 3.1 Si une fonctionf à valeurs réelles est différentiable en tout point du segmentS d’extré- mitésxety, on a
|fpxq fpyq| ¤sup
zPS}∇fpzq} }xy}.
Par conséquent, si f est différentiable sur un ouvert convexe U, et si C sup
zPU
}∇fpzq} est fini, alors f estC-lipschitzienne surU.
Dans le cas des fonctions à valeurs vectorielles, on a le même résultat en remplaçant|fpxq fpyq|par }fpxq fpyq}et}∇fpzq}par~dfpzq~.
Théorème 3.2 Si U est un ouvert connexe et ∇fpxq est nul en tout point xPU alors f est constante surU.
Dans le cas des fonctions à valeurs vectorielles, on a le même résultat en remplaçant∇fpxqpardfpxq. La nécessité de supposerU connexe dans ce dernier théorème vient du fait que sinon, on peut le séparer en deux partie disjointesUXU1etUXU2et considérer une fonctionf qui prend deux valeurs constantes différentes sur chaque partie.
Théorème 3.3 Sif est une fonction définie surRn (ou plus généralement sur un convexe) et à valeurs dansR, et si laiedérivée partielle Bf
Bxi est partout nulle, alorsfpxqne dépend que desxj pourji, i.e.
ne dépend pas de saie variable.
On a vu qu’une fonction dont les dérivées partielles sont partout définies n’est pas nécessairement différentiable. La situation est différente lorsque ces dérivées partielles sont continues.
Définition 3.4 Une fonctionf définie sur un ouvert U deRn et à valeurs dansRest dite de classeC1 sur U si ses dérivées partielles Bf
Bxi sont des fonctions continues sur U. On note C1pUq l’ensemble des fonctions de classeC1 surU.
Cette définition se généralise aux fonctions vectorielles en écrivant que toutes les composantesf1, , fm
ont cette propriété.
Théorème 3.4 Une fonction C1 sur un ouvert U de Rn est différentiable en tout point de U et sa différentielle est une fonction continue.
Définition 3.5 Une fonction f de classe C1 sur un ouvert U de Rn, à valeurs dans Rm, est un C1- difféomorphisme s’il existe un ouvert V de Rm tel que f soit bijective de U dans V, et si la bijection réciproquef1 est aussi de classe C1.
UnC1-difféomorphisme est parfois appeléchangement de variable. Le théorème de composition montre que pour toutxPU, on a alors
dfpxq dpf1qpfpxqq Id et dpf1qpfpxqq dfpxq Id.
Par conséquent,dfpxqest inversible pour toutxet
dpf1qpfpxqq rdfpxqs1.
Ceci nous montre aussi qu’on a nécessairementmn: unC1-difféomorphisme ne peut exister qu’entre espaces de même dimension.
Définition 3.6 Pour toute fonction f de classe C1 définie sur un ouvert U de Rn à valeurs dans Rn, on appellejacobien def enxle déterminant dedfpxq (ou deDfpxq), et on note cette quantité Jfpxq.
Dans le cas d’unC1-difféomorphisme,Jfpxqne s’annule pas puisquedfpxqest inversible pour toutx.
3.3 Dérivées partielles d’ordre supérieur, fonctions C
kDéfinition 3.7 Une fonction f définie sur un ouvert U Rn et à valeurs dans Rest de classe C2 si elle est de classeC1 et si ses dérivées partielles sont aussi de classeC1. On note
B2f BxiBxj
B Bf
Bxj
Bxi
,
c’est-à-dire la ie dérivée partielle de la je dérivée partielle de f. Lorsque i j, on utilise la notation simplifiée B2f
Bxi2.
Un résultat fondamental est la relation de Schwarz qui affirme que l’ordre des variables peut être souvent échangé dans le calcul des dérivées partielles sans altérer le résultat.
Théorème 3.5 Sif est de classeC2 sur un ouvert U Rn, on a en tout point de U B2f
BxiBxj
B2f BxjBxi
.
Ce résultat nous montre que la matrice des dérivées partielles d’ordre2enx D2fpxq
B2f BxiBxjpxq
i,j1,,n
est une matrice symétrique. On l’appelle lamatrice hessienne def au point x.
Plus généralement, si les propriétés de f le permettent, on construit par récurrence les dérivées par- tielles d’ordrek,
Bkf Bxik Bxi1
B
Bk1f Bxik1 Bxi1
Bxik
,
oùi1, , ik sont des indices choisis dans t1, , nuqui correspondent aux variables par rapports aux- quelles on dérive successivement.
Définition 3.8 Une fonction f définie sur un ouvertU Rn et à valeurs dans R est de classe Ck si toutes ses dérivées partielles d’ordre au plusk sont définies et continues sur U. On dit que f est C8 si elle est de classeCk pour tout k¡0.
Cette définition se généralise aux fonctions vectorielles en écrivant que toutes les composantesf1, , fm
ont cette propriété.
En appliquant successivement la relation de Schwarz, on voit que l’ordre d’apparition des variablesxi
dans la dérivation peut être permuté. On emploie donc la notation Bkf
Bx1k1 Bxnkn,
pour désigner la dérivée partielle d’ordrekfaisant intervenirki fois la variablexiaveck1 kn k.
Les propriétés suivantes se démontrent par récurrence surk.
1. Une combinaison linéaire de deux (ou d’un nombre fini de) fonctionsCk est aussi de classeCk. 2. Sif et gsont deux fonctions à valeurs réelles et de classe Ck, alorsf gl’est aussi.
3. Sif est de classe Ck d’un ouvert U Rn dansRm et si g est de classeCk d’un ouvert V Rm contenantfpUqdansRp, alorsgf est de classeCk deU dansRp.
4. Sif est unC1-difféomorphisme et est de classeCk, la réciproquef1est aussi de classeCk.
3.4 Points critiques et extrema
Définition 3.9 Soit f une fonction C1 définie sur un ouvert U Rn et à valeurs réelles. On dit que xPU est unpoint critiquedef si ∇fpxq 0.
Cette définition s’étend aux fonctions à valeurs vectorielles en remplaçant∇fpxqpardfpxq.
Définition 3.10 Soit f une fonction définie sur un ensembleE Rn et à valeurs réelles. On dit que f admet un minimum global au point xP E si fpxq ¤ fpyq pour tout y P E. On dit que f admet un minimum localau pointxPEs’il existe un ouvertU contenantxtel quefpxq ¤fpyqpour toutyPUXE.
On définit de la même manière la notion de maximum global ou local. On utilise la dénomination d’extremumpour désigner sans distinction un maximum ou minimum. On a déjà signalé l’existence d’un maximum et minimum global sur un compact. Par ailleurs, si f admet un extremum local enx, alors, pour toutuPRn, la fonction d’une variableguptq fpx tuqadmet un extremum local ent0 et par conséquentg1p0q ∇fpxq u0. Commeuest arbitraire, ceci entraîne le résultat suivant.
Théorème 3.6 Soitf une fonction C1 définie sur un ouvert U Rn et à valeurs dansR. Si f admet un extremum local en un pointxPU, alorsxest un point critique def.
Être un point critique est donc une condition nécessaire pour être un extremum, elle n’est cependant pas suffisante : on peut considérer par exemple la fonctionfpx, yq x2y2 au pointp0,0q.
Afin d’identifier plus précisément les extrema parmi les points critiques, on est amené à introduire un développement limité au deuxième ordre qui fait intervenir la matrice hessienne.
Théorème 3.7 Soitf une fonction C2 définie sur un ouvertU Rn et à valeurs réelles. PourxPU et pour touthPRn suffisamment petit, on a
fpx hq fpxq ∇fpxq h 1
2rD2fpxqhs h }h}2εphq, où lim
hÑ0εphq 0.
Le terme du deuxième ordre s’écrit plus précisément en fonction des dérivées partielles rD2fpxqhs h
¸n i1
¸n j1
B2f
BxiBxjpxqhihj. C’est laforme quadratiqueassociée à la matriceD2fpxq.
On rappelle qu’une matrice symétrique se diagonalise dans une base orthonormale et que toutes ses valeurs propres sont réelles. En notantpf1, , fnqetpλ1, , λnqla base orthonormale de vecteurs propres et les valeurs propres de la matriceD2fpxq, et en décomposanthdans cette base selonh
¸n i1
˜hifi, on obtient l’expression plus simple
rD2fpxqhs h
¸n i1
λih˜i 2.
On peut à partir de cette remarque obtenir une condition nécessaire pour avoir un extremum au pointx qui précise celle de point critique énoncée précédemment.
Théorème 3.8 Soitf une fonction C2 définie sur un ouvert U Rn et à valeurs réelles. Si f admet un minimum local au point x, alors les valeurs propres de D2fpxq sont toutes positives ou nulles. Si f admet un maximum local enx, alors les valeurs propres deD2fpxqsont toutes négatives ou nulles.
On peut aussi obtenir une condition suffisante pour avoir un extremum au pointx.
Théorème 3.9 Soit f une fonctionC2 définie sur un ouvert U Rn et à valeurs réelles. Soitx PU un point critique def. Si les valeurs propres de D2fpxqsont toutes strictement positives, alorsf admet un minimum local au pointx. Si les valeurs propres deD2fpxqsont toutes strictement négatives, alorsf admet un maximum local au pointx.
Quandn2, la matrice hessienne est de taille 22 et il est alors particulièrement aidé d’obtenir le signe desλi. Il suffit de remarquer que le déterminantdetpD2fpxqqvautλ1λ2et que la traceTrpD2fpxqq vaut λ1 λ2. On voit donc que si x est un point critique et si detpD2fpxqq ¡ 0, alors f admet un extremum au point x. On voit aussi que cet extremum est un maximum si TrpD2fpxqq 0 et un minimum siTrpD2fpxqq ¡0.
3.5 Opérateurs du calcul différentiel
Il est fréquent d’identifier le symbole ∇ à un « vecteur » de coordonnées B
Bx1
, , B Bxn
que l’on
« applique » àf pour obtenir ∇f. Notons bien que cette identification est purement symbolique et n’a rien de rigoureux, mais elle peut être très utile d’un point de vue mnémotechnique.
De la même façon, sig pg1, , gnqest une fonction vectorielle de classeC1deRn dansRn, c’est-à- dire un champ de vecteurs surRn, on définit ladivergencedegcomme le « produit scalaire » de ∇avec g, c’est-à-dire
divg:∇g
¸n i1
Bgi Bxi
.
Sif est une fonction de classeC2 deRn dansR, alors∇f est un champ de vecteurs de classeC1surRn, et on appellelaplaciendef sa divergence, notée
∆f :divp∇fq
¸n i1
B2f Bxi2.
Enfin, rappelons que le produit vectoriel de deux vecteursx px1, x2, x3q et y py1, y2, y3q deR3 est donné par
x^y px2y3x3y2, x3y1x1y3, x1y2x2y1q.
Sig pg1, g2, g3qest un champ de vecteurs de classeC1 surR3, on définit ainsi son rotationnelcomme le champ de vecteurs
rotg:∇^g Bg3
Bx2
Bg2 Bx3
,Bg1 Bx3
Bg3 Bx1
,Bg2 Bx1
Bg1 Bx2
.
En dimension2, le produit vectoriel dex px1, x2qety py1, y2qest le déterminantx1y2x2y1, qui est la seule composante non nulle du produit vectoriel des vecteurs px1, x2,0qet y py1, y2,0q. On définit donc le rotationnel d’un champ de vecteurs g pg1, g2q de classeC1 sur R2 comme la fonction deR2 dansR
rotg:∇^g Bg2
Bx1 Bg1
Bx2
.
Les opérateurs∇,div,∆etrotsont utilisés en permanence dans les équations issues de la physique et de la mécanique. Voici quelques formules que l’on pourra démontrer en exercice. Les fonctionsf et g sont supposées avoir une régularité suffisante pour que les formules aient un sens.
1. Sif :RnÑRetg:RnÑRn, on a divpf gq fdivg ∇fg.
2. Sif :R3ÑRet g:R3ÑR3, on arotpf gq frotg ∇f^g.
3. Sif :R3ÑR, on a rotp∇fq 0.
4. Sig:R3ÑR3, on adivprotfq 0.
5. Sif :R3ÑR3, on arotprotfq ∇pdivfq ∆f, où∆f : p∆f1,∆f2,∆f3q.
4 Résultats plus avancés
4.1 Équations aux dérivées partielles
De nombreux phénomènes physiques se modélisent par des équations faisant intervenir les dérivées partielles de la fonction solution de l’équation. De telles équations sont appeléeséquations aux dérivées partielleset souvent notées EDP.
L’exemple le plus élémentaire d’EDP est le problème suivant : on cherche une fonctionf denvariables de classeC1deRndansRqui vérifie Bf
Bx1 0. Le théorème 3.3 nous donne aussitôt les solutions de cette équation : toute fonction ne dépendant que depx2, . . . , xnq.
Prenons maintenant un exemple moins trivial : l’équation de transport. Étant donné un réel c0, on cherche une fonctionudépendant depx, tqde classeC1 deR2 dansRqui vérifie
Bu Bt cBu
Bx0.
On peut faire le changement de variablesyxctetzx ctqui est clairement unC1-difféomorphisme deR2, et on poseupx, tq vpy, zq. On voit alors que l’équation se ré-écrit comme
Bv Bz 0.
Commev ne dépend que dey, cela signifie queupx, tqpeut s’exprimer uniquement en fonction dexct.
On dit aussi que uest constante le long des droites caractéristiquesd’équation x x0 ct, pour tout x0PR. En imposant unecondition initialeau tempst0,
upx,0q u0pxq,
oùu0 est une fonction fixée, on voit ainsi que la solution de l’équation transport s’écrit upx, tq u0pxctq,
ce qui correspond au « déplacement » de la fonctionu0 à la vitessecle long de l’axe des x.
Voici d’autres exemples d’équations aux dérivées partielles.
1. L’équation de la chaleur : étant donnéa¡0 etu0, on chercheupx, tqde classeC2deRR dans Rqui vérifie
Bu
Bt aB2u
Bx2 0, t¡0 et upx,0q u0pxq. On pourra essayer de montrer que la solution est donnée par la formule
upx, tq p2πatq1{2
» 8
8
u0pxyqexp
y2 2at
dy.
2. L’équation des ondes : étant donnécPR, on chercheupx, tqde classeC2 deR2dansRqui vérifie B2u
Bt2 c2B2u Bx2 0.
On pourra à nouveau utiliser le changement de variablespx, tq Ñ py, zqpour décrire la solution à partir des conditions initialesu0pxq upx,0qetu1pxq Bu
Btpx,0q.
3. L’équation de Burgers : on chercheupx, tqde classeC1 deRR dansRqui vérifie Bu
Bt uBu
Bx 0, t¡0 et upx,0q u0pxq.
Il s’agit d’une équation non linéaireà cause de la présence du facteur uqui signifie que la vitesse est proportionnelle à l’amplitude de la solution. On pourra essayer de montrer queuest constante le long des droites caractéristiques d’équationxx0 u0px0qtpour toutx0PR, et de comprendre pourquoi les solutions de cette équation ne peuvent pas rester de classeC1(ni même continues) au bout d’un temps critiqueT ¡0.
4.2 Inversion locale et fonctions implicites
Un résultat classique pour les fonctions d’une variable affirme que sif estC1etf1pxq 0, alorsf est strictement monotone sur un intervalleIcontenant xet est une bijection entre les intervalles I etfpIq. De plus la bijection réciproque est aussi de classeC1.
Afin d’établir un résultat du même type pour les fonctions de plusieurs variables, on utilise un résultat simple mais fondamental : le théorème du point fixe de Picard. Rappelons quexest unpoint fixe d’une fonctionf sifpxq x.
Théorème 4.1 SoitERn etf :EÑE une fonctionC-lipschitzienne avecC 1. Alors f admet un unique point fixexPE.
Ce théorème se démontre en remarquant que toute suitepxnqn¥0définie parxnfpxn1qavecx0PE vérifie}xn 1xn} ¤Cn}x1x0}ce qui entraîne qu’elle est de Cauchy. Sa limite est nécessairement un point fixe def et son unicité découle de la propriété}fpxq fpyq} ¤C}xy}.
On considère à présent une fonctionf de classeC1 sur un ouvertU Rn et à valeurs dans Rn, telle quedfpxq soit inversible pour un certainxPU. On peut étudier le caractère bijectif def au voisinage dexen considérantz PRn tel que}zfpxq} ¤ε, et en cherchant une solution y x hà l’équation zfpyq. En utilisant la différentiabilité def enx, on peut ré-écrire cette équation comme
zfpxq dfpxqphq φphq,
oùφest une fonction C1 telle queφp0q 0 et dφp0q 0. La solution hde l’équationz fpx hq est aussi solution du problème de point fixe
h rdfpxqs1pfpxq zq rdfpxqs1pφphqq:Fphq.
On vérifie alors que pourεsuffisamment petit, il existeα¡0 tel queF est C-lipschitzienne deBp0, αq dans Bp0, αq avec C 1. En appliquant théorème du point fixe, on en déduit l’existence d’un unique antécédent y de z dans Bpx, αq. Ce raisonnement nous conduit au théorème d’inversion locale énoncé ci-dessous.
Théorème 4.2 Soitf de classeC1 sur un ouvertU Rn et à valeurs dans Rn et soitxPU telle que dfpxq est inversible. Alors il existe deux ouverts,U1U et V tels que xPU1 et fpxq PV et tels quef est unC1-difféomorphisme deU1 dansV.
Il existe une version de ce théorème qui permet d’établir la propriété de C1-difféomorphisme sur la totalité du domaineU. C’est lethéorème d’inversion globale.
Théorème 4.3 Soit f de classe C1 sur un ouvert U Rn et à valeurs dans Rn, et telle que f est injective sur U. Alors fpUq est un ouvert V deRn. Dans ces conditions, f est un C1-difféomorphisme deU dansV si et seulement si dfpxq est inversible en tout pointxdeU.
Une application du théorème d’inversion locale concerne le problème suivant : si f est une fonction C1 de deux variables, on considère l’équation fpx, yq 0, et on cherche à comprendre si cette équation est, en un certain sens, équivalente à l’équationygpxq, oùgest une fonction d’une variable. L’exemple de la fonction fpx, yq x2 y21 nous montre que ceci n’est possible que localement : certaines portions du cercle-unité s’identifient à la courbe d’équationy p1x2q1{2, d’autres à celle d’équation y p1x2q1{2. D’autre portions, comme celles au voisinage du pointp1,0q, ne peuvent s’identifier à un graphe de fonction. Lethéorème des fonctions implicitesdonne un résultat général allant dans ce sens.
Théorème 4.4 Soientf une fonctionC1 deR2 dansR, etpx0, y0q PR2 tel quefpx0, y0q 0 et tel que Bf
Bypx0, y0q 0. Alors il existe deux intervalles ouvertsI etJ tels quex0PI ety0PJ, et une fonctiong de classeC1 deI dansJ telle que pour tout px, yq PIJ, on ait
fpx, yq 0ôygpxq.
De plus, on a
g1pxq Bf
Bxpx, gpxqq Bf
Bypx, gpxqq .
La preuve de ce théorème peut s’effectuer en considérant la fonction hpx, yq px, fpx, yqqet en lui appliquant le théorème d’inversion locale qui permet de définirpx, gpxqqcomme l’antécédent depx,0q.
Le théorème des fonctions implicites se généralise aux fonctions de plus de deux variables : si f est C1 deRnRmdansRmavecfpx0, y0q 0et si sadifférentielle par rapport à la variabley est inversible enpx0, y0q, alors il existe deux ouvertsU et V tels quex0PU et y0PV, et une fonctiong de classeC1 deU dansV telle que pour toutpx, yq PUV on aitfpx, yq 0si et seulement siygpxq.
5 Construction de l’intégrale multiple
Cette partie sera rapidement étudiée en cours et n’est pas détaillée ici. On abordera essentiellement la construction de l’intégrale multiple sur un rectangle, on définira la notion de domaine quarrable, et on donnera les propriétés fondamentales de l’intégrale multiple sur un quarrable.
6 Calcul des intégrales multiples
6.1 Le théorème de Fubini
Il est bien connu que le calcul des intégrales des fonctions d’une variable est lié au calcul des primitives : sif est telle quef F1, on a
»b a
fptqdtFpbq Fpaq: rFpxqsba.
Le calcul pratique des intégrales multiples se heurte au fait que la notion de primitive est uniquement bien définie pour les fonctions d’une variable. Le théorème de Fubini offre un moyen de ramener le calcul d’une intégrale multiple à celui d’intégrales de fonctions d’une variable. Une version élémentaire de ce théorème s’énonce pour les fonctions de deux variables définies sur un rectangle.
Théorème 6.1 Soitf une fonction continue deR ra, bsrc, dsdansR. SiFpxq
»d c
fpx, yqdy, alors
F est continue et on a ¼
R
fpx, yqdxdy
»b a
Fpxqdx.
Ce résultat peut aussi s’écrire sous la forme
¼
R
fpx, yqdxdy
»b a
»d c
fpx, yqdy
dx.
En échangeant le rôle des variablesxet y, on voit que l’on a aussi
¼
R
fpx, yqdxdy
»d c
»b a
fpx, yqdx
dy,
autrement dit, l’ordre des variables d’intégration n’importe pas.
Il existe de multiples formes plus générales du théorème de Fubini. On peut tout d’abord considérer des fonctions denvariables continues sur un rectangleR ra1, b1s ran, bns. On a alors
»
»
R
fpxqdx
»b1 a1
»b2 a2
»bn1 an1
»bn an
fpxqdxn
dxn1 dx2
dx1,
et l’ordre d’intégration peut être arbitrairement permuté sans changer le résultat.
On peut ensuite considérer des fonctions denvariables continues sur un ensemble quarrableEcontenu dansR ra1, b1s ran, bns. Divisons l’ensemble des variables en deux partiest1, , muet tm 1, , nu, et notonsx px1, , xnq: py, zqavecy px1, , xmqetz pxm 1, , xnq, etfpy, zq: fpxq. On noteT ra1, b1s ram, bms, et
Ey: tzPRnmpy, zq PEu,
lasectionde l’ensemble E dont lesm premières coordonnées sont données pary. En supposant que les ensemblesEy sont quarrables, on peut alors montrer que la fonctionF définie par
Fpyq
»
Ey
fpy, zqdz est intégrable au sens de Riemann, et que l’on a
»
E
fpxqdx
»
T
»
Ey
fpy, zqdz
dy.
Par exemple, dans le cas des fonctions de3 variables et avecm1, cela revient à « couper le domaine en tranches » et à calculer sur chaque tranche une intégrale de deux variables que l’on intègre ensuite par rapport à la variable restante. À nouveau, il est possible de changer l’ordre des variables dans l’intégration.
Il est intéressant de noter que pour un domaine général, la continuité def n’entraîne pas nécessairement celle deFpyq: on pourra considérer par exemple une fonction constante sur un domaine en forme de L constitué de3carrés adjacents.
Enfin, il est possible d’appliquer le théorème de Fubini à des classes de fonctions plus générales que les fonctions continues, par exemple à certaines fonctions continues par morceaux.
6.2 Changements de variables
Soit φ unC1-difféomorphisme envoyant un ensemble F sur un E φpFq. On vérifie aisément que F est fermé (resp. ouvert) si et seulement si E est fermé (resp. ouvert). On peut aussi montrer que E est quarrable si et seulement siF est quarrable. Sif est une fonction intégrable surE, on va chercher à relier l’intégrale def surE à celle defφsurF.
Considérons tout d’abord le cas particulier oùφest une application affine, c’est-à-dire φpxq Ax b,
avecbPRn etA une matricenninversible.
Théorème 6.2 Lorsque φest une application affine du type ci-dessus, on a
»
E
fpxqdx |detA|
»
F
pf φqpyqdy.
La preuve de ce théorème s’effectue en raisonnant sur des rectangles élémentaires. On constate intui- tivement que l’élément infinitésimal rectangulairedy est transformé parφen un élément infinitésimaldx avec|dx| |detA| |dy|.
Quand φest un C1-difféomorphisme quelconque, si l’on se place au voisinage de y, φest proche de l’application affine
φ˜pzq φpyq dφpyqpzyq,
ce qui signifie (toujours intuitivement) que l’élément infinitésimal rectangulairedy au voisinage dey est transformé parφen un élément infinitésimaldxavec|dx| |Jφpyq| |dy|, oùJφpyqest le jacobien deφen y. Ceci justifie le résultat suivant dont la preuve est difficile.
Théorème 6.3 Siφest un C1 difféomorphisme quelconque, on a
»
E
fpxqdx
»
F
pfφqpyq|Jφpyq|dy.
Voici l’application de ce théorème pour trois changements de variables très classiques :
1. Coordonnées polaires pr, θq dans R2 : px, yq φpr, θq prcosθ, rsinθq et Jφpr, θq r. Si fpx, yq gpr, θqavecgfφ, on peut écrire
¼
E
fpx, yqdxdy
¼
F
gpr, θqrdrdθ.
2. Coordonnées cylindriquespr, θ, zqdansR3:px, y, zq φpr, θ, zq prcosθ, rsinθ, zqetJφpr, θq r. Sifpx, y, zq gpr, θ, zqavecgfφ, on peut écrire
½
E
fpx, y, zqdxdydz
½
F
gpr, θ, zqrdrdθdz.
3. Coordonnées sphériquespr, θ, ϕqdansR3:px, y, zq φpr, θ, ϕq prcosθsinϕ, rsinθsinϕ, rcosϕq etJφpr, θq r2sinϕ. Sifpx, y, zq gpr, θ, ϕqavecgf φ, on peut écrire
½
E
fpx, y, zqdxdydz
½
F
gpr, θ, ϕqr2|sinϕ|drdθdϕ.
6.3 Intégrales généralisées
Il est aussi possible d’étendre aux fonctions de plusieurs variables la notion d’intégrale généralisée.
Définition 6.1 SoitE un ensemble borné ou non. On dit que f estlocalement intégrable surE si elle est intégrable sur tout fermé borné quarrable contenu dansE.
Définition 6.2 Soit E un ensemble borné ou non. Une fonction f est dite intégrable surE sif et |f| sont localement intégrables surE et si, pour toutε¡0, il existe un fermé bornéF E tel que, pour tout fermé borné quarrableGEzF, on a »
G
|fpxq|dx¤ε.
On voit que cette propriété entraîne l’existence d’un nombreI tel que, pour tout ε¡0, il existe un fermé bornéF E tel que, pour tout fermé borné quarrableGvérifiantF GE, on a
I
»
G
fpxqdx ¤ε.
Le nombreIest appelé l’intégrale def sur Eet est noté I³
Efpxqdx. On peut ainsi définir l’intégrale généralisée sur un domaine non borné, un ensemble fermé privé d’un point, de sa frontière, etc. La définition ci-dessus équivaut à la propriété qu’il existe une constanteC 8telle que
»
G
|fpxq|dx¤C,
pour tout ensembleGfermé borné quarrable contenu dansE. Cette dernière propriété est souvent plus facile à vérifier car il suffit qu’elle soit valable pour une familleF de fermés bornés telle que tout fermé borné quarrable contenu dans E soit contenu dans unG P F. Par exemple, pour que f admette une intégrale généralisée surRn, il suffit qu’il existe C 8telle que
»
Bp0,Rq|fpxq|dx¤C,
pour toutR¡0. Les propriétés classiques des intégrales énoncées dans les sections précédentes s’étendent aux intégrales généralisées. Il est en particulier possible d’appliquer les techniques de calcul basées sur le
