TD 5 : Intégrales curvilignes

mathématiques - S2

TD 5 : Intégrales curvilignes

exercices théoriques 1. On considère les pointA(0,1), B(1,1), C(2,0).

On noteC1 le demi-cercle de diamètre[AC]contenantO,C2 le quart de cercle de centre(1,0)contenantB etC.

Calculer les intégrales curvilignes : (a) R

[BC]y²dx−x²dy (b) R

C₂y²dx−x²dy (c) R

[AC](x+y)dx+ (x−y)dy (d) R

C₁(x+y)dx+ (x−y)dy

2. Calculer les intégrales des formes différentielle xdx+x²dyet xdx+ y²dysur le bord du carré[0,1]×[0,1].

3. Calculer l’intégrale de la forme différentielleydx+zdy+xdzsur l’arc d’hélice d’équation x(t) = cos(t), y(t) = sin(t), z(t) = t entre les points(1,0,0)et(1,0,2).

4. Calculer la circulation des champs de vecteurs U~ = −y~ı + x~ et V~ =y~ı+x~sur l’ellipse définie parx(t) =acos(t),y(t) = bsin(t).

exercices pratiques

1. Le poids d’un point de masse m et d’altitude z est donné par l’ex- pression P~ = −mg(z)~k avec g(z) = g0

R R+z

2

(R = 6348km, g0 = 9,81m.s⁻²).

(a) Cette force est-elle conservative ?

(b) Déterminer l’expression du travailW tel queP .d~l~ =dW.

(c) Déterminer les approximations de P~ d’ordre 0 et 1, siz est petit devantR.

2. On rappelle que l’expression du théorème d’Ampère dans le vide est R

CB.~~ dl = µ₀P^N

i=1Ii, où C désigne un contour enlaçant N conduc- teurs parcourus par des courantsI1, . . . , IN.

(a) On admet que l’induction magnétiqueB~ à distancead’un fil rec- tiligne infini parcouru par un courantI est tangente au cercle de rayonasitué dans un plan orthogonal au fil.

Calculer sa norme.

(b) On admet que l’inductionB~ créée sur l’âme d’une bobine torique deN spires parcourues par un courantIest dirigée selon l’âme du tore, et que sa norme est constante (on néglige les effets de bord).

Calculer cette norme.