PCSI1, Fabert (Metz) Électromagnétisme , TD n°1 2010 – 2011
Approche globale du champ ( E, ~ ~ B )
Exercice 1 Symétries
Soit un plan repéré par les axes(Ox)et(Oy). Une chargeq placée enP crée un champ électro- statique qui vaut le vecteur représenté au pointM. Nous faisons suivre la même transformation aux pointsP etM.
O x P
M
P1
M1
P2
M2
P3 α M3
P4
M4
Représenter le champE~ au cours de ces transformations.
(P,M)−−−−−−−−−−−translation→(P1,M1) (P,M) rotation d’angleα
−−−−−−−−−−−−−−−−→(P2,M2) (P,M) symétrie par rapport à(yOz)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→(P3,M3) (P,M) symétrie par rapport au pointO
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→(P4,M4)
Exercice 2 Lire les lignes de champ
Quatre charges sont disposées aux quatre coins d’un carré, celle en haut à droite est positive.
–2 –1 0 1 2
–3 –2 –1 0 1 2 3
1. Orienter les lignes de champ et en déduire le signe de chaque charge.
2. Déterminer les symétries du champ.
3. Voyez-vous un point de champ nul ?
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Exercice 3 Distributions équivalentes
Le schéma (a) ci-dessous représente une sphère de centre O et de rayon R portant la charge surfaciqueσ(θ)=σ0cosθ.
Le schéma (b) représente deux boules de rayonsR, de centres respectifsO+etO−d’abscisses+a et−asur l’axe(Oz), chargées uniformément en volume avec les densités respectives+ρ0et−ρ0.
θ +
+ +
+ + +
−
−
−
−
−
−
(a)
O O+
θ +ρ0
O−
−ρ0
(b)
Montrer que la première distribution peut être obtenue comme la limite de la seconde lorsque la distanceatend vers zéro, à condition d’imposer une relation particulière entreρ0,aetσ0.
Exercice 4 Charge dans une sphère
Une boule de rayon R est chargée avec la densité volumiqueρ(r)=ρ0 1−r2 R2
!
où rest la distance au centre.
Déterminer la charge contenue dans une boule quelconque de rayonr6R.
Exercice 5 Sphère non uniformément chargée en surface
On considère une sphère chargée en surface de charge surfaciqueσ(θ)=σ0cosθavec06θ6π (voir schéma ci-dessous).
θ
Déterminer le champE~ en tout point à l’intérieur de la sphère. On pourra utiliser les résultats de l’exercice 3.
Exercice 6 Cavité dans un cylindre
N fils infinis tous parcourus par un courant d’intensitéisont réunis sous la forme d’un cylindre de rayonRavec une densitén= N
πR2 de fils par unité de surface.
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O O1
1. Montrer que le champB~(M)en un pointM intérieur à ce cylindre peut s’exprimer vectoriel- lement en fonction deµ0,i,~uzet−−→
OM.
2. On enlève quelques fils du conducteur précédent qui présente alors une cavité cylindrique « dé- centrée » dont l’axe(O1z1)est parallèle à(Oz). Dans le reste du cylindre initial la densité de fil vaut toujoursn.
Déterminer le champ magnétique dans la cavité.
Exercice 7 Tore à section carrée
On considère un tore constitué de spires carrées de côtéa, le centre de chaque spire étant à la distancebdu centre du tore. Le nombreN de spires est très grand et chacune est parcourue par un courant d’intensitéi.
i
a b
vue en coupe vue de dessus
1. Déterminer le champ magnétiqueB~ créé en tout point de l’espace par le tore.
2. Déterminer l’expression du fluxΦdu champ magnétiqueB~ à travers une spire.
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