Paris 7 DEUG SSM QA 215-216
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EXAMEN PARTIEL D’ELECTROMAGNETISME t0= Samedi 28 avril, 9h.
∆t= 3h., sans documents
Les questions sont parfois ind´ependantes ; aussi ne vous d´ecouragez pas si vous ´echouez sur la premi`ere question d’un probl`eme ! Ce n’est pas parce qu’une question vaut peu/beaucoup de points qu’elle est n´ecessairement plus facile/difficile. Au contraire, une question facile est g´en´eralement consid´er´ee comme plus essentielle.
I. Jean-Baptiste, F´elix, et le champ magn´etique(4,5 points)
1)(0,75 pt.) Soit une spire carr´ee, de cˆot´ea, dans laquelle circule un courant d’intensit´eI. Avant tout calcul, quelles pr´edictions motiv´ees pouvez-vous ´enoncer `a propos du champ magn´etique. . . au centre de la spire ?. . . en un point de l’axe normal au plan de la spire ?
2)(1,5 pt.) Rappelez la formule de Biot et Savart dans le cas d’un circuit si`ege du courant I.
N’oubliez pas de donner la signification de chacun des symboles qui figurent dans la formule que vous avez ´ecrite.
3)(1 pt.) Un circuit comporte un segment rectiligne S. Calculez la contibution~bS(P) de ce segment au champ magn´etique cr´ee par le circuit enP distant deR du segment et d’o`u l’on voit les extr´emit´es de celui-ci sous les anglesθ1 etθ2.
4)(0,5 pt.) Quels moyens de v´erification de votre r´esultat pouvez-vous imaginer ?
5)(0,75 pt.) Quel est finalement le champ magn´etique au centre de la spire carr´ee origine de ce probl`eme ?
II. Forces magn´etiques (5 points)
1)(0,75 pt.) Une plaque “infinie”, d’´epaisseura, est le si`ege d’une densit´e de courant uniforme et constante
~j(x, y, z) =
½jz,ˆ siy∈]0, a[ ; 0, autrement.
Rappelez l’expression du champ magn´etique cr´e´e, en tout point, par cette source.
2)(1 pt.) Calculez la forced3F~ exerc´ee par ce champ sur un ´el´ement de volume de la distribution de courant.
3)(0,5 pt.) En d´eduire la valeur de la force r´esultanted2F~ exerc´ee par le champ magn´etique sur un ´el´ement de surface de la plaque. Ce r´esultat est-il surprenant ?
4)(1,5 pt.) On dispose, parall`element `a la pr´ec´edente,
`
a la distance b, une plaque identique, parcourue par la mˆeme densit´e de courant en sens oppos´e. Quelle est l’expression du champ magn´etique cr´e´e, en tout point, par le syst`eme des deux plaques ?
5)(1 pt) Calculez la force magn´etiqued3F~ qui s’exer- ce sur un ´el´ement de volume de la premi`ere plaque. En d´eduire la force magn´etique r´esultanted2F~ sur un ´el´ement de surface de cette mˆeme plaque.
6)(0,25 pt) Et qu’en est-il de la force sur un ´el´ement de surface de la deuxi`eme plaque ? Ce r´esultat est-il d´eran- geant ?
III. Loin d’une spire(8 points)
On s’int´eresse (chacun ses goˆuts) au champ magn´etique cr´e´e loin d’une spire circulaire de rayon a, si`ege d’un courant constant d’intensit´eI.
1)(0,5 pt) Quelles pr´edictions les sym´etries et invariances de cette source vous permettent-elles en ce qui concerne le potentiel vecteur cr´e´e ?
2)(1,25 pt) Rappelez l’expression int´egrale du potentiel vecteur cr´e´e par un circuit. Pr´ecisez soigneusement la signification de chacun des symboles apparaissant dans la formule.
3)(0,5 pt) Pour ´etudier la spire on choisit — sans beaucoup d’imagination, mais intelligemment — le rep`ere ci-contre. Calculez la composante Az(x, y, z) du potentiel vecteur au point P de coordonn´eesx,y et z.
4)(0,5 pt.) Etant donn´e un point S de la spire, calculez la distance SPen fonction de~rdf=−→OPet~r0 df=−→OS. En d´eduire une expression approch´ee de 1/SPlorsque le pointPest ´eloign´e de la spire.
5)(0,5 pt.) Calculez les composantes de ~r0 en fonction des coordonn´ees cylindriques du pointS. En d´eduire les composantes d’un d´eplacement infinit´esimald~r0 du pointS.
6)(1,25 pt.) Calculez les composantesAx(x, y, z) etAy(x, y, z) du potentiel vecteur enPloin de la spire.
7)(0,5 pt.) Montrez que le potentiel vecteur obtenu peut s’´ecrire, sous forme vectorielle ind´epen- dante du rep`ere,A(~~ r) =?, `a l’aide de quantit´es soigneusement d´efinies par leurs composantes dans le rep`ere ici adopt´e.
8)(0,75 pt.) Pouvez-vous pr´edire, sans calcul, la forme du champ magn´etiqueB(~~ r) qui s’en d´erive ? 9)(2 pt.) Quoi qu’il en soit, calculez `a l’aide des r´esultats des questions 3 et 6 les com- posantesBx(x, y, z),By(x, y, z),Bx(x, y, z) du champ magn´etique en un pointP´eloign´e.
10)(0,25 pt.) Montrez que ce champ peut s’´ecrire, sous forme vectorielle ind´ependante du rep`ere, B~(~r) =?.
IV. A propos d’une exp´erience effectu´ee en travaux pratiques(3 points)
Une ´etudiante tient, dans sa main, une petite boucle carr´ee, de cˆot´ea, constitu´ee d’un fil conducteur, de r´esistance totaleR. En la d´epla¸cant d’un mouvement de translation uniforme, elle fait passer cette boucle dans l’entrefer d’un fort aimant permanent. Pour les besoins de la mod´elisation, on commencera par supposer :
• que l’entrefer a pour section un carr´e de cˆot´e 2a, l’axe ˆx´etant choisi parall`ele `a l’un des cˆot´es (voir dessin) ;
• que le champB~ est `a peu pr`es uniforme dans l’entrefer (|x|et |y|< a) et nul `a l’ext´erieur (|x|ou|y|> a) ;
• que la vitesse~vde la boucle est suivant ˆx;
• que le plan de la boucle reste perpendiculaire au champ magn´etique, et que l’un des cˆot´es de la boucle est parall`ele `a l’axe ˆx.
1)(1,75 pt.) D´eterminez de fa¸con convaincante, en raisonnant sur la vitesse~vde la boucle, le sens (faire un dessin) et la grandeur du courant induit dans la boucle, au cours de chacune des phases du mouvement.
2)(1,25 pt.) Rassemblez ces r´esultats dans une repr´esentation graphique de la valeur alg´ebrique du courant induit en fonction du temps (on prendra comme origine des temps l’entr´ee de la boucle dans le champ B.~
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