Suites r´eelles et fonctions de la variable r´eelle

U.P.N - Sup Galil´ee Ann´ee scolaire 2012-2013 Formation Ing´enieurs

Harmonisation Math´ematiques

Feuille d’exercices 1

Suites r´eelles et fonctions de la variable r´eelle

Exercice 1

Montrer que la suite de terme g´en´eral un = _2n+1ⁿ⁺¹ converge vers une limite`. TrouverN(ε) tel que|un−`|<

εpour n > N(ε), avecε= 10⁻³. Exercice 2

Montrer que la suite de terme g´en´eralv_n= _n+1ⁿ² diverge et qu’elle tend vers l’infini. Trouver N =N(ε) minimum tel que v_n>10² pourn > N.

Exercice 3

Etudier la convergence des suites de terme g´´ en´eral : a. Arctan n+_n¹

b. √

n+ 1−√ n c. ⁿ

23(n−1)²

(n+1)²

d. ^sin_nⁿ e. ¹⁺⁽⁻¹⁾_n ⁿ f. (−1)ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾_(n+1)²2

Exercice 4 Soitxun r´eel.

a. D´eterminer la limite deu_n= E(x)+E(2x)+...+E(nx)

n² .

b. En d´eduire queQest dense dansR. Exercice 5

a. Soit un polynˆome de la forme P(x) = a2p+1x^2p+1+ a2px^2p+· · ·+a0aveca2p+1>0. Trouver lim_x→±∞P(x) puis lim_x→±∞e^P(x) + P(x). En d´eduire que e^P(x) + P(x) = 0 admet au moins une solution r´eelle.

b. Soit f : [0,1] → [0,1] une fonction continue. On se propose de montrer quef admet au moins un point fixe, c’est-`a-dire qu’il existe α dans [0,1] tel que f(α) = α.

Faire un graphique illustrant la situation. On consid´erera la fonctiong(x) =f(x)−x, le signe deg(0) et deg(1) et on utilisera le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires.

c. Soit f une application continue de R⁺ dans R telle que lim_x→∞f(x) =` < ∞. Illustrer cette situation par un graphique. On se propose de montrer quef est born´ee.

Autrement dit de v´erifier que l’ensemble{y∈R| ∃x, y= f(x)}est born´e. Montrer qu’il existeX >0 etε >0 tels que `−ε≤ f(x)≤ `+ε pour tout x≥X. Prouver le r´esultat en consid´erant les intervalles [0, X] et [X,+∞].

Exercice 6

a. Pr´eciser le domaine de d´efinition et la d´eriv´ee de la fonctionx7→ _cos^1√_x·

b. Calculer (x²e^x)⁽ⁿ⁾ (n∈N), `a l’aide de la formule de Leibniz.

c. En utilisant une r´ecurrence, montrer que la d´eriv´ee n<sup>i`eme</sup> de la fonction x7→x<sup>n−1</sup>e<sup>1x</sup> est ´egale `a la fonction x7→(−1)^{n e}

1 x

xⁿ⁺¹·

Exercice 7

Etudier la d´´ erivabilit´e des fonctions suivantes aux points x0 consid´er´es (on les prolongera au pr´ealable par conti- nuit´e si besoin est) :

f(x) =|x|x, x0= 0; g(x) =x²sin1

x, x0= 0;

h(x) =xsin 1

x, x0= 0; k(x) =xlogx, x0= 0 Exercice 8

a. Calculer lim_x→0²_sin^sinx_x−sinh^−2sinh_x^x en utilisant le th´eor`eme des accroissements finis.

b.Plus g´en´eralement, soientf etgdeux fonctions conti- nues en x0 ∈ R avec limx→x₀f(x) = limx→x₀g(x) = a.

On suppose de plus que f(x)6=g(x) pour x6=x0. Cal- culer lim_x→x0 ²_f(x)−g(x)^f(x)−2g(x)·

Exercice 9

a.Montrer que _x+1¹ <ln(x+ 1)−lnx < _x¹, ∀x∈R^∗+. b. En d´eduire que ln(n+ 1) < 1 + ¹₂ +· · ·+ _n¹ <

1 + lnn, ∀n∈N, n≥1.

c. Posonsun = 1 + ¹₂+· · ·+_n¹ −lnn. Montrer que la suite (un) est d´ecroissante (au moins `a partir d’un certain rang) et qu’elle est convergente.

Exercice 10

Soit (un)_n∈Nla suite r´eelle d´efinie par r´ecurrence en po- santu0= 1 etun+1=√

1 +un sin∈N^∗. a.Montrer que (un) est croissante et major´ee.

b.Montrer que (un) converge vers le nombre r´eel positif l qui v´erifiel²−l−1 = 0 et calculerl.

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