les cadres prévus à cet effet et vos raisonnements/calculs ci-dessous ou sur feuilles supplémentaires. Vos raison- nements peuvent faire appel à toutes vos connaissances mathématiques. Conseil : n’hésitez pas à commencer par le croquis.
Pour toute valeur strictement positive du paramètre réel a, on considère l’ellipse Ea d’équation cartésienne x2+ay2 = 1 et l’ellipseFa d’équation cartésienneax2+y2 = 1.
1. Pour quelles valeurs dea >0l’intersection Ea∩Fa est-elle un ensemble fini de points ? Pour chacune de ces valeurs, on appelle Pa le point de Ea∩Fa qui est de coordonnées positives (donc, situé dans le quadrant positif). Quelles sont les coordonnées de Pa, exprimées en fonction de a?
a∈
Pa= ( , )
2. On regarde le lieuLdu pointPapour toutes les valeurs dea >2. De quelle type de figure s’agit-il ( par exemple ellipse, arc de cercle, droite, branche d’hyperbole, . . . ) ? Donnez une description cartésienne de L. (c-à-d en exprimant des contraintes sur les coordonnéesxety, sans que le paramètreaapparaisse ; ces contraintes peuvent prendre la forme d’équations ou d’intervalles de valeurs ; par exemple{(x, y)|y= 1, x∈[−1,1]}est la description cartésienne d’un segment de droite)
L est
L={(x, y)| }
3. ReprésentezE2,F2,P2 etL sur un croquis.
Examen d’Admission Numéro: Géométrie, Juillet 2018 - Série 1.
4. Géométrie analytique :
Cette question prend place dans l’espace euclidien de repère OXY Z. Veuillez inscrire votre réponse finale dans les cadres prévus à cet effet et vos raisonnements/calculs ci-dessous ou sur feuilles supplémentaires. Vos raisonnements peuvent faire appel à toutes vos connaissances mathématiques. Conseil : n’hésitez pas à com- mencer par le croquis.
Sur les pentes de l’Himalaya les avalanches de neige sont fréquentes.
On modélise un versant de montagne par le planV d’équation cartésienne3x+4z= 1200. Au tempst= 0, une petite boule de neige (de rayon0) se forme enx= 0, y = 0, z= 300. Cette boule grossit en dévalant la pente, et au tempst≥0, est une sphère de rayont/10 tangente au versantV, au point de contact(t,0,300−3t/4).
1. Quelle est l’équation cartésienne de la boule de neige au tempst≥0?
Sphère≡
2. On regarde L, le lieu des centres de la boule de neige pour tous les temps t ≥ 0. Ce lieu est une demi-droite. Donnez des équations paramétriques de cette demi-droite.
Demi-droite des centres≡
3. L’Abominable Homme des Neiges a le malheur de se trouver sur la trajectoire de l’avalanche. On le modélise par une droite verticale, de coordonnéesx= 116, y= 0. A quel momenttgrumpf l’Abominable Homme des Neiges est-il percuté par la boule de neige ? (autrement dit, on cherche à quel moment la sphère intersecte la droite)
tgrumpf =
4. Représentez sur un croquis le versantV, la demi-droite des centres, l’Abominable Homme des Neiges et la boule de neige au moment de l’impact, le tout dans le plan OXZ .
dans les cadres prévus à cet effet et vos raisonnements/calculs ci-dessous ou sur feuilles supplémentaires.
Vos raisonnements peuvent faire appel à toutes vos connaissances mathématiques. Conseil : n’hésitez pas à commencer par le croquis.
On considère le cercle C centré en l’origine, et de rayon 1. Pour tout point P du cercle, de coordonnées (xP, yP), on considère la droite dP qui relie P au point de coordonnées(1,0). Si P = (1,0) alors on prend pourdP la tangente au cercleC en ce point.
1. Quelle est l’équation cartésienne dedP? Soit QP la projection orthogonale de l’origine sur la droite dP (dit autrement, QP est le point de dP le plus proche de l’origine). Exprimez les coordonnées de QP en fonction dexP etyP.
dP ≡
QP = ( , )
2. On regarde le lieu L du point QP, obtenu en faisant varier P sur tout le cercle C. De quelle type de figure s’agit-il (par exemple segment de droite, cercle, ellipse, . . . ) ? Quelle est son équation carté- sienne ?
Lest L≡
3. Faites un croquis où vous représentezC,P = (0,1),QP etL.
Examen d’Admission Numéro: Géométrie, Juillet 2018 - Série 2.
4. Géométrie analytique :
Cette question prend place dans l’espace euclidien de repère OXY Z. Veuillez inscrire votre réponse finale dans les cadres prévus à cet effet et vos raisonnements/calculs ci-dessous ou sur feuilles supplémentaires.
Vos raisonnements peuvent faire appel à toutes vos connaissances mathématiques. Conseil : n’hésitez pas à commencer par le croquis.
Jules César a décidé d’en finir une fois pour toutes avec ce village d’irréductibles Gaulois. Que le ciel leur tombe sur la tête !
Il fait placer une catapulte au camp romain de Tartopum, en (0,0,0). L’enceinte du village gaulois est un cercle centré en (400,0,0) de rayon 100, dans le plan horizontal z = 0. La trajectoire de chaque projectile (du poisson pas frais, notoirement impopulaire chez les Gaulois) est un arc de parabole contenue dans le plan OXZ, partant de(0,0,0), culminant à une hauteur dezmax= 150. L’artilleur romain peut régler la pente p de la trajectoire à son origine (c-à-d quepest le coefficient angulaire de la tangente à la parabole à l’origine).
1. Quelle est l’équation cartésienne (en x et z, étant entendu qu’on se situe dans le plan y = 0) de la parabole que suit la trajectoire, pour unpquelconque ?
Parabole≡
2. Pour quel intervalle de valeursp la trajectoire du projectile tombe-t-elle dans le village gaulois ?
p∈[ , ]
3. Faites un croquis de la situation dans le plan OXZ, où vous representez la position de la catapulte, le village gaulois, la trajectoire du projectile atteignant le chaudron du druide Panoramix (situé au centre du village).
coordonnées (1,0). On choisit à présent un point quelconque du cercleC, de coordonnées(x0, y0).
1. Décrivez par une équation cartésienne la droite d qui relie Q au point (x0, y0). Décrivez par une équation cartésienne la droiteequi relie le point P au point(x0, y0).
d≡ e≡
2. Décrivez par une équation cartésienne la médiatrice m du segment qui relie le point P au point (x0, y0).
m≡
3. On appelle I le point d’intersection entre m etd. On peut voir que la somme des longueurs IP et IQ est 4, quel que soit le choix de (x0, y0) sur le cercle — ce fait est admis, vous ne devez pas le démontrer. On appelleE le lieu du point I quand (x0, y0) parcourt le cercle. De quel type de lieu s’agit-il (cercle, hyperbole, segment, etc.) ? Quelle est l’équation cartésienne deE?
E est
E≡
4. Faites un schéma de la situation qui comprendC,Q,P,(x0, y0) (de votre choix),d,e,m,I,E.
Remarque :Veuillez inscrire votre réponse finale dans les cadres prévus à cet effet et vos raisonnements/calculs ci-dessous ou sur feuilles supplémentaires. Vos raisonnements peuvent faire appel à toutes vos connaissances mathématiques.
Examen d’Admission Numéro: Géométrie, Septembre 2018.
4. Géométrie analytique :
Lucky Luke, fine gâchette du Far West et infatigable redresseur de torts, rencontre les célèbres bandits Joe Dalton, Jack Dalton, William Dalton et Averell Dalton. Ceux-ci se tiennent sur un versant montagneuxV, plan d’équation cartésienney=z(l’axe des z est l’axe vertical).
Joe est représenté par un segment vertical de hauteur1, qui s’élève du point(3,3,3). Jack, par un segment vertical de hauteur2qui s’élève du point(4,4,4). William, par un segment vertical de hauteur3qui s’élève du point(5,5,5). Averell, par un segment vertical de hauteur4 qui s’élève du point(6,6,6).
1. Lucky Luke, tout en chevauchant son fidèle Jolly Jumper, perce d’une seule balle les 4 chapeaux des bandits. Le chapeau de chaque frère Dalton est assimilé à un point, qui est l’extrêmité supérieure du segment. La trajectoire de la balle suit une droite. Décrivez cette droite par des équations cartésiennes.
Trajectoire de la balle≡
2. De stupeur, Averell projette en l’air la citrouille qu’il se gardait pour l’heure du goûter. Lucky Luke, c’est plus fort que lui, dégaine à nouveau et tire une balle à partir du point(0,0,7)dont la trajectoire suit une droite de vecteur directeur (1,1,1), afin de percer la citrouille. Au moment de l’impact, la citrouille, sphère pleine de rayon 1, est centrée au point (6,6,12). Quel est le point d’entrée de la balle dans la citrouille ? Quel est le point de sortie ?
Point d’entrée= ( , , )
Point de sortie= ( , , )
Remarque :Veuillez inscrire votre réponse finale dans les cadres prévus à cet effet et vos raisonnements/calculs ci-dessous ou sur feuilles supplémentaires. Vos raisonnements peuvent faire appel à toutes vos connaissances mathématiques.
