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Soit la suite (U définie sur IN par : n)
0
1
2
1 15
+ ( )
16 16
n n
U
U U n IN
1. a) montrer par récurrence que : pour tout n de IN.
b) vérifier que : pour tout n de IN et que la suite (U n) est décroissante
c) en déduire que la suite (U est convergente. n)
2. soit la suite définie par : pour tout n de IN.
a) montrer que la suite est géométrique de raison , puis écrire Vn en fonction de n.
b) montrer que : pour tout n de IN et préciser la limite de la suite (U . n)
On considère dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct les points A(1,3,4) et B(0,1,2).
1. a) Montrer que :
b) Montrer que :2x2y z 0 est l’équation cartésienne du plan (OAB).
2. Soit la sphère d’équation : x2 y2 z2 6x6y6z 2 0
montrer que le point (3,-3,3) est le centre de la sphère et 5 est son rayon.
3. a) Montrer que le plan (OAB) est tangent à la sphère
b) Déterminer les coordonnées du point H point de contact du plan (OAB) et de la sphère .
1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l'équation : .
n 1 U
1
15 1
n n 16 n
U U U
Vn VnUn1 Vn 1
16
1 1 16
n
Un
o i j k; ; ;
2 2
OBOC i jk
S
S
S
S
C
2 8 41 0
z z
www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 2. On considère dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct
les points A, B et C et , d’affixes respectifs a 4 5i , b 3 4i . 6 7
c i et 4 7i
a) Calculer et en déduire que les points A, B et C sont alignés.
b) Soit z l’affixe du point M du plan et z' l’affixe du point M' image de M par la rotation R de centre et d’angle , montrer que : z iz 3 11i c) Déterminer l’image du point C par la rotation R , puis écrire sous une forme
trigonométrique le nombre complexe .
Une urne contient 10 boules numérotées :1,2,2,3,3,3,4,4,4,4 (indiscernables au toucher)
On tire de façon aléatoire ,successivement et sans remise, deux boules de l’urne.
1. On considère les événements A «tirer deux boules qui portent des numéros pairs»
Montrer que :
2. On reprend l’expérience précédente 3 fois en remettant les boules tirées à chaque fois.
Soit X la variable aléatoire liée au nombre de fois que A se réalise.
Montrer que : ( 1) 4
P X 9 , puis donner la loi de probabilité de X
I- Soit g la fonction définie sur par :
Le tableau suivant est le tableau de variation de la fonction g sur x 0 1 +∞
- 0 +
+∞ +∞
g(1) 1. Calculer g(1).
2. Déduire à partir du tableau ci-dessus que : pour tout x de
0;
.II - Soit f la fonction définie sur
0;
par :
o e e; ;1 2
c b a b
2
a c
1
P A 3
0;
g x( ) 2 1 2 lnx x
0;
g x
g x
( ) 0 g x
( ) 3 3 2( 1) ln
f x x x x
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Et
Cf sa courbe dans un repère orthonormé (unité 2cm).1. montrer que : , Interpréter géométriquement le résultat obtenu .
2. a) Montrer que : .
Pour calculer cette limite on écrira f x( ) sous la forme suivante :
b) montrer que la courbe admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage +
3. a) montrer que (x)=g(x) pour tout x de
0;
.b) en déduire que la fonction f est strictement croissante sur
0;
puis dresser son tableau de variation sur
0;
4. a) montrer que le point est un point d’inflexion de
b) montrer que : est une équation cartésienne de la tangente à au point I
c) construire dans le même repère la droite (T) et la courbe 5. a) Montrer que :
121 7
2 4
x dx .
b) En utilisant une intégration par partie montrer que :
12
x1 ln
x dx4ln274 c) calculer en l’air de la partie délimitée par la courbe
Cf ,l’axe des abscisses et les droites d’équations x=1 et x=2 . d) résoudre graphiquement l’inéquation :
sur l’intervalle
0;
.
o i j; ;0
lim
x f x
xlim f x
3 1
( ) 3 2 1 ln
f x x x
x x
Cf
(1, 0)
I Cf
1
y x T Cf
o i j; ; Cf( 1) ln 3( 1) x x 2 x
