*** Cours de mathématiques / Prof :Aloui Fahem / Bac Sc.Exp1&2 / Mai 2020 ***

Fonction exponentielle 1°. Définition et propriété

Définition On appelle fonction exponentielle la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien . L’image d’un réel ^x par la fonction exponentielle est noté ^{exp( )x} ou e^x . ^{exp : IR}_x^→_^IR_e^x*+ Conséquences

Pourtout réel ^x et pour tout réel strictement positif ^y , ^{y=ex ⇔ =x lny}

Pour tout réel x, ^{ln ex =x} Pour tout réel x0, ^{elnx =x} Pour tout ^x∈IR , ^{ex 0 ln e 1=} Application a/ Ecrire plus simple ^eln2 ; ^e-ln3 ; ^{ln e−2} ; ^{ln e−2ln 3}

Corrigé : ^{eln2 =2} ; ^{e-ln3 eln13 1}

= =3 ; ^{ln e−2 = −2} ; ^{ln e−2ln 3= −2 ln 3= −ln 9} b/ Déterminer ^x dans chacun des cas :

^{ex =2} ; ^{ex = −1} ; lnx=3 ; ^e2x+3=e ; ^{e2x −2 ex − =3 0} Corrigé : e^x = ⇔ =2 x ln2 ; e^x = −1 impossible car e^x 0 ; lnx= ⇔ =3 x e³ e^2x+3 = ⇔e 2x+ =3 lne⇔2x+ = ⇔ = −3 1 x 1

2 2 2

2 3 0 ( ) 2 3 0 0

x x x x x

x

− − = ⇔ − − = ⇔

⇒ =

e e e e X -2X-3 = 0 , X = e 

X = 3 ln3

d'ou Propriétés soit ^a et ^b deux réels .

P1. ^{ea+b = ea× e b} ; ^{e 1} e

a a

− = ; ^{e e}

e

a a b

b

− =

P2. Pour tout entier n , ^{ena =(e )a n}

P3. Pour tout entier naturel ^q≥2 , ^{e qa = q ea}

P4. Pour tout entier naturel q≥2 et tout entier ^p , ^{e pqa = qepa} Application Ecrire plus simple ^{6e2×e 32} et

3 2 4 4

e e

e⁻ . Corrigé :

2 2

3 3 3 11

6 e2×e 2 =e 6×e 2=e 6⁺2=e 2 ;

7 2

3 3

2 2 7 2 4

4 4 4 2 4

4 4

e e

e e = e e e e e

e⁻ e⁻

= × = × =

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2°. etuDe De la fonction exponentielle

Comme la fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien ; il est alors évident d'enduire les résultats qui se suivent :

• La fonction exponentielle est dérivable sur IR et sa dérivée est la fonction ^x^ex

• La fonction exponentielle est strictement croissante sur IR

• La fonction exponentielle est bijective de IR sur ^IR*+

• Limites lim e^x 0

x→ − ∞ = lim e^x

x→ + ∞ = +∞ e

lim

x

x x

→ + ∞

= + ∞

0

e 1

lim 1

x

x x

→

− =

• Tabeau de variation et représentation ghraphique ^x - ∞ + ∞

exp ’(x) +

+∞

exp 0

** La représentation graphique de la fonction exponentielle est le symétrique de celle de la fonction logarithme népérien par rapport à la droite d’équation ^y=x ** T’ : y = x+1 tangente au point d’abscisse 0

** La droite des abscisses est une asymptote à la courbe au voisinage de -∞ car ^{lim ex 0}

x→ − ∞ =

** La courbe admet une branche parabolique au voisinage de +∞ car lim ^e

x

x x

→ + ∞

= + ∞ . Conséquences

Pour tout réel x et ^y e^x =e^y⇔ =x y

Pour tout réel x et ^y e^x e^y⇔xy

Pour tout réel x0 0 e^x 1

Pour tout réel x0 e^x 1

Application Résoudre dans IR les inéquations suivantes : ^{e3x ≤ex2} ; ^{e3x 4ex} ; ^{ex x−( 1)1} Corrigé : * ^{e3x≤ex2 ⇔ 3x≤x2 ⇔ x2−3x≥0 ; S =}

]

] [

[

* ^e3x ^4ex ⇔ ^e3x ^eln4ex⇔^e3x ^ex+ln4⇔³xx+^{ln 4}⇔xln2 ; S = ln 2 ,

[

[

* ^{ex x( −1)}¹ ⇔ ^{ex x( −1)}^e0⇔ x x⁽ −¹⁾0 ; S = 0,1

] [

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Exercice 12 page 158 : ¹ ; IR

1 e^{x f}

f x x− D =

 + .

1°/ La fonction ^f est dérivable sur IR et on a ^{'( ) ( 1 ) ' 1 (1 e ) '}₂ ^{1 e} ₂ ⁰

1 e (1 e ) (1 e )

x x

x x x

f x = −x = + + = +

+ + +  .

'( ) 0

f x  pour tout x∈IR donc f est strictement croissante sur IR .

1 1

lim ( ) lim ( )

1 e^x

x f x x x

→ + ∞ = → + ∞ − = +∞ − = +∞

+ +∞

1 1

lim ( ) lim

1 e^x 1 0

x f x x x

→ − ∞ = → − ∞ − = −∞ − = −∞

+ +

^x - ∞ + ∞ f ’(^x) +

+∞

f -∞

2°& 3°/ Branches infinies et courbe de f

on a ^{lim ( ) et lim ( ) lim 1 1 0}

1 e^x

x f x x f x x x

→ + ∞ → +∞ → +∞

= +∞ − = − = − =

+ +∞ donc la droite

Δ1 :y = x est une asymptote oblique à la courbe de ^f au voisinage de +∞ .

et on a ^{lim ( ) et lim ( ) ( 1) lim 1 1 1 1 0}

1 e^x

x f x x f x x x

→ − ∞ = −∞ → −∞ − − = → +− ∞ − = − =

+ donc la droite

Δ2 : y = x – 1 est une asymptote oblique à la courbe de ^f au voisinage de -∞ et comme ,

( ) 1 0

1

( ) ( 1) 0

1

x x

x

x f x x

f x x

∈

− = − +

− − = +



 IR , on a :

e et e

e

pour tout

donc la courbe de ^f est en dessous de Δ1 et au dessus de Δ2 .

Exercice 5 Bac 2009 contrôle + Exercice 4 Bac 2012 contrôle + Exercice 3 Bac 2018 contrôle 2°. autres limites

Soit m et n deux entiers naturels non nuls

• lim ^me^nx 0

x

x

→ − ∞ = • lim ^en_m

x

x x

→ + ∞

= + ∞

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Application Calculer les limites ci-dessous :

2 2 2 2

3

1 e

lim ; lim ; lim ( e ) ; lim ( e e ) ; lim ( e e )

e 1 1

x

x x x x x

x

x x x

x x

x x x x

x → + ∞ → + ∞ → − ∞

→ − ∞ → − ∞

+ − − −

+ +

4°. la fonction ^x^{e u ( )x}

Théorème et corollaire Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I .

• La fonction ^x^{e u ( )x} est dérivable sur I et sa fonction dérivée est ^x^{u'( ) ex u ( )x} pour tout ^x∈I .

• Les primitives sur I de la fonction ^x^{u'( ) ex u ( )x} sont les fonctions ^{xeu ( )x+k , k∈IR} . Application a/ Calculer la dérivée de la fonction ^{f x:} ^x3e2x

b/ Déterminer la primitive de la fonction ^g:x^{− +ex (2x+1) ex2+x} qui s’annule en zéro . c/ Calculer les intégrales ^{1 2}

0

I=

∫

et ²

1 3 0

J=

∫

Exercice 16 page 159 f x^: x ^{2 e21x ;} Df ^IR

−

− + =

 .

1°/ La fonction ^f est dérivable sur IR et on a ^{'( ) 1 1e21} 2 f x x

−

= − .

1

2 2

'( ) 0 1 1e 0 e 2 ln 4

2

x x

f x x

− −

≥ ⇒ − ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≥ − d’où ^f est croissante sur

[

[

]

]

lim ( ) lim 2 e2 2 0

x

x f x x x

−

→ + ∞ = → + ∞ − + = +∞ − + = +∞

2

2 2 1 e

lim ( ) lim 2 e lim ( 1 )

2 2 (1 0 1 ( ))

2

x x

x f x x x x x

x x

− −

→ − ∞ = → − ∞ − + = → − ∞ − −

−

= −∞ − − × +∞ = +∞

^x - ∞ -ln4 + ∞ f ’(^x) - 0 +

+∞ +∞

f -ln4

2°/ Branches infinies et représentation ghraphique

On a ^{lim ( ) et lim ( ) ( 2) lim e2x 0}

x f x x f x x x

−

→ + ∞ = +∞ → + ∞ − − = → + ∞ = donc la droite D : y = x - 2

est une asymptote oblique à la courbe de ^f au voisinage de +∞ ; et on a aussi

( ) 2 1 e2 1

lim ( ) et lim lim 1 1 0 ( )

2 2

2

x

x x x

f x f x

x x x

−

→ − ∞ = +∞ → − ∞ = → − ∞ − − − = − − +∞ = −∞

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donc la courbe de ^f admet une branche parabolique de direction la droite des ordonnées au voisinage de -∞ .

3°/ Calcul et limite d’aire

2

0 0

2 0

2

2

( ) ( ) ( 2) e

2 e

2(1 e ) ua lim ( ) lim 2(1 e ) 2(1 0) 2ua

x

x

A f x x dx dx

A

λ λ

λ

λ

λ

λ λ

λ

λ

−

−

−

−

→+∞ →+∞

= − − =

 

= − 

 

= −

= − = − =

∫ ∫

Exercice

On considère la suite ^{( I )}n définie par ⁰

1

I ;

1

nt

n t dt n

−

= ∈

∫

2°/ a/ Calculer I et I0 1

b/ Montrer que ^* 1 2

; I I 1 ; I .

n

n n

n n

− +

∈ + −e

pour tout IN = Calculer alors

3°/ a/ Montrer que pour ^{t∈ −}

[

]

nt nt

n∈ t

+ 

IN , e e

pour tout e

b/ En déduire que n ^{* I}n ^{1 I .}n

∈IN ,  n

pour tout puis calculer la limte de

Exercice 4 Bac 2016 Contrôle + Exercice 3 Bac 2017 Principale

5°. fonction exponentielle De base a (a >0 ) Définition et conséquences Soit un réel ^a⁰.

• On appelle fonction exponentielle de base a, la fonction ^x^ax ( notons que ^{ax = exlna} ) .

• La fonction ^x^ax est dérivable sur IR et sa dérivée est la fonction ^x^{(lna) ax} .

• La fonction ^x^1x ( ^a=1 ) est une fonction constante .

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Limtes , tableau de variation et courbe de la fonction f :xa^x

0 a 1 a1

• La fonction xa^xest strictement décroissante sur IR

• lim a^x

x→ − ∞= + ∞ et ^{lim ax 0}

x→ + ∞=

• Tableau de variation

x - ∞ + ∞ f ’(^x) -

+∞

f 0

• Exemples de courbes

• La fonction xa^xest strictement croissante sur IR

• lim a^x 0

x→ − ∞= et ^{lim ax}

x→ + ∞= + ∞

• Tableau de variation ^x - ∞ + ∞ f ’(^x) +

+∞

f 0

• Exemples de courbes

Activités 5 et 6 page 152

6°. fonctions puissances

Définition et conséquences Soit ^r un rationnel .

• On appelle fonction puissance ^r la fonction ^x^{xr , x}⁰ ( notons que ^{xr = er lnx} ) .

• La fonction ^x^xr est dérivable sur ^IR*+ et sa dérivée est la fonction ^x ^{rxr 1−} .

• Les primitives sur ^IR*+ de la fonction ^x^xr sont les fonctions ^{1 r +1 k , k IR} xr +1x + ∈ . Exemple La fonction définie sur IR^*+ par ^{f x:} ^x23 est une fonction puissance .

La fonction ^f est dérivable sur ^IR*+ et sa dérivée est la fonction ^{'( ) 2 31} f x 3x

−

= .

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Une primitive de f sur ^IR*+ est ^{( ) 3 53 ,}

F x =5x +k k∈IR Limtes

Si r0

lim r 0

x

x

→ + ∞= ; ^r

0

lim

x

x

→ +

= + ∞ Si r0

r r r r

r r

0 0

ln e

lim ; lim 0 ; lim 0 ; lim ln 0 ; lim

x

x x x

x x

x x x x x x

x x

+ +

→ +∞ → →

→ + ∞ → + ∞

= +∞ = = = = + ∞

Application Calculer les limites ci-dessous :

2 2 4 4 2 4 2 4 1

3 3 3 3 3 3 3 3 3

0 0 0

lim ; lim ; lim ; lim ; lim ( ) ; lim ( ) ln ; lim e .^x

x x x x x x x

x x x x x x x x x x

+ + +

−

→ + ∞ → → + ∞ → → +∞ → → + ∞

− −

Exercice On se propose d’étudier et de représenter la fonction définie sur^IR+^* par ^{f x( )=x23} .

• ^f est dérivable sur ^IR*+et ^{'( ) 2 31 0} f x 3x

−

=  pour ^x∈^IR*+ donc ^f est strictement croissante sur ^IR*+

2 3

0 0

lim ( ) lim 0

x x

f x x

+ +

→ →

= = et

2

lim ( ) lim 3

x x

f x x

→ + ∞ = → + ∞ = + ∞

de plus

2

3 1

( ) 3

lim lim lim 0

x

x x

f x x

x x x

−

→ + ∞

→ + ∞ → + ∞

= = =

donc la courbe de ^f admet une branche parabolique de direction la droite des abscisses

• auvoisinage de +∞ .

• Tableau de variation

^x - ∞ + ∞ f ’(^x) +

+∞

f 0

• Représentation graphique

• Calculer l’aire de la partie limitée par les courbes de f et f ^-1 et les droites d’équations x=0 et x=1

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