Cours d’Introduction sur les Antennes.
Christine Letrou
GET/INT - D ´epartement CITI
Module RA12 - Avril-Mai 2007
Plan
1
Introduction
2
Le rayonnement ´electromagn ´etique
Int ´egration des ´equations de Maxwell avec sources Approximation champ lointain
Calcul du champ rayonn ´e par une antenne
3
Caract ´eristiques des antennes
Diagramme de rayonnement et directivit ´e L’antenne c ˆot ´e circuit
Antenne en r ´eception
Bilan de liaison en espace libre
Plan
1
Introduction
2
Le rayonnement ´electromagn ´etique
Int ´egration des ´equations de Maxwell avec sources Approximation champ lointain
Calcul du champ rayonn ´e par une antenne
3
Caract ´eristiques des antennes
Diagramme de rayonnement et directivit ´e L’antenne c ˆot ´e circuit
Antenne en r ´eception
Bilan de liaison en espace libre
Fonctions d’une antenne
1. Optimiser le couplage (ou la conversion)
`a l’ ´emission : ondes guid ´ees (ou signal localis ´e)→ondes rayonn ´ees, en r ´eception : onde plane incidente→ondes guid ´ees (ou signal localis ´e).
Dip ˆoles - c ˆable coaxial (alimentation ou sortie)
Cornet et bride de fixation
`a un guide rectangulaire
Cornet conique
connect ´e `a un m ´elangeur millim ´etrique et son oscillateur local (boˆıtiers, technologie guide d’onde)
Antenne `a fente annulaire et m ´elangeur int ´egr ´e
(diodes Schottky, couplage `a une ligne coplanaire)
Fonctions d’une antenne
2. “Focaliser” le rayonnement
dans une direction privil ´egi ´ee : antenne directive dans un plan privil ´egi ´e : antenne omnidirectionnelle
Antenne semi-directive
pour la station de base : alignement d’antennes dip ˆoles ou pav ´es Antenne
omnidirectionnelle sur le mobile : filaire, m ´etallique ou imprim ´ee
Syst `eme spatial (communication, diffusion) :
antennes directives
Les plus courantes : antennes `a r ´eflecteur(s) Mais aussi :
- panneaux rayonnants (r ´eseaux d’antennes imprim ´ees,
´eventuellement actives) - antennes lentilles (stations locales)
Panneau rayonnant Antenne pav ´e (patch) (structure multicouche :
antenne bi-fr ´equence, et couplage ´electromagn ´etique)
Int ´er ˆet de la propagation libre / guid ´ee ?
Communications mobiles
“Sans fil” intra-b ˆatiment et liaisons hertziennes (fixes terrestres) en compl ´ement ou remplacement de r ´eseaux c ˆabl ´es (rapidit ´e de d ´eploiement, investissements moins lourds)
Applications spatiales (diffusion, communication, g ´eolocalisation)
Radar (surveillance, aide `a la navigation) Exploitation du spectre radio (spectroscopie) en
t ´el ´ed ´etection, sondage atmosph ´erique, astrophysique...
P ´en ´etration dans les mat ´eriaux : d ´etection d’objets enfouis,
sondage d’ouvrages d’art, identification (RFID), chauffage,
hyperthermie...
Caract ´eristiques des antennes
Antenne passive = dispositif r ´eciproque, par cons ´equent :
Ses propri ´et ´es en r ´eception se d ´eduisent de ses propri ´et ´es en ´emission et r ´eciproquement.
`a l’ ´emission `a la r ´eception bande de fr ´equence bande de fr ´equence
r ´epartition angulaire variation de la puissance rec¸ue de l’ ´energie rayonn ´ee en fonction de la direction d’arriv ´ee
de l’onde incidente diagramme de rayonnement diagramme de r ´eception
directivit ´e aire effective maximale
pertes (ohmiques, d ´esadaptation) pertes (ohmiques, d ´esadaptation)
gain aire effective
polarisation de l’onde polarisation de l’onde incidente rayonn ´ee par l’antenne qui maximise la puissance rec¸ue tenue en puissance temp ´erature (de bruit) d’antenne
PIRE G/T (facteur de m ´erite)
Plan
1
Introduction
2
Le rayonnement ´electromagn ´etique
Int ´egration des ´equations de Maxwell avec sources Approximation champ lointain
Calcul du champ rayonn ´e par une antenne
3
Caract ´eristiques des antennes
Diagramme de rayonnement et directivit ´e L’antenne c ˆot ´e circuit
Antenne en r ´eception
Bilan de liaison en espace libre
Int ´egration des ´equations de Maxwell avec sources
R ´egime harmonique : ´equations de Maxwell en amplitudes complexes
On suppose une variation en fonction du temps de la forme exp(jωt).
−→
rotE~ = −jω~B (1)
−→
rotH~ = ~J+jω~D (2)
div~D = ρ (3)
div~B = 0 (4)
En milieu parfait (di ´electrique sans pertes, homog `ene isotrope) :
D~ = ~E (5)
~B = µ ~H (6)
Rappel des notations standards :
Vitesse (de phase ou de groupe) d’une onde plane dans l’air :c=1/√
oµo=3·108m/s . Vitesse d’une onde plane dans un di ´electrique de permittivit ´e relativer=/o:v=c/√
r. Fr ´equence :f. Pulsation :ω=2πf.
Longueur d’onde :λ=v/f. Nombre d’onde :k=2π/λ=ω/v=ω√ r/c=ω√
µ.
Int ´egration des ´equations de Maxwell avec sources
Equations de Maxwell en milieu parfait (1) −→
rotE~ =−jωµ~H (3) divE~ =ρ/
(2) −→
rotH~ =~J+jω~E (4) divH~ =0
(4)⇒ ∃~Atel queH~ =−→ rot~A (1) devient alors :−→
rot(~E+jωµ ~A) =0, d’o `u :
∃Vtel que :E~+jωµ~A=−−→
grad V (7)
Pour calculer~Eet~Hil suffit de connaˆıtre~AetV(4 composantes au lieu de 6) (2) et (7)⇒∆~~A+k2~A=−~J+−−→
grad(div~A+jωV) (3) et (7)⇒∆V+jωµdiv~A=−ρ/
et on peut choisir(~A,V)v ´erifiant la condition de Lorentz :div~A+jωV=0.
Int ´egration des ´equations de Maxwell avec sources
On obtient alors :
Equations de Helmholtz inhomog `enes
∆ ~ ~ A + k
2A ~ = − ~ J (8)
∆V + k
2V = −ρ/ (9)
Expressions de E ~ et H ~ en fonction de ~ A
E ~ = −jωµ~ A + 1 jω
−−→ grad (div A) ~ (10) H ~ = − →
rot ~ A (11)
Il suffit de r ´esoudre (8) pour en d ´eduire E ~ et H. ~
Int ´egration des ´equations de Maxwell avec sources
Rep `ere utilis ´e pour les points d’observation
Int ´egration des ´equations de Maxwell avec sources
Source en M
0: notations utilis ´ees
Int ´egration des ´equations de Maxwell avec sources
Solution de∆~~A+k2~A=−~J (+condition de rayonnement de Sommerfeld) :
Soit une source de courant ´el ´ementaire (unitaire et ponctuelle), localis ´ee au point O :
~ J (O) = δ(0)ˆ u
savec u ˆ
sun vecteur unitaire.
Soit ~ A(M) le potentiel vecteur cr ´e ´e au point M par cette source :
~ A(M) = exp(−jk r )
4πr u ˆ
savec r = OM
Int ´egration des ´equations de Maxwell avec sources
Solution de∆~~A+k2~A=−~J (+condition de rayonnement de Sommerfeld) :
Soit une source de courant ´el ´ementaire (unitaire et ponctuelle), localis ´ee au point O :
~ J (O) = δ(0)ˆ u
savec u ˆ
sun vecteur unitaire.
Soit ~ A(M) le potentiel vecteur cr ´e ´e au point M par cette source :
~ A(M) = exp(−jk r )
4πr u ˆ
savec r = OM
Int ´egration des ´equations de Maxwell avec sources
Solution de∆~~A+k2~A=−~J (+condition de rayonnement de Sommerfeld) :
Soit une source de courant ´el ´ementaire (unitaire et ponctuelle), localis ´ee au point M
0:
~ J (M
0) = δ(M
0)ˆ u
savec u ˆ
sun vecteur unitaire.
Soit ~ A(M) le potentiel vecteur cr ´e ´e au point M par cette source :
~ A(M) = exp(−jkR)
4πR u ˆ
savec R = M
0M = k~ r − ~ r
0k
Int ´egration des ´equations de Maxwell avec sources
Solution de∆~~A+k2~A=−~J (+condition de rayonnement de Sommerfeld) :
Soit une distribution (lin ´eique, surfacique ou volumique) de sources de courants ´el ´ementaires ~ J (M
0), M
0∈ S.
Soit ~ A(M) le potentiel vecteur cr ´e ´e au point M par cette distribution source.
~ A est est une fonction lin ´eaire de ~ J, donc on applique le principe de superposition des sources :
~ A(M) = Z
S
dM
0~ J(M
0) exp(−jkR)
4πR (A · m)
avec R = M
0M = k~ r − ~ r
0k
Int ´egration des ´equations de Maxwell avec sources
Champs rayonn ´es par une distribution source~J(M0)
Rappel :E~ =−jωµ~A+jω1 −−→
grad(div~A) et H~ =−→ rot~A
E~(M) = Z
S
dM0 exp(−jkR) 4πR
×(−jωµ)
»
−1+3j 1 kR+ 3
(kR)2 –
(~J(M0)·R) ˆˆ R
+
» 1−j 1
kR− 1 (kR)2
–
~J(M0)
!
H(M) =~ Z
S
dM0 exp(−jkR)
4πR ×jk
» 1− j
kR –
(~J(M0)∧R)ˆ
Notations :~R=−−→
M0MetRˆ=~RR
Approximation champ lointain
Source “ ´etendue” centr ´ee sur l’origine
Approximation champ lointain
Approximation champ lointain
A grande distance de l’antenne (kr1etr0r) :
1 - On n ´eglige les termes en 1/(kR)d’ordres les plus ´elev ´es carkR1 (la distance entre n’importe quel point source et le point d’observation est tr `es grande par rapport `a la longueur d’onde).
E~(M) = Z
S
dM0 exp(−jkR) 4πR
×(−jωµ)
»
−1+3j 1 kR+ 3
(kR)2 –
(~J(M0)·R) ˆˆ R
+
» 1−j 1
kR− 1 (kR)2
–
~J(M0)
!
H(M) =~ Z
S
dM0 exp(−jkR)
4πR ×jk
» 1− j
kR –
(~J(M0)∧R)ˆ
Approximation champ lointain
Approximation champ lointain
A grande distance de l’antenne (kr1etr0r) :
1 - On n ´eglige les termes en 1/(kR)d’ordres les plus ´elev ´es carkR1 (la distance entre n’importe quel point source et le point d’observation est tr `es grande par rapport `a la longueur d’onde).
E~(M) = Z
S
dM0 exp(−jkR) 4πR
×(−jωµ) (−1)(~J(M0)·R) ˆˆ R
+~J(M0)
!
H(M~ ) = Z
S
dM0 exp(−jkR)
4πR ×jk(~J(M0)∧R)ˆ
Approximation champ lointain
A grande distance de l’antenne (kr1etr0r) :
2 - On remplaceRˆ parˆr car les droites reliant n’importe quel point source avec le point d’observation sont `a peu de chose pr `es parall `eles entre elles.
r0etrdu m ˆeme ordre de grandeur “Champ lointain” :r0r Directions d’observation depuis 2 points sources
Approximation champ lointain
A grande distance de l’antenne (kr1etr0r) :
2 - On remplaceRˆ parˆr car les droites reliant n’importe quel point source avec le point d’observation sont `a peu de chose pr `es parall `eles entre elles.
E ~ (M) = Z
S
dM
0exp(−jkR)
4πR × (−jωµ)
~ J(M
0) − ( ~ J(M
0) · R) ˆ R ˆ H(M) ~ =
Z
S
dM
0exp(−jkR)
4πR × jk ( ~ J(M
0) ∧ R) ˆ
Approximation champ lointain
A grande distance de l’antenne (kr1etr0r) :
2 - On remplaceRˆ parˆr car les droites reliant n’importe quel point source avec le point d’observation sont `a peu de chose pr `es parall `eles entre elles.
E ~ (M) = Z
S
dM
0exp(−jkR)
4πR × (−jωµ)
~ J(M
0) − ( ~ J(M
0) · ˆ r ) ˆ r H(M) ~ =
Z
S
dM
0exp(−jkR)
4πR × jk ( ~ J(M
0) ∧ ˆ r )
Approximation champ lointain
3 - Dans le terme de phase, on utilise l’approximation au 1er ordre dekR pourkr grand :kR=kk−−→
OM−−−→
OM0k=kk~r−r~0k ≈kr−kˆr·r~0. D’o `u : exp(−jkR)≈exp(−jkr)exp(+jkˆr·~r0).
4 - Dans le terme d’amplitude, approximation d’ordre 0 : 1/R≈1/r.
Justification :
Dans le terme en 1/R, on peut se contenter de l’approximation `a l’ordre 0 deR: 1/R≈1r(1+1rˆr·r~0)≈1/rcar|ˆr·r~0| r.
Dans l’exponentielle complexe, on ne peut pas n ´egliger le terme du 1er ordre :
|kˆr·r~0|est en effet de l’ordre de grandeur dekr0, soit 2πr0/λ, qui n’est pas n ´egligeable par rapport `a 2πsauf si la distribution source est quasi-ponctuelle.
Approximation champ lointain
E~(M) = (−jωµ) Z
S
dM0exp(−jkR) 4πR
“~J(M0)−(~J(M0)·ˆr) ˆr”
H(M)~ = jk Z
S
dM0exp(−jkR) 4πR
“~J(M0)∧ˆr”
Approximation champ lointain
E(M)~ = (−jωµ) Z
S
dM0exp(−jkr)
4πr exp(+jkˆr·r~0)“
~J(M0)−(~J(M0)·ˆr) ˆr”
H(M)~ = jk Z
S
dM0exp(−jkr)
4πr exp(+jkˆr·r~0)“
~J(M0)∧ˆr”
Approximation champ lointain
E(M)~ = exp(−jkr) 4πr (−jωµ)
Z
S
dM0“
~J(M0)−(~J(M0)·ˆr) ˆr”
exp(+jkˆr ·r~0)
H(M)~ = exp(−jkr) 4πr jk
Z
S
dM0“
~J(M0)∧ˆr”
exp(+jkˆr·r~0)
Approximation champ lointain
E(M)~ = exp(−jkr) 4πr (−jωµ)
Z
S
dM0“
~J(M0)−(~J(M0)·ˆr) ˆr”
exp(+jkˆr ·r~0)
H(M)~ = exp(−jkr) 4πr jk
Z
S
dM0“
~J(M0)∧ˆr”
exp(+jkˆr·r~0)
Par convention, on consid `ere que l’approximation champ lointain est valide si les termes de phase qui ont ´et ´e n ´eglig ´es dans les int ´egrands sont inf ´erieurs
`aπ/8.
Approximation champ lointain
E(M)~ = exp(−jkr) 4πr (−jωµ)
Z
S
dM0“
~J(M0)−(~J(M0)·ˆr) ˆr”
exp(+jkˆr ·r~0)
H(M)~ = exp(−jkr) 4πr jk
Z
S
dM0“
~J(M0)∧ˆr”
exp(+jkˆr·r~0)
Par convention, on consid `ere que l’approximation champ lointain est valide si les termes de phase qui ont ´et ´e n ´eglig ´es dans les int ´egrands sont inf ´erieurs
`aπ/8.
Domaine de validit ´e de l’approximation champ lointain r > 2 D
2λ
D est la plus grande dimension de l’objet rayonnant
Approximation champ lointain
Propri ´et ´es du champ rayonn ´e `a grande distance d’une antenne
Le champ ´electrique est transverse E(M) =~ exp(−jkr)
4πr (−jωµ) Z
S
dM0“
~J(M0)−(~J(M0)·ˆr) ˆr”
exp(+jkˆr·~r0)
~J(M0)−(~J(M0)·ˆr) ˆr =~J⊥(M0)
o `u~J⊥(M0)est la composante de~J(M0)orthogonale `a la direction
d’observationˆr, encore appel ´ee composante “transverse” de~J(M0)dans la direction d’observationˆr.
Approximation champ lointain
Propri ´et ´es du champ rayonn ´e `a grande distance d’une antenne
Le champ ´electrique est transverse
~E(M) =exp(−jkr) 4πr (−jωµ)
Z
S
dM0~J⊥(M0)exp(+jkˆr·r~0)
Expression du champ lointain en fonction du potentiel vecteur Rappel :~A(M) =R
SdM0~J(M0)exp(−jkR)4πR En champ lointain :~A(M) = exp(−jkr4πr )R
SdM0~J(M0)exp(+jkˆr·~r0)
E(M) = ~ −jωµ ~ A
⊥(M)
Approximation champ lointain
Base locale de vecteurs en coordonn ´ees sph ´eriques
Approximation champ lointain
Propri ´et ´es du champ rayonn ´e `a grande distance d’une antenne
~H(M)se d ´eduit deˆr et~E(M)comme dans le cas d’une onde plane
~H(M) = exp(−jkr) 4πr (−jk)
Z
S
dM0“
ˆr∧~J(M0)
”exp(+jkˆr·r~0)
= 1
ηˆr∧~E(M) Notations :
η=q
µ
est l’imp ´edance d’onde du milieu di ´electrique. Dans l’air,η=120π(Ω).
⇓
L’onde rayonn ´ee en champ lointain est localement plane.
Approximation champ lointain
Propri ´et ´es du champ rayonn ´e `a grande distance d’une antenne
Champ rayonn ´e = onde localement plane Au pointM: ~E(M)⊥ˆr et H(M) =~ 1
ηˆr∧E(M)~ ˆr=
−−→ OM OM
!
Approximation champ lointain
Propri ´et ´es du champ rayonn ´e `a grande distance d’une antenne
Champ rayonn ´e = onde localement plane Au pointM: ~E(M)⊥ˆr et H(M) =~ 1
ηˆr∧E(M)~ ˆr=
−−→ OM OM
!
Champ rayonn ´e = onde sph ´erique×fonction angulaire
~E(M) = exp(−jkr) 4πr (−jωµ)
Z
S
dM0~J⊥(M0)exp(+jkˆr·r~0) =exp(−jkr) 4πr
~f(ˆr)
Approximation champ lointain
Propri ´et ´es du champ rayonn ´e `a grande distance d’une antenne
Champ rayonn ´e = onde localement plane Au pointM: ~E(M)⊥ˆr et H(M) =~ 1
ηˆr∧E(M)~ ˆr=
−−→ OM OM
!
Champ rayonn ´e = onde sph ´erique×fonction angulaire
~E(M) = exp(−jkr) 4πr (−jωµ)
Z
S
dM0~J⊥(M0)exp(+jkˆr·r~0) =exp(−jkr) 4πr
~f(ˆr)
~f(ˆr) =“caract ´eristique vectorielle de rayonnement”de l’antenne.
Approximation champ lointain
Propri ´et ´es du champ rayonn ´e `a grande distance d’une antenne
Champ rayonn ´e = onde localement plane Au pointM: ~E(M)⊥ˆr et H(M) =~ 1
ηˆr∧E(M)~ ˆr=
−−→ OM OM
!
Champ rayonn ´e = onde sph ´erique×fonction angulaire
~E(M) = exp(−jkr) 4πr (−jωµ)
Z
S
dM0~J⊥(M0)exp(+jkˆr·r~0) =exp(−jkr) 4πr
~f(ˆr)
Amplitude complexef(ˆr) “diagramme de rayonnement”.
Vecteur unitaireˆf(ˆr) =vecteur de polarisationdu champ rayonn ´e.
Calcul du champ rayonn ´e par une antenne
Evaluer ~ f (ˆ r ) = Probl `eme ext ´erieur
On suppose connus les courants ´electriques sur l’antenne.
On cherche `a calculer le champ lointain de l’antenne.
Solution directe
E(M) = ~ −jωµ ~ A
⊥(M)
Pour des antennes complexes :
On superpose les champs rayonn ´es par des sources
´el ´ementaires translat ´ees : on utilise le th ´eor `eme de translation et le principe de superposition.
On remplace les sources “physiques” par des sources
´equivalentes “virtuelles” : on utilise le principe d’unicit ´e et
le th ´eor `eme d’ ´equivalence.
Calcul du champ rayonn ´e par une antenne
Principe de superposition
Le champ rayonn ´e par un ensemble de sources est la somme des champs rayonn ´es par ces sources (on suppose connu le courant ou la densit ´e de courant pr ´esente au niveau de chaque source en pr ´esence des autres).
Th ´eor `eme de translation
E(M) = ~ exp(−jkr )
4πr (−jωµ) Z
S
dM
0~ J
⊥(M
0) exp(+jkˆ r · ~ r
0)
Si la source est translat ´ee du vecteur ~ δ, alors ~ r
0est remplac ´e par ~ r
0+ ~ δ, d’o `u le champ rayonn ´e par la source translat ´ee :
E ~
~δ(M) = E ~ (M) exp(+jk ˆ r · ~ δ)
Calcul du champ rayonn ´e par une antenne
Application : antenne r ´eseau Il s’agit d’un ensemble d’antennes
identiques,
translat ´ees les unes par rapport aux autres,
qui sont le si `ege de la m ˆeme distribution de courant `a une constante multiplicative pr `es.
Exemple :
Alignements de dip ˆoles demi-onde
Calcul du champ rayonn ´e par une antenne
Exemple (suite) : antenne de station de base pour zone rurale
Antenne r ´ealis ´ee par alignement vertical de dip ˆoles.
Couverture omnidirectionnelle dans le plan horizontal.
Antenne directive dans le plan vertical.
Calcul du champ rayonn ´e par une antenne
Antennes r ´eseaux (contrexemple)
Antenne “r ´eseau” multicouche,
`a pav ´es rayonnants
Distribution de courants sur les pav ´es
Les distributions de courant ne sont pas identiques (translat ´ees)
⇒le th ´eor `eme de translation ne s’applique pas
⇒la th ´eorie des r ´eseaux (facteur de r ´eseau) n’est pas valide.
Calcul du champ rayonn ´e par une antenne
Antennes r ´eseaux (facteur de r ´eseau)
Si on note :
E ~
o(M) le champ rayonn ´e par l’une de ces antennes plac ´ee
`a l’origine, aliment ´ee par une source d’amplitude complexe
´egale `a 1,
~ r
nla position de l’antenne n ,
E ~
n(M) le champ rayonn ´e par l’antenne n aliment ´ee par une source d’amplitude complexe I
n,
alors le champ E ~
r ´eseau(M) rayonn ´e par le r ´eseau est donn ´e par :
E ~
r ´eseau(M) = X
n
E ~
n(M) = E ~
o(M) X
n
I
nexp(+jkˆ r · ~ r
n)
La fonction scalaire g(ˆ r ) = P
n
I
nexp(+jk ˆ r · ~ r
n) est appel ´ee
facteur de r ´eseau. Elle ne d ´epend que de l’emplacement des
antennes ´el ´ementaires et de leur alimentation.
Calcul du champ rayonn ´e par une antenne
Antennes r ´eseaux (suite)
Conditions de validit ´e du th ´eor `eme de translation
Les antennes ´el ´ementaires ne doivent pas ˆetre coupl ´ees, sinon leurs distributions de courant ne sont pas identiques.
La distance d’observation doit ˆetre sup ´erieure `a 2D
2/λ,
o `u D est la taille du r ´eseau (rayon de la plus petite sph `ere
entourant le r ´eseau).
Calcul du champ rayonn ´e par une antenne
Calcul du champ rayonn ´e (suite)
Utilisation de sources ´equivalentes
On remplace les sources de courant ´electrique r ´eelles par des distributions
“virtuelles” permettant d’obtenir les m ˆemes champs tangents sur une surface ferm ´ee entourant l’antenne, ou sur un plan infini.
Application : principe des images
Source “image” permettant de rendre compte de la pr ´esence d’un plan r ´eflecteur.
Le champ obtenu par superposition des champs rayonn ´es par l’image (virtuelle) et par la source r ´eelle est normal au plan conducteur : il est alors
´egal au champ rayonn ´e par la source r ´eelle en pr ´esence du plan r ´eflecteur dans tout le demi-espace o `u se trouve la source.
Calcul du champ rayonn ´e par une antenne
Doublet et son image par rapport au plan r ´eflecteur xOy
Calcul du champ rayonn ´e par une antenne
Calcul du champ rayonn ´e (suite)
Autre application : ouverture rayonnante
On utilise les champs dans l’ouverture de l’antenne comme sources “secondaires”.
Exemple : rayonnement d’un cornet
Les champs ´electromagn ´etiques dans l’ouverture du cornet
servent de sources “secondaires” ´equivalentes aux courants
pr ´esents sur les parois int ´erieures du cornet.
Calcul du champ rayonn ´e par une antenne
Cornet et son ouverture “ ´equivalente”
Plan
1
Introduction
2
Le rayonnement ´electromagn ´etique
Int ´egration des ´equations de Maxwell avec sources Approximation champ lointain
Calcul du champ rayonn ´e par une antenne
3
Caract ´eristiques des antennes
Diagramme de rayonnement et directivit ´e L’antenne c ˆot ´e circuit
Antenne en r ´eception
Bilan de liaison en espace libre
Diagramme de rayonnement et directivit ´e
Vecteur de Poynting au pointM Π(M~ ) =1
2Re“
~E(M)∧H~×(M)”
= 1
2ηkE(M)k~ 2ˆr = 1 2η
1
r2|f(ˆr)|2ˆr Densit ´e de puissance rayonn ´ee par unit ´e de surface enM
C’est le produit scalaire du vecteur de Poynting et du vecteur unitaire dans la direction de propagation de l’onde,ˆr :
~Π(M)·ˆr= Π(M) = 1
2ηk~E(M)k2 souvent not ´ep(M)
Diagramme de rayonnement et directivit ´e
Densit ´e de puissance rayonn ´ee par unit ´e d’angle solide enM
C’est la densit ´e de puissance rayonn ´ee par unit ´e de surface, multipli ´ee par la surfacer2, d ´ecoup ´ee au pointMpar un angle solide unitaire (1 st ´eradian) :
r2Π(M) = 1 2η|f(ˆr)|2
Elle est ind ´ependante der, not ´eeU(ˆr)et appel ´eeintensit ´e de rayonnement.
Diagramme de rayonnement et directivit ´e
Rep `eres et variables pour la d ´efinition des densit ´es de puissance rayonn ´ee
et le trac ´e des diagrammes de rayonnement 3D.
Diagramme de rayonnement et directivit ´e
Diagramme de rayonnement
C’est la repr ´esentation graphique des variations angulaires du champ ou de la (densit ´e de) puissance rayonn ´ee.
Variations angulaires :
Variations en fonction des directions de rayonnementˆr i.e. en fonction des angles en coordonn ´ees sph ´eriquesθetφ
avec dans le cas g ´en ´eralθ∈[0, π]etφ∈[0,2π[.
Diagramme de rayonnement et directivit ´e
Diagramme de rayonnement
C’est la repr ´esentation graphique des variations angulaires du champ ou de la (densit ´e de) puissance rayonn ´ee.
Diff ´erents types de diagrammes :
En champ :|f(θ, φ)| En puissance :U(θ, φ)
Diagrammes normalis ´es :
|f(θ, φ)|/|f(θ, φ)|max et U(θ, φ)/U(θ, φ)max.
Diagrammes en dB (identiques en champ et en puissance) : non normalis ´es : 20 log|f(θ, φ)|=10 logU(θ, φ)
normalis ´es : 20 log(|f(θ, φ)|/|f(θ, φ)|max) =10 log(U(θ, φ)/U(θ, φ)max)
Diagramme de rayonnement et directivit ´e
Diagramme de rayonnement (3D)
Diagramme de rayonnement et directivit ´e
Diagramme de rayonnement (2D)
Diagramme de rayonnement et directivit ´e
Diagramme omnidirectionnel
La densit ´e de puissance rayonn ´ee est la m ˆeme dans toutes les directions du plan de rayonnement maximal (en g ´en ´eral : antenne `a sym ´etrie cylindrique).
Diagramme 3D d’un doublet ´electrique (dip ˆole de longueur infinit ´esimale)
Diagramme 2D d’un dip ˆole demi-onde dans un plan contenant 0z
Diagramme de rayonnement et directivit ´e
Diagramme directif
Le diagramme poss `ede une seule direction de maximum absolu de puissance rayonn ´ee (“direction” du lobe principal).
Diagramme 3D
d’un cornet
Diagramme de rayonnement et directivit ´e
Directivit ´e
Quantifie la fac¸on dont une direction de rayonnement est privil ´egi ´ee (ou p ´enalis ´ee).
On compare la densit ´e de puissance rayonn ´ee dans une direction avec la densit ´e de puissance rayonn ´ee moyenne :
D(θ, φ) = U(θ, φ) Umoyen
o `uUmoyen= W 4π
West la puissance totale rayonn ´ee par l’antenne, qui s’obtient par int ´egration de l’intensit ´e d’illuminationUsur l’angle solide total - ou par int ´egration du flux du vecteur de Poynting `a travers une sph `ere :
W =
Z θ=π
θ=0
Z φ=2π
φ=0
U(θ, φ)sinθdθdφ
= Z θ=π
θ=0
Z φ=2π
φ=0
Π(r, θ, φ)r2sinθdθdφ
Diagramme de rayonnement et directivit ´e
Directivit ´e d’une antenne
Umoyenest la densit ´e de puissance rayonn ´ee par une source isotrope rayonnant la m ˆeme puissance totale rayonn ´eeW que l’antenne.
Diagrammes 3D
Diagramme 2D d’un dip ˆole demi-onde dans un plan contenant 0z Comparaison des diagrammes de rayonnement d’une source isotrope et d’un dip ˆole
demi-onde, `a puissances totales rayonn ´ees ´egales.
Diagramme de rayonnement et directivit ´e
Directivit ´e d’une antenne
= sa directivit ´e dans la direction (ou dans une des directions) o `u elle rayonne la densit ´e de puissance la plus ´elev ´ee (maximum du lobe principal).
Ordres de grandeur de directivit ´es typiques dip ˆole, antenne pav ´e (unique) : quelques dB alignement de dip ˆoles ou de pav ´es : 6 `a 15dB cornet, lentille : 15 `a 20dB
antenne `a r ´eflecteur(s) ou panneau rayonnant : au-del `a de
20dB
L’antenne c ˆot ´e circuit
A l’ ´emission
L’antenne est vue comme une charge terminale par l’ ´emetteur.
L’antenne c ˆot ´e circuit
Circuit ´equivalent (mod `ele de Th ´evenin)
G ´en ´erateur ( ´emetteur) : f.e.m.Vg(amplitude complexe cr ˆete),
imp ´edance interneZg=Rg+jXg
Charge (antenne) : imp ´edanceZA=RA+jXA
avecRA=RL+Rr
RL: r ´esistance de pertes Rr : r ´esistance de rayonnement
L’antenne c ˆot ´e circuit
Transfert de puissance du g ´en ´erateur `a l’antenne
La puissance disponible du g ´en ´erateur est pour partie r ´efl ´echie, pour partie transmise `a l’antenne (puissance incidente) :
P
disponible= P
r ´efl ´echie+ P
incidenteL’antenne c ˆot ´e circuit
Rappels
Puissance disponible d’un g ´en ´erateur
= puissance maximale qu’il peut transmettre `a une charge : Pdisponible=|Vg|2
8Rg
=|Vg<efficace>|2 4Rg
La puissance disponible du g ´en ´erateur n’est int ´egralement transmise `a la charge d’imp ´edanceZtque siZt=Zg∗.
Puissance r ´efl ´echie par une charge d’imp ´edance Z
tplac ´ee aux bornes du g ´en ´erateur :
P
r ´efl ´echie= |Γ|
2P
disponibleavec Γ = Z
t− Z
g∗Z
t+ Z
gL’antenne c ˆot ´e circuit
Transfert de puissance de l’antenne `a l’espace libre
La puissance transmise `a l’antenne (puissance incidente) est pour partie dissip ´ee par pertes ohmiques dans les di ´electriques ou conducteurs imparfaits au niveau de l’antenne ou de son c ˆable d’alimentation (feeder).
La puissance restante est rayonn ´ee.
P
incidente= P
dissip ´ee+ P
rayonn ´eeL’antenne c ˆot ´e circuit
Transfert de puissance de l’antenne `a l’espace libre
R ´esistance de rayonnement
Dans un mod `ele “circuit”, la puissance rayonn ´ee est consid ´er ´ee comme dissip ´ee dans une r ´esistance, dite “de rayonnement”, not ´eeRr:
Prayonn ´ee=1 2Rr|I|2
o `u|I|est l’amplitude du courant parcourant l’antenne (en un point `a d ´eterminer).
R ´esistance de pertes
Dans un mod `ele “circuit”, la puissance dissip ´ee est consid ´er ´ee comme dissip ´ee dans une r ´esistance, dite “de pertes”, not ´eeRL:
Pdissip ´ee=1 2RL|I|2
L’antenne c ˆot ´e circuit
Transfert de puissance du g ´en ´erateur `a l’espace libre
D ´esadaptation g ´en ´erateur-antenne
P
incidente= (1 − |Γ|
2)P
disponibleo `u Γ =ZA−Z
∗ g
ZA+Zg est le coefficient de r ´eflexion en entr ´ee de l’antenne avecZA=RA+jXA(imp ´edance d’entr ´ee de l’antenne) etRA=RL+Rr
Coefficient d’efficacit ´e li ´e aux pertes ohmiques : e
cdP
rayonn ´ee= P
incidente− P
dissip ´ee= e
cdP
incidenteo `u e
cd≤ 1 Facteur d’efficacit ´e k
effP
rayonn ´ee= e
cd(1 − |Γ|
2)P
disponible= k
effP
disponibleL’antenne c ˆot ´e circuit
Gain d’une antenne
Dans une direction donn ´ee :
Il compare l’intensit ´e de rayonnement de l’antenne `a celle d’une source de r ´ef ´erence aliment ´ee avec la m ˆeme puissance :
G(ˆ r ) = U(ˆ r )/U
ref(ˆ r )
Remarques
Si on ne pr ´ecise pas la directionˆr, il s’agit du gain de l’antenne dans sa (ou une de ses) direction(s) de rayonnement maximum.
La puissance qui “alimente” l’antenne, not ´ee dans la suitePalimentationest la puissance disponible du g ´en ´erateur plac ´e en entr ´ee de l’antenne, pr ´ec ´edemment not ´eePdisponible.
L’antenne c ˆot ´e circuit
Gain isotrope
La source de r ´ef ´erence est une source isotrope : G
iso(ˆ r ) = U(ˆ r )
P
alimentation/4π
G
iso(ˆ r ) = P
rayonn ´eeP
alimentationU(ˆ r )
P
rayonn ´ee/4π = e
cd(1 − |Γ|
2) D(ˆ r )
o `uD(ˆr)est la directivit ´e de l’antenne dans la directionˆr.
Antenne en r ´eception
Mod `ele de type circuit
L’antenne est vue comme un g ´en ´erateur par le circuit de
r ´eception (charge terminale).
Antenne en r ´eception
Circuit ´equivalent (mod `ele de Th ´evenin)
G ´en ´erateur (antenne) : f.e.m.VT(amplitude complexe cr ˆete),
imp ´edance interneZA=RA+jXA
avecRA=RL+Rr
RL: r ´esistance de pertes Rr : r ´esistance de rayonnement Charge terminale (r ´ecepteur) : imp ´edanceZT=RT+jXT
Antenne en r ´eception
Puissance capt ´ee par l’antenne
Elle est proportionnelle `a la densit ´e de puissance incidente sur l’antenne.
P
c= p
i(ˆ r ) A
c(ˆ r )
pi(ˆr)est la densit ´e de puissance par unit ´e de surface d’une onde plane incidente sur l’antenne en provenance de la directionˆr,
Ac(ˆr)est la surface de captation de l’antenne dans la directionˆr.
La puissance capt ´ee par l’antenne est :
1
dissip ´ee dans la r ´esistance interne R
A= R
L+ R
rdu “g ´en ´erateur” que constitue l’antenne, c’est- `a-dire :
pour une part (PL)dissip ´eedans la r ´esistance de pertesRL, pour l’autre dissip ´ee dans la r ´esistance de rayonnementRr, ce qui signifiere-rayonn ´ee(diffract ´ee Pd),2
r ´efl ´echie en entr ´ee de la charge terminale (r ´ecepteur),
3
transmise (P
T) `a la charge terminale (r ´ecepteur).
Antenne en r ´eception
Aire ´equivalente, ou “ouverture efficace”, ou
“surface effective” en r ´eception
On appelle aire ´equivalente en r ´eception de l’antenne dans une direction donn ´ee ˆ r , le rapport :
A
e(ˆ r ) = P
T/p
i(ˆ r )
En raison du principe de r ´eciprocit ´e, on a pour toutes les antennes le m ˆeme rapport A
e(ˆ r )/G(ˆ r ) quel que soit ˆ r . On peut montrer que ce rapport vaut
λ4π2:
A
e(ˆ r ) = λ
24π G(ˆ r )
Antenne en r ´eception
Calcul du rapport de la puissance rec¸ue `a la puissance ´emise pour une liaison point `a point :
Soit 2 antennes, l’une utilis ´ee `a l’ ´emission, l’autre en r ´eception.
NB : On appelle “puissance rec¸ue” la puissance transmise `a la charge terminale que constitue le r ´ecepteur. On note donc cette puissancePr au lieu dePTpr ´ec ´edemment.
Antenne en r ´eception
Ge(θe, φe) = pi(R, θe, φe)
Pe 4πR2
o `upi(R, θe, φe)est la densit ´e de puissance incidente sur l’antenne de r ´eception.
pi(R, θe, φe) =Ge(θe, φe) Pe
4πR2
La puissance transmise par l’antenne de r ´eception au r ´ecepteur est alors : Pr =Ae(θr, φr)pi(R, θe, φe)
=Ae(θr, φr)Ge(θe, φe) Pe
4πR2 Pr
Pe
=Ae(θr, φr)Ge(θe, φe) 1 4πR2
Antenne en r ´eception
On dispose de 2 antennes, appel ´ees “antenne 1” et “antenne 2”.
Dans un premier temps on choisit l’antenne 1 comme antenne d’ ´emission, et l’antenne 2 comme antenne de r ´eception. Dans ce cas :
Pr
Pe
=A2(θ2, φ2)G1(θ1, φ1) 1 4πR2 Si l’on inverse les r ˆoles des 2 antennes, on a :
Pr
Pe
=A1(θ1, φ1)G2(θ2, φ2) 1 4πR2 Compte tenu du principe de r ´eciprocit ´e,PPr
e est le m ˆeme dans les deux cas : A2(θ2, φ2)
G2(θ2, φ2) = A1(θ1, φ1) G1(θ1, φ1)
Cette ´egalit ´e est vraie quelles que soient les antennes et les directions de rayonnement choisies.
Le rapportAe(ˆr)/G(ˆr)est donc une constante universelle.
On montrera (en TD) que cette constante vaut λ4π2.
Bilan de liaison en espace libre
Unbilan de liaison(sous entendu : en puissance) exprime :
la puissance rec¸uePr (= puissance rec¸ue par le r ´ecepteur apr `es pertes dans l’antenne et d ´esadaptation ´eventuelle antenne-r ´ecepteur) en fonction de la puissance ´emisePe(encore appel ´ee “puissance transmise” = puissance disponible du g ´en ´erateur)
pour une liaison entre un syst `eme d’ ´emission et un syst `eme de r ´eception.
Laformule de transmission de Friis pour les antennesexprime un bilan de liaison pour des antennesen visibilit ´e et en espace libre(pas
d’obstacles ni de trajets multiples), en fonction :
des gains des antennes :Gegain de l’antenne utilis ´ee `a l’ ´emission, et Gr gain de l’antenne utilis ´ee `a la r ´eception
des caract ´eristiques de la liaison : longueur d’ondeλ, distance entre les antennesR
Bilan de liaison en espace libre
Comme vu pr ´ec ´edemment :
Pr=PeAe(r)(θr, φr)Ge(θe, φe) 1 4πR2
o `uAe(r)(θr, φr)est la surface ´equivalente en r ´eception de l’antenne utilis ´ee en r ´eception. OrAe(r)(θr, φr) =4πλ2Gr(θr, φr), d’o `u :
Pr =PeGe(θe, φe)Gr(θr, φr)
„ λ 4πR
«2
Formule de transmission de Friis pour les antennes P
r= P
eG
e(θ
r, φ
r)G
r(θ
e, φ
e)
Att
elo `u Att
el=
4πR λ 2est appel ´e “att ´enuation d’espace libre”.
Bilan de liaison en espace libre
P.I.R.E.
LaPuissance Isotrope Rayonn ´ee Equivalente (PIRE)caract ´erise un syst `eme d’ ´emission (g ´en ´erateur+antenne, avec les c ˆables d’alimentation et circuits interm ´ediaires ´eventuels) : c’est la puissance totale que devrait rayonner une source isotrope pour rayonner la m ˆeme densit ´e de puissance que l’antenne dans sa direction de rayonnement maximal.
Pour une antenne de gainGealiment ´ee avec une puissancePe, la densit ´e de puissance maximale rayonn ´ee par unit ´e d’angle solide est ´egale `a :
Umax=PeGe
4π
Une source isotrope rayonne la m ˆeme densit ´e de puissance dans toutes les directions.
La puissance totale rayonn ´ee par une source isotrope dont l’intensit ´e de rayonnement vautUmaxest donc ´egale `a : 4πUmax, soitPeGe.