Leçon 4

(1)

Leçon 4

Division

d’un polynôme par un binôme ou par untrinôme

1. Division d’un polynôme par le binôme (x a)−

Diviser le polynôme P(x) par (x a)− c’est diviser P(x) par B(x)=x−a Donc, l’expression P(x)= B(x)Q(x)+R(x), ^{deg R x}

( ( ) )

^^{deg B x}

( ^{( )} )

devient P(x)=(x−a)Q(x)+R, deg(R)deg(x−a). Donc, on a : 1. P(a)=(a−a)Q(x)+R=R

2. P(x) est divisible par (x−a) si et seulement si P(a)=0

➢ P(x) = xⁿ −aⁿ est divisible par (x−a), on peut écrire : P(x)=(x−a)(xⁿ⁻¹ +axⁿ⁻² +a²xⁿ⁻³ ++aⁿ⁻²x+aⁿ⁻¹).

Exemple 1 : Soit deux polynômes ^{P x}

( )

⁼⁵^x³⁻¹⁸^x²⁻²^x⁻²⁴^et^{Q x}

( )

^{= −}^x ⁴^.

Calculer ^{P x}

( )

^^{Q x}

( )

^.

Solution

On a donc ⁵^x³⁻¹⁸^x²⁻²^x⁻²⁴⁼

(

^x⁻⁴

) (

⁵^x²⁺²^x⁺⁶

)

Exemple 2 : Soit deux polynômes^{P x}

( )

⁼³^x²⁺⁷^x⁻²⁰^et^{Q x}

( )

^{= +}^x ⁴^. Calculer ^{P x}

( )

^^{Q x}

( )

.

Solution

On a donc ³^x²⁺⁷^x⁻²⁰⁼

(

^x⁺⁴

)(

³^x⁻⁵

)

3x2+7x−20 3x2+12x

−

5x 20

− − 5x 20

− − − 0

4 x+ 3x−5

3 2

5x −18x −2x−24

3 2

5x −20x

−

2x2−2x 2x2−8x

−

6x−24 6x−24

−

4 x−

5x2+2x+6

0

(2)

2. Division d’un polynôme par (x a)− par la méthode de Hörner.

Diviser le polynôme P(x)=a₀ +a₁x+a₂x² +...+a_nxⁿ par (x a)− par la méthode de Hörner se fait :

an an-1 an-2 ... a1 a0 a an bn-1 bn-2 ... b0

Les étapes:

1) Ecrire a_n,a_n₋₁,...,a₀, les coefficients de P(x) à la première ligne ; 2) Ecrire a et an dans les premières places de la deuxième ligne ; 3) Calculer : b_n₋₁,b_n₋₂,...,b₀ tels que

. , ,

0 1 0

2 1 2

1 1

a ab R b

a ab b

a aa b

n n n

+

=

+

= +

=

−



4) Par cette division, on peut écrire :

R b x

b x

b x a a x x

P( ) =( − )( _n ⁿ⁻¹+ _n₋₁ ⁿ⁻² + _n₋₂ ⁿ⁻³ ++ ₁)+ Exemple: Diviser 4x³ −x⁵ +32−8x² par (x+2)

-1 0 4 -8 0 32

-2 -1 2 0 -8 16 0

On a donc : 4x³ −x⁵ +32−8x² =(x+2)(−x⁴ +2x³ −8x+16).

3. Division d’un polynôme par un trinôme

Diviser le polynôme P(x) par le trinôme c’est diviser P(x) par

c bx ax x

B( )= ²+ +

Donc, l’expression P(x)= B(x)Q(x)+R(x), ^{deg R x}

( ( ) )

^^{deg B x}

( ^{( )} )

devient P(x)=(ax²+bx+c)Q(x)+R(x), deg



R(x)



deg(ax²+bx+c).

Exemple 1 : Soit deux polynômes P(x)=2x³+x²−x+3 et Q(x)=x²−x+1.

( )

⁶ ² ⁷ ²

Q x = x − x+ . Calculer ^{P x}

( )

^^{Q x}

( )

. Solution

3 2

2x +x − +x 3

3 2

2x −2x +2x

−

3x2−3x+3 3x2−3x+3

−

2 1

x − +x 2x+3

0

(3)

On peut écrire ²^x³⁺^x²⁻^x⁺³⁼

(

^x²⁻^x⁺¹

) ⁽

²^x⁺³

⁾

Exemple 2 : Soit deux polynômes^{P x}

( )

⁼ ⁶^x³⁻¹⁹^x²⁺¹⁶^x⁻⁴^et

( )

⁶ ² ⁷ ²

Q x = x − x+ . Calculer ^{P x}

( )

^^{Q x}

( )

^. Solution

On peut écrire ⁶^x³⁻¹⁹^x²⁺¹⁶^x⁻⁴⁼

(

⁶^x²⁻⁷^x⁺²

) (

^x⁻²

)

3 2

6x −19x +16x−4 6x²−7x+2 2 x−

3 2

6x −7x +2x

−

12x2 14x 4

− + −

12x2 14x 4

− + −

−

0

(4)

Exercices

1. Pour chacun des cas suivants, trouver le quotient de la division P(x) par Q(x).

a. P(x)=2x³−3x²−5x−12 et Q(x)=x−3

b. P(x)=x²−9x+20 et Q(x)=x−5

c. P(x)=2x³−3x²−6x−9 et Q(x)=x−3. d. P(x)=x³+2x²−4x−5 et Q(x)=x+1

2. À l’aide de la division de Hörner, trouver le quotient et le reste de la division A x( ) par B x( ).

a. A x( )=x³+3x²+3x+1; B x( )= +x 1

b. A x( )=6x⁴+7x³−9x²−7x+3; B x( )= −x 2

c. A x( )=x⁵+3x⁴−20x³−48x²+64 ;x B x( )= +x 5

3. a. Calculer  pour que P x( )=x³+x²+(+1)x+ + 2 soit divisible par x+3 . b. Trouver le reste de la division P(x) par (x−1)(x−2) sachant que :

. 4 est le reste de la division P(x) par x−1 . 5 est le reste de la division P(x) par x−2. c. Calculer les réels a et b pour que :

c.1. A(x)=3x³ +ax² +bx+9 soit divisible par B x( )=x²−9. c.2. A(x)=4x⁵ +ax⁴ −11x³ +23x² +bx+2 soit divisible par B x( )= −(x 1)(x+2)

c.3. A(x)=2x⁵ −9x⁴ +8x³ +ax² +bx+12 soit divisible par B x( )= −(x 3)(x+2).