LM270 UPMC 2010–2011 TE3a
Universit´ e Pierre et Marie Curie 2010–2011 LM270, TE3a Groupes 1,2,3 (28/4/2011)
Aucun document n’est autoris´e. L’utilisation de tout appareil ´electronique de calcul et des t´el´ephones por- tables est interdite. Lorsqu’un calcul est demand´e, d´etaillez les ´etapes en indiquant les op´erations effectu´ees ; un r´esultat final correct mais non justifi´e par les ´etapes du calcul qui y m`enent, ne donnera qu’une partie des points. D’autre part, les correcteurs tiendront compte de la qualit´e de la r´edaction et de la pr´ecision des raisonnements. Ce devoir comporte 6 exercices et est not´e sur 60
Exercice 1 (10pts). Soit φ la forme bilin´eaire sym´etrique sur R5 dont la matrice dans la base canonique B= (e1, . . . , e5) est la suivante :
A=
2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2
1. (2 pts) Soitqla forme quadratique associ´ee. Exprimezq(x1, . . . , x5) en fonction des coordonn´ees (x1, . . . , x5) dans la baseB.
2. (6 pts) ´Ecrivezqcomme somme de carr´es de formes lin´eaires ind´ependantes.
3. (2 pts) D´eterminez la signature et le rang deq.
Exercice 2 (12pts). Soit φ la forme bilin´eaire sym´etrique sur R5 dont la matrice dans la base canonique B= (e1, . . . , e5) est la suivante :
A=
0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0
1. (2 pts) Soitqla forme quadratique associ´ee. Exprimezq(x1, . . . , x5) en fonction des coordonn´ees (x1, . . . , x5) dans la baseB.
2. (8 pts) ´Ecrivezqcomme somme de carr´es de formes lin´eaires ind´ependantes.
3. (2 pts) D´eterminez la signature et le rang deq.
Exercice 3(4 + 4 pts). En utilisant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz dansR5muni du produit scalaire standard, montrer que pour tousx1, . . . , x5∈R, on a
|x1+ 2x2+ 3x3+ 4x4+ 5x5|
√55 ≤
q
x21+· · ·+x25. Dans quels cas a-t-on l’´egalit´e ?
Exercice 4 (10 pts). On munit R2 du produit scalaire standard. Soient (p, q)∈ Z2− {(0,0)} et F la droite engendr´ee par le vecteurf =
µp2−q2 2pq
¶ .
1. (3 pts) Calculerkfket d´eterminer un vecteurv de norme 1 orthogonal `au= 1 kfkf.
2. (1 + 6 pts) Soit sla sym´etrie orthogonale par rapport `a la droiteF. ´Ecrire la matrice des dans la base C= (u, v), puis dans la base canoniqueB= (e1, e2).
Exercice 5 (10 pts). On admet que pour toutA∈Mn(C), on a exp(tA) =texp(A).
1. (2 pts) SoitA∈Mn(R) telle quetA=−A. Montrer que exp(A)∈O(n).
2. (5 pts) SoitA=
µ0 −1
1 0
¶
consid´er´ee comme ´el´ement deM2(C) et soitB= (e1, e2) la base canonique de C2. D´eterminerPA(X) et une baseC= (v1, v2) deC2 form´ee de vecteurs propres deA. ´Ecrire la matrice de passageP = MatB(C), calculer son inverseP−1, et d´eterminer sans calcul la matriceD=P−1AP. 3. (3 pts) Pour tout t ∈ R, calculer exp(tD), puis ´ecrire exp(tA) = Pexp(tD)P−1 comme une matrice `a
coefficients r´eels (on rappelle que pour tout t∈R,eit= cost+isint).
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4. (2 pts) Donner une matriceB ∈M2(R) telle que exp(B) =−I2.
Exercice 6 (8 pts). Pour toutn≥2, on consid`ere la matricen×nsuivante, `a coefficients dansR:
An=
2 1 0 · · · 0 1 2 1 . .. ...
0 1 2 . .. 0
... . .. ... ... 1 0 · · · 0 1 2
c.-`a.-d., les coefficients diagonaux valent 2, ceux juste au-dessus ou en-dessous de la diagonale valent 1, les autres sont nuls. On poseDn = d´et(An).
1. CalculerD2et D3.
2. En d´eveloppant Dn par rapport `a la premi`ere colonne, montrer que Dn = aDn−1−bDn−2, pour deux entiersa, b∈N∗ que l’on d´eterminera. En utilisant cette formule, calculerD4et D5.
3. Les calculs pr´ec´edents vous sugg`erent-ils une formule pour la valeur deDn? Si oui, d´emontrer cette formule par r´ecurrence surn.
