2 Filtrage non linéaire

Fondamentales et Informatique JMMAFI 2015, Vol.2,pp 1-16

Filtrage non linéaire et grandes déviations. Applications : développement asymptotique.

L.I. RAJAONARISON¹, T.J. RABEHERIMANANA²

1ESPA, Département d’Electronique, B.P 1500, Vontovorona, Antananarivo, Madagascar

2Faculté des Sciences , Département de Mathématiques et Informatique, B.P 906, Ankatso, 101, Antananarivo, Madagascar

1lilirabe@voila.fr,²rabeherimanana.toussaint@gmx.fr

Résumé : Dans cet article, nous poursuivrons un double but :

– supprimer la condition H₂₂ de la section 3 introduite dans [12] en utilisant la théorie des décompositions de flots (voir [3, 4, 8, 10]) et ensuite

– étudier le comportement asymptotique de J(²)=E

½

χ(X^²) exp−θ(X^²)

²² |Y^²=ω

¾

lorsque ²& 0 en théorie du filtrage non linéaire pour le couple signal/observation défini dans (1).

Mots clés : Décompositions des flots, principe de grandes déviations, filtrage non linéaire, déve- loppement asymptotique.

Abstract : In this paper, we use the decomposition theorem for flows of S.D.E (see [3, 4, 8, 10]) for removing the conditionH₂₂of the section 3 in [12] and after, we study the asymptotic behavior of

J(²)=E

½

χ(X^²) exp−θ(X^²)

²² |Y^²=ω

¾

when²&0 in non-linear filtering for the couple signal/ observation defined in (1).

Keywords : Decomposition theorem for flows of S.D.E, large deviations principle, non linear fil- tering, asymptotic expansions.

Introduction

Considérons le couple signal/ observation, interpreté au sens de Stratonovich : X_t^² = x+²Pr

i=1

R_t

0σ˜i(X_s^²)◦dB˜_sⁱ+Pl j=1

R_t

0σj(X_s^²)◦d Y_s^²,j+R_t

0σ˜0(X_s^²)d s Y_t^² = R_t

0Γ(X_s^²)d s+²Bt X₀^²=x∈Rⁿ, Y₀^²=0

)

(1) où les ˜σ0, ˜σi,σjsontr+l+1 champs de vecteurs surRⁿ,Γune application régulière deRⁿdansR^l, B˜=( ˜B_tⁱ)_i=1,...,r etB =(B_t^j)_j=1,...,l deux mouvements browniens indépendants issus de 0 à l’instant 0. Nous noteronsP(resp. ˜P) la mesure de Wiener associée àB (resp. ˜B).

Le but de cet article est de démontrer un principe de grandes déviations relatif à une version normalisée de la loi conditionnelle deX^²sachantY^². Pour cela, nous effectuons un changement de probabilités (Girsanov) pour que sousP0, ^Y_²^² soit un mouvement brownien standard indépen- dant de ˜B. Cependant, pour démontrer notre résultat central, nous sommes conduit à résoudre la difficulté dans l’élimination de l’intégration end Y dans l’exponentielle de Girsanov. Pour ce faire, dans [12], nous avons introduit l’hypothèseH₂₂mais ici nous appliquons la théorie des décompo- sitions de solutions d’E.D.S au coupleC^²_t =¡

X_t^²,R_t

0Γ(X_s^²)d Y_s^²¢

(voir les formules (21) ,(22),(23),(24) et (25)). Le résultat principal de cette théorie est queC^²s’écrit :

C_t^²=Φ^²_t(Cˆ^²,Φ

²

t )

oùΦ^²_t(x) est la version essentiellement unique de : c_t^²=x+

l

X

j=1

Z t 0

σˆj(c^²_s)◦d Y_s^²,j

qui est un flot de C^∞-difféomorphisme dans Rⁿ⁺¹ noté Dⁿ⁺¹, et Cˆ^²,Φ

²

t est solution d’une E.D.S relativement à²B˜paramétrée parΦ^².

En fixant le flotΦ, nous donnons une estimation asymptotique pour la famille¡

T_Γ^²(Φ,d w)¢

²>0

une version normalisée de la loi conditionnelle deX^²sachantΦ^²en utilisant comme dans Hijab [7] un résulat de Varadhan [14]. Et par identification, nous obtenons notre résultat central.

Cet article comporte quatre sections. Dans la première, nous décomposons le signal suivant l’idée de Kunita [8], Bismut [4], voir aussi Ben Arous et Castell [3] et nous-même [10] et [9, 11] pour le cas nilpotent et énonçons les résultats de grandes déviations de Ben Arous et Castell [3] relatifs à la famille¡

N₀^²(ω,d w)¢

²>0, oùN₀^²(ω,d w) désigne une version de la loi conditionnelle deX^²sachant Y^²(cas oùΓ=0). La section 2 est consacrée au résultat classique en théorie du filtrage non linéaire.

Dans la section 3, nous démontrons le résultat central de cet article. Enfin dans la dernière section, nous montrons comment employer ces résultats pour donner un développement asymptotique de

J(²)=E

½

χ(X^²) exp−θ(X^²)

²² |Y^²=ω

¾ .

1 Décomposition de solutions d’E.D.S et principe de grandes dé- viations dans le cas où Γ = 0.

Dans cette section, nous supposons queΓ=0 et de plus l’hypothèseH1est vérifiée.

Hypothèse H1 : Nous supposons que les (r+l+1)-champs surRⁿσ˜0, ˜σ1, . . . , ˜σr, σ1, . . . , σlsont de classeC_b^∞.

Considéronsx^², solution de l’équation : x_t^²=x+

l

X

j=1

Z t

0 σj(x_s^²)◦d Y_s^²,j. (2)

Alors il existe une version de (t,x)7→x^²_t(x) qui est un flot deC^∞-difféomorphisme dansRⁿi.e. un élément deDⁿ. NotonsΦ^²cette version essentiellement unique dex^². Alors pour toutt∈[0, 1] p.s., nous pouvons définir des champs de vecteurs stochastiques pouri=1, . . . ,r

σ˜^²_i^,∗(x)=

µ∂Φ^²_t(x)

∂x

¶−1

×σ˜i

¡Φ^²_t(x)¢

. (3)

Alors par la formule d’Ito généralisée, la solutionX^²du signal s’écrit :

X_t^²=Φ^²_t(X^²,Φ_t ^²) (4)

oùX^²,Φ_t ^²est la solution de l’ E.D.S : d X^²,Φ_t ^²=²X^r

i=1

σ˜^²,∗_i (X^²,Φ_t ^²)◦dB˜_tⁱ+σ˜0²,∗(X^²,Φ_t ^²)d t ; X^²,Φ₀ ^²=x. (5) Dⁿest muni de laC^0,kou ˜C^0,k-topologie, définie pour toutk∈Npar :

– Φ^{n C}−→^0,k Φsi pour tout compactK ⊂⊂Rⁿ, on a sup

x∈K,t∈[0,1],|α|≤k

¯

¯∂^αΦⁿ_t(x)−∂^αΦt(x)¯

¯−→0, quandn→ ∞. – Φⁿ−→^C˜0,k Φsi pour tout compactK ⊂⊂Rⁿ, on a

sup

x∈K,t∈[0,1],|α|≤k

©¯

¯∂^αΦⁿ_t(x)−∂^αΦt(x)¯

¯+¯

¯∂^α(Φⁿ_t)⁻¹(x)−∂^α(Φt)⁻¹(x)¯

¯

ª−→0, quandn→ ∞.

Dans toute la suite, siuest un entier,Ω^u_x désignera l’espace des fonctions continues de [0,T] dans R^u, issues de x à l’instant 0 muni de la topologie de la convergence uniforme etH_x^ule sous-espace de Cameron-Martin associé.

H^u=

½ h : [0, 1]−→R^u, absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue avec h(0)=0 et telle queR₁

0 |h˙s|²d s< +∞.

¾

H^uest un espace d’Hilbert pour le produit scalaire :

〈u,v〉 = Z ₁

0

˙

u_s·v˙_sd s.

FixantΦ^²=Φrevient à contrôlerY^²=²B parY ∈Ω^l₀. Définissons une applicationV qui àΦ∈Dⁿ, associe pour chaque ˜ω∈Ω^r₀:

V(Φ)( ˜ω)=Φ_·(X^²,Φ_· ) (6)

oùΦt(x) est la version essentiellement unique de : x_t =x+

l

X

j=1

Z _t

0 σj(x_s)◦d Y_s^j

qui est un flot deC^∞-difféomorphisme dansRⁿi.e. un élément deDⁿetX^²,Φ_t est solution de : d X^²,Φ_t =²X^r

i=1

σ˜^∗_i(X^²,Φ_t )◦dB˜ⁱ_t+σ˜^∗₀(X^²,Φ_t )d t, X^²,Φ₀ =x (5’) avec

σ˜^∗_i(x)=

µ∂Φt(x)

∂x

¶₋₁

×σ˜i(Φt(x)), pour i=0, . . . ,r.

Sans hypothèse surΦ, les trajectoires deX^²,Φ peuvent exploser. Donc (5’) définit une application deΩ^r₀vers l’espace (Ωⁿ_x)⁰, espace des trajectoires explosives.

(Ωⁿ_x)⁰=

½ f, fonction continue de [0, 1]−→Rⁿ∪{∞} avec f(0)=xvérifiant f(t₀)= ∞ ⇒ pourt∈[t₀, 1], f(t)= ∞.

¾

Quand f ∈(Ωⁿ_x)⁰, on définit le temps d’explosion de f par : τ(f)=inf{s, f(s)= ∞}.

On munira (Ωⁿ_x)⁰de la topologie définie par :

(f_k)_k∈Nconverge vers f dans(Ωⁿ_x)⁰ si et seulement si

f_kconverge uniformement vers f sur tous les compacts de[0,τ(f)].

V(Φ) est donc un élément de L^∞(Ω^r₀, (Ωⁿ_x)⁰).

Pour chaque ˜h∈H^r etΦ∈Dⁿ, définissons un processus X^Φ( ˜h) , solution de l’équation diffé- rentielle ordinaire :

d X^Φ_t ( ˜h)= Ã r

X

i=1

σ˜^∗_i ³

X^Φ_t ( ˜h)´

˙˜hⁱ_t+σ˜^∗₀³

X^Φ_t ( ˜h)´

!

d t; X^Φ₀( ˜h)=x (7)

où les coefficients sont définis dans (5’).

Définissons une application F : H¹ −→ Dⁿ

h 7−→ flot de difféomorphisme associé à l’équation différentielle ordinaire :

d X_t^h=

l

X

j=1

σj(X_t^h) ˙h_t^jd t; X₀^h=x. (8) Nous notons encoreF l’extension mesurable deF surΩ¹, selon l’idée de Bismut [4] :

F: Ω¹ −→ Dⁿ

ω 7−→ F(ω)=X la solution de l’E.D.S :

d X_t =

l

X

j=1

σj(X_t)◦d Y_t^j; X₀=x. (9) Notons T₀^²(Φ,d w) la loi du processusV(Φ) (c’est une mesure de probabilité sur (Ωⁿ_x)⁰). Nous énonçons un résultat de Ben Arous et Castell [3] relatif à la famille¡

T₀^²(Φ,d w)¢

²>0.

Proposition 1 FixonsΦdansDⁿ; nous définissons une fonctionnelle L⁰_Φsur(Ωⁿ_x)⁰par la formule : Pour tout z∈(Ωⁿ_x)⁰, L⁰_Φ=inf

½1

2||h||˜ ²_H^r|h˜∈H^r vérifiant z=Φ_·³ X^Φ_· ( ˜h)

´¾

(10) où X^Φ( ˜h)est solution de(7). Avec la conventioninf {;}= ∞.

Alors la famille¡

T₀^²(Φ,d w)¢

²>0admet un principe de grandes déviations avec la fonctionnelle d’ac- tion L⁰_Φ.

De plus, siτ(X^²,Φ)>1,P˜-p.s. et siτ(X^Φ( ˜h))>1, le résultat est valable quand on remplace(Ωⁿ_x)⁰ parΩⁿ_x.

Nous définissons pour chaqueωP-p.s. : – la probabilitéN₀^²(ω,d w)=T₀^²(F(ω),d w) – pour tout ˜h∈H^r,ξ¡h˜¢

(ω)=F(ω)³

X^F(ω)( ˜h)´ – la fonctionnelle d’actionl⁰_ω=L⁰_F(ω)

ξ( ˜h) est solution de : ξt( ˜h)=x+

r

X

i=1

Z t 0

σ˜i

¡ξs( ˜h)¢˙˜hⁱ_sd s+

l

X

j=1

Z t 0 σj

¡ξs( ˜h)¢

◦d Y_s^j+ Z t

0

σ˜0

¡ξs( ˜h)¢

d s. (11)

Alors nous avons :

Proposition 2 ([3]) N₀^²(ω,d w)est une mesure de probabilité sur(Ωⁿx)⁰, qui est une version particu- lière de la loi conditionnelle X^²sachant Y^².

La famille¡

N₀^²(ω,d w)¢

²>0admet un principe de grandes déviations avec la fonctionnelle d’ac- tion l_ω⁰. De plus, nous avons les estimations suivantes, pour tout A borélien de(Ωⁿx)⁰:

−l_ω⁰( ˚A)≤lim inf

²→0 ²²lnN₀^²(ω,A)≤lim sup

²→0 ²²lnN₀^²(ω,A)≤ −l_ω⁰(A) (12) oùA (resp. A) désigne l’intérieur (resp. l’adhérence) de A.˚

2 Filtrage non linéaire

Considérons le couple signal/ observation (X^²,Y^²), solution de (1). Pour chaqueΠ∈C_b²(Rⁿ,R), espace des fonctions de classeC²et bornées surRⁿ, nous définissons le filtre non normalisé par :

ρ^²_tΠ=E^B₀^˜£

Π(X_t^²)Ξ^²_t¤

(13) où

Ξ^²_t=exp P_l

j=1

Rt

0Γj(X_s^²)d Y_s^²,j−¹₂P_l

j=1

Rt

0Γ²_j(X_s^²)d s

²² (14)

P0est la probabilité définie par la formule : dP0

dP/Ft=¡ Ξ^²_t¢₋1

(15) etE^B₀^˜ désigne l’integration par rapport à ˜B sousP0etF_t la filtration associée à (B_t, ˜B_t). Sous cette loi, ^Y_²^² est un mouvement brownien standart indépendant de ˜B. Il est connu qu’une version me- surable de la loi conditionnelle deX^²sachantY^²est définie par la formule :

N^²_Γ(ω,A)=E^B₀^˜£

1_A(X^²)Ξ^²₁¤

E^B₀^˜[Ξ^²₁] (16) et que le filtre non normalisé est solution de l’E.D.P.S (17) au sens de Stratonovich connu sous le nom d’équation de Zakai :

dρ^²_tΠ=ρ^²_t¡ L^²₀Π¢

d t+

l

X

j=1

ρ^²_t³ L^²_jΠ´

◦d Y_t^²,j

² (17)

avec

L^²₀=^²₂²Pr

i=1σ˜²_i+σ˜0−¹₂Pl

j=1σjΓj−¹₂

Pl j=1(Γj)²

²²

L^²_j=²σj+^Γ_²^j







(18)

où

σ˜²_i =X

l,k

σ˜^l_i ∂

∂x_l µ

σ˜^k_i ∂

∂x_k

¶

et (Γj)²désigne la multiplication par la fonction (Γj)².

Dans la section suivante, nous étudions le comportement asymptotique deN^²_Γ(ω,d w) définie par (16) lorsque²tend vers 0.

3 Principe de grandes déviations en théorie du filtrage non li- néaire

On se propose maintenant d’appliquer la théorie des décompositions d’E.D.S à l’étude du com- portement asymptotique, lorsque²&0, de la famille de mesures de probabilités³

N^²_Γ(ω,d w)´

²>0

définie dans (16) en utilisant la proposition 3 ci-dessous.

Proposition 3 ([14]) Supposons que(P^²)_²>0admet un principe de grandes déviations avec la fonc- tionnelle d’action I . Soit θ^² une famille de fonctions bornées qui converge uniformement vers θ lorsque²tend vers 0. Posons :

dQ^²=exp(−1

²²θ^²)dP^².

Alors nous avons les estimations suivantes, pour tout ouvert O et tout fermé F : lim inf_²→0²²lnQ^²(O) ≥ −inf{I(ω)+θ(ω),ω∈O}

lim sup_²→0²²lnQ^²(F) ≤ −inf{I(ω)+θ(ω), ω∈F}

¾ .

Signalons que cette proposition est encore valable même siθ^²n’est pas bornée. Il suffit que :

Rlim→∞lim sup

²→0 ²²lnE^² µ

1_{θ²≥R}exp−θ^²

²²

¶

= −∞. Dans toute la suite, nous supposons que l’hypothèseH2est vérifiée.

Hypothèse H2 : En plus de l’hypothèseH1, nous supposons queΓest une application de classe C_b^∞deRⁿdansR^l.

Introduisons quelques notations.

Un élémenty∈Rⁿ⁺¹sera décomposé en

¡p₁(y),p₂(y)¢

=(y₁,y₂)∈Rⁿ×R. (19) Considérons le couple

C_t^²= µ

X_t^², Z _t

0 Γ(X_s^²)d Y_s^²

¶

=(C_1,t^² ,C_2,t^² ). (20)

AlorsC^²est un processus de diffusion n+1-dimensionnel, solution de l’E.D.S C_t^²=(x, 0)+²X^r

i=1

Z _t

0

σˆ˜i(C_s^²)◦dB˜ⁱ_s+

l

X

j=1

Z _t

0

σˆj(C^²_s)◦d Y_s^²,j+ Z _t

0

σˆ˜^²₀(C_s^²)d s (21)

où les coefficients sont définis par σˆj(y₁,y₂)=

µ σj(y₁) Γj(y₁)

¶

pour chaquej =1, . . . ,l

σˆ˜^²₀=

à σ˜0(y₁)

−^²₂²Pl

j=1σjΓj(y₁)

!

σˆ˜i(y₁,y₂)=

µ σ˜i(y₁) 0

¶

pour chaquej =1, . . . ,r.

(22)

Par la théorie des décompositions des flots,C^², solution de (21) s’écrit : C_t^²=Φ^²_t

µˆ C^²,Φ

²

t

¶

(23) oùΦ^²_t est la version essentiellement unique de :

c_t^²=y+

l

X

j=1

Z _t

0

σˆj(c^²_s)◦d Y_s^²,j

qui est un flot deC^∞-difféomorphisme dansRⁿ⁺¹, notéDⁿ⁺¹et ˆ C^²,Φ

²

t est solution de : dCˆ^²,Φ

²

t =²X^r

i=0

σˆ˜^²,∗_i µCˆ^²,Φ

²

t

¶

◦dB˜_tⁱ+σˆ˜^²,∗₀ µCˆ^²,Φ

²

t

¶

d t ; Cˆ^²,Φ

²

0 =y (24)

avec

σˆ˜^²₀^,∗(y)=

³_∂Φ² t(y)

∂x

´₋₁

·σˆ˜^²₀(Φ^²_t(y)) σˆ˜^²,∗_i (y)=

³_∂Φ²

t(y)

∂x

´₋₁

·σˆ˜i(Φ^²_t(y)), i=1, . . . ,r.

(25)

Pour chaqueΦ∈Dⁿ⁺¹, nous notonsCˆ^²,Φle processus dans (Ωⁿ⁺¹_x )⁰, solution de dˆ

C^²,Φ_t =²X^r

i=0

σˆ˜^∗_i µˆ

C^²,Φ_t

¶

◦dB˜_tⁱ+σˆ˜^∗₀ µˆ

C^²,Φ_t

¶ d t ; ˆ

C^²,Φ₀ =(x, 0) (26)

σˆ˜^∗₀(y)=

³_∂Φ

t(y)

∂x

´₋₁

·σˆ˜¹₀¡ Φt(y)¢ σˆ˜^∗_i(y)= ³_∂Φ

t(y)

∂x

´₋₁

·σˆ˜i

¡Φt(y)¢

, i=1, . . . ,r.

Définissons une application ˆV qui àΦ∈Dⁿ⁺¹, associe pour chaque ˜ω∈Ω^r₀, Vˆ(Φ)( ˜ω)=Φ·

µCˆ^²,Φ( ˜ω)

¶

. (27)

Les processusC₍₁₎^²,Φ∈(Ωⁿ_x)⁰etC₍₂₎^²,Φ∈(Ω¹_x)⁰sont définis par Vˆ(Φ)=

³

C₍₁₎^²,Φ,C₍₂₎^²,Φ´

. (23’)

Nous notons l’application«flot»

Fˆ : Ω^l₀ −→ Dⁿ⁺¹

ω 7−→ flot stochastique associé à l’E.D.S.

d c_i=P_l

j=1σˆj(c_t)◦d Y_t^j.

(28)

Notons ˆT^²(Φ,d w) la loi du processus ˆV(Φ) ( ˆT^²(Φ,d w) est une mesure de probabilité sur (Ωⁿ⁺¹_x )⁰).

Et nous avons (29), l’équivalent de la proposition 1 pour ˆT^²(Φ,d w).

∀Aborélien de (Ωⁿ_x⁺¹)⁰

−Lˆ_Φ( ˚A)≤lim inf

²→0 ²²log ˆT^²(Φ,A)≤lim sup

²→0 ²²log ˆT^²(Φ,A)≤ −Lˆ_Φ(A) (29) où

– ˆL_Φest définie par la formule

∀C∈(Ωⁿ₀⁺¹)⁰ Lˆ_Φ(C)=inf

½

1

2||h˜||²_Hr lorsque ˜h∈H^r vérifiantC=Φ_·

µCˆ^Φ_· ( ˜h)

¶¾

avec la convention inf; = ∞ – Cˆ^Φ( ˜h) est solution de

dCˆ^Φ_t ( ˜h)= Ã r

X

i=0

σˆ˜^∗_i

µCˆ^Φ_t ( ˜h)

¶˙˜hⁱ_t+σˆ˜^∗₀

µCˆ^Φ_t ( ˜h)

¶!

d t ; Cˆ^Φ₀ =(x, 0) (24’) avec les coefficients définis dans (26)

– ˚A(resp. A) désigne l’intérieur deA(resp. l’adhérence deA) dans (Ωⁿ⁺¹_x )⁰. Posons

Λ^²_t =1 2

l

X

j=1

Z _t

0 Γ²_j(X_s^²)d s−

l

X

j=1

Z _t

0 Γj(X_s^²)d Y_s^²,j. Alors par (23)

Λ^²t=1 2

l

X

j=1

Z t

0 Γ²_j(C_(1),s^²,Φ²)d s−C_(2),t^²,Φ².

FixonsΦ∈Dⁿ⁺¹et définissonsΛt par Λt =1

2

l

X

j=1

Z _t

0 Γ²_j(C_(1),s^1,Φ)d s−C_(2),t^1,Φ et une mesure sur (Ωⁿ_x)⁰par la formule

T_Γ^²(Φ,A)=E^²₀^B˜

·

1A(C₍₁₎^1,Φ)·exp−Λ1

²²

¸

. (30)

Alors suivant les notations de (19) et (23’) T_Γ^²(Φ,A) = E^²₀^B˜

· 1_A¡

p₁Vˆ(Φ)¢

·exp−Λ1

²²

¸

= Z

A×(Ω¹x)⁰

T^²(Φ,dC) exp−Λ1(C)

²² où ˆT^²est définie après (28).

Grâce à la proposition 3 et par (29), on a lim inf

²→0 ²²logT_Γ^²(Φ,A) ≥ −inf

½

Lˆ_Φ(C)+Λ1(C) lorsqueC∈ ˚ Aá×(Ω¹_x)⁰

¾

= −inf

½1 2

Z ₁

0

µ|˙˜hs|²+

¯

¯

¯

¯Γ µ

p₁ µ

Φ_·(Cˆ^Φ_· ( ˜h))

¶

s

¶¯

¯

¯

¯

2¶ d s

−p₂ µ

Φ·(Cˆ^Φ_· ( ˜h))

¶

1

; Φ·

µCˆ^Φ_· ( ˜h)

¶

∈ ˚

Aá×(Ω¹_x)⁰

¾

≥ −inf

½1 2

Z ₁

0

µ|˙˜hs|²+

¯

¯

¯

¯Γ µ

p1

µ Φ_·(ˆ

C^Φ_· ( ˜h))

¶

s

¶¯

¯

¯

¯

2¶ d s

−p₂ µ

Φ·(Cˆ^Φ_· ( ˜h))

¶

1

; Φ·

µCˆ^Φ_· ( ˜h)

¶

∈A˚×(Ω¹x)⁰

¾

du fait que ˚A×(Ω¹x)⁰⊂ ˚ Aá×(Ω¹x)⁰ lim sup

²→0 ²²logT_Γ^²(Φ,A) ≤ −infn

Lˆ_Φ(C)+Λ1(C) lorsqueC∈A×(Ω¹x)⁰o

= −inf

½1 2

Z ₁

0

µ|˙˜h_s|²+

¯

¯

¯

¯Γ µ

p₁ µ

Φ_·(ˆ C^Φ_· ( ˜h))

¶

s

¶¯

¯

¯

¯

2¶ d s

−p₂ µ

Φ·(Cˆ^Φ_· ( ˜h))

¶

1

; Φ·

µCˆ^Φ_· ( ˜h)

¶

∈A×(Ω¹x)⁰

¾

≤ −inf

½1 2

Z ₁

0

µ|˙˜hs|²+

¯

¯

¯

¯Γ µ

p₁ µ

Φ_·(Cˆ^Φ_· ( ˜h))

¶

s

¶¯

¯

¯

¯

2¶ d s

−p2

µ

Φ_·(Cˆ^Φ_· ( ˜h))

¶

1

; Φ_·

µCˆ^Φ_· ( ˜h)

¶

∈A×(Ω¹_x)⁰

¾

du fait queA×(Ω¹x)⁰⊂A×(Ω¹_x)⁰où ˆ

C^Φ( ˜h) est solution de (24’).

Nous avons alors obtenu le théoreme 4 :

Théorème 4 P-presque sûrement pour tout A borélien de(Ωⁿ_x)⁰:

−Lˆ^Γ_Φ( ˚A)≤lim inf

²→0 ²²logT_Γ^²(Φ,A)≤lim sup

²→0 ²²logT_Γ^²(Φ,A)≤ −Lˆ^Γ_Φ(A) (31) où

– Lˆ^Γ_Φ(A)=Lˆ^Γ_Φ(A×(Ω¹_x)⁰)avec Lˆ^Γ_Φ(A×(Ω¹_x)⁰)=inf

½1 2

Z ₁

0

µ|˙˜hs|²+

¯

¯

¯

¯Γ µ

p₁ µ

Φ_·(Cˆ^Φ_· ( ˜h))

¶

s

¶¯

¯

¯

¯

2¶

d s−p₂ µ

Φ_·(Cˆ^Φ_· ( ˜h))

¶

1

; Φ_·

µCˆ^Φ_· ( ˜h)

¶

∈A×(Ω¹_x)⁰

¾

(32) – ˆ

C^Φ_· ( ˜h)est solution de(24’)

– A (resp. A) désigne l’intérieur (resp. l’adhérence) de A dans˚ (Ωⁿ_x)⁰.

Remarquons que siΓ=0, nous obtenons les estimations de la proposition 1. Nous définissons pour chaqueωP-presque sûrement la probabilité :

N^²_Γ(ω,d w)= N_Γ^²(ω,d w) N_Γ^²¡

ω, (Ωⁿx)⁰¢ où

N_Γ^²(ω,d w)=T_Γ^²¡Fˆ(ω),d w¢

(33) etT_Γ^²est définie dans (30) et ˆFdans (28).

Nous avons le résultat suivant

Théorème 5 1. N_Γ^²(ω,d w)est une version non normalisée de la loi conditionnelle X^² sachant Y^².

De plus, nous avons les estimations suivantesP-presque sûrement pour tout A borélien de(Ωⁿ_x)⁰:

−l_ω^Γ( ˚A)≤lim inf

²→0 ²²logN_Γ^²(ω,A)≤lim sup

²→0 ²²logN_Γ^²(ω,A)≤ −l_ω^Γ(A) (34) avec l_ω^Γ=Lˆ^Γ_ˆ

F(ω)oùLˆ^Γ_ˆ

F(ω)est définie dans le théorème 4.

2. N^²_Γ(ω,d w) est une version de la loi conditionnelle X^² sachant Y^². De plus, nous avons les estimations suivantesP-presque sûrement pour tout A borélien de(Ωⁿ_x)⁰

−l^Γ_ω( ˚A)≤lim inf

²→0 ²²logN^²_Γ(ω,A)≤lim sup

²→0 ²²logN^²_Γ(ω,A)≤ −l^Γ_ω(A) (35) où l’on a posé

l^Γ_ω(z)=l_ω^Γ(z)−l_ω^Γ¡ (Ωⁿ_x)⁰¢

. (36)

Le 1) du théorème résulte directement du théorème 4.

Le 2) résulte du 1) et de l’expression (16) en faisant A=(Ωⁿ_x)⁰. Par identification,l_ω^Γ(z) a pour ex- pression :

l_ω^Γ(z)= inf

h∈H^r

½1 2

Z ₁

0

³|˙˜h|²+¯

¯Γ¡ p₁¡

C_s( ˜h)¢ (ω)¢¯

¯

2´

d s−p₂¡ C₁( ˜h)¢

(ω); z=p₁¡ C( ˜h)¢

(ω)et p₂¡ C( ˜h)¢

(ω)∈(Ω¹_x)⁰

¾

oùC( ˜h)(ω)=Fˆ(ω) µCˆ

Fˆ(ω)

( ˜h)

¶

est solution de

Ct( ˜h)=(x, 0)+

r

X

i=1

Z _t

0

σˆ˜i

¡Cs( ˜h)¢

·˙˜hⁱ_sd s+

l

X

j=1

Z _t

0

σˆj

¡Cs( ˜h)¢

◦d Y_s^j+ Z _t

0

σˆ˜¹₀¡ Cs( ˜h)¢

d s.

Remarque Signalons le fait que si lesσj sont tous nuls, nous avons obtenu une autre méthode plus directe pour les traitements des résultats de Hijab [7].

4 Applications

Considérons le couple signal / observation défini par (1). Soient χ etθ deux fonctionnelles de classeC_b^N+3etC_b^N+1surΩⁿ_x. Supposons aussi que la dérivéed^N+3θ est bornée sur les parties bornée deΩⁿ_x.

On veut étudier le comportement asymptotique de J(²)=E

½

χ(X^²) exp−θ(X^²)

²² |Y^²=ω

¾

et préciser les termes du développement comme dans Schilder [13], Azencott [1], Doss [5] et Ben Arous [2]. Plus précisemment, sous la condition de minimum non dégénéré pour la fonctionnelle θ+l_ω^Γ, nous donnons un développement asymptotique du type

e⁻

aω

²2e^−c²ω¡

α0,ω+α1,ω²+ · · · +αN,ω²^N+o(²^N+1)¢

(37) pour les intégrales du type

J_ω^Γ(²)=N_Γ^² µ

ω,χ(·) exp−θ(·)

²²

¶

(38) oùN_Γ^²etl_ω^Γsont définies dans le théorème 4.

Comme dans l’étude des grandes déviations, on commence par le casΓ=0. Posons alors J_Φ(²)=T₀^²

µ

Φ,χ(·) exp−θ(·)

²²

¶

(39) oùT₀^²(Φ,d w) est la loi du processus défini par (4) et (5) en remplaçantΦ^²parΦfixé, i.e.T₀^²(Φ,d w) est une version particulière de la loi conditionnelle deX^²sachantΦ^².

Précisons d’abord la fonctionnelle d’action définie par (10). Pour chaque Φ∈Dⁿ, notonsβΦ

l’application qui à ˜h∈H^r associeX^Φ( ˜h) la solution de l’équation (7). Ainsi

β_Φ,·( ˜h)=X^Φ_· ( ˜h). (40) D’où

L⁰_Φ(z)= inf

h∈H^r

½1

2||h||˜ ²_Hr |z=Φ_·¡ β_Φ,·

¢( ˜h)

¾

. (41)

Pour presque toutΦ∈Dⁿ, considérons le processusX^²,Φ=

³ X^²_t^,Φ´

t∈[0,1]solution de (5’), alors quand Φ∈F(Ω^l) oùF est définie dans (9), i.e.Φ=F(ω) nous posonsX^²,ω=

³

X^²_t^,F(ω)´

t∈[0,1]. Nous pouvons alors définir une fonctionnelle d’action ˜L⁰_Φ(z) pour le processusX^²,ω

L˜⁰_Φ(z)= inf

h∈H^r

½1

2||h˜||²_Hr |z=βΦ,·( ˜h)

¾

(42) voir Doss [6] pour le cas abélien et Rabeherimanana [9] pour le cas nilpotent. Comme les écritures X_t=Φt

³ X^²_t,ω´

etX^²_t =Φ⁻¹_t (X_t,ω) sont parfaitement équivalentes, alors L⁰_Φ(z) = infh˜∈H^r

n1

2||h||˜ ²_Hr |Φ_·¡ β_Φ,·¢

( ˜h)^déf= h_Φ◦¡ β_Φ,·¢

( ˜h)o

= ©L˜⁰_Φ(z)l or sque z=Φ(z)ª

. (43)

Nous avons la propriété suivante :

(P1) : SiL˜⁰_Φ(z)< +∞, alors il existe un uniqueh˜∈H^r tel que¹₂||h||˜ ²_Hr =L˜⁰_Φ(z).

Il est connu que siχest non nulle au voisinage des points oùθ+L⁰_Φatteint son minimum, alors lim²↓0²²logJ_Φ(²)= −inf{θ+L⁰_Φ}. (44) Nous supposons que :

C1 : θ+L⁰_Φatteint son minimum en un nombre fini de pontsz₁,· · ·,z_n0de (Ωⁿ_x)⁰(ce qui est équi- valent àθ◦h_Φ+L˜⁰_Φatteint son minimum en un nombre fini de pointsz₁,· · ·,z_n0).

Par la propriétéP1, nous avons sous la conditionC1 a_Φ = inf©

θ+L⁰_Φ(z),z∈(Ωⁿ_x)⁰ª

= inf©

θ◦h_Φ+L˜⁰_Φ(z), z∈Ωⁿx

ª

= inf©

θ◦h_Φ◦βΦ( ˜h)+¹₂||h˜||²_H^r, ˜h∈H^rª

(45)

et l’infinimum du dernier est atteint en n⁰ points de H^r h˜1,· · ·, ˜h_n⁰ tels que h_Φ◦β_Φ( ˜hi)=zi et

1

2||h˜_i||²_H^r =L⁰_Φ(z_i).

Nous supposons aussi que