3 Caractères d’une représentation

Leçon 107 : Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C–espace vectoriel. Exemples.

On considèreV unC–espace vectoriel de dimension finienet un groupe finiGde cardinalg.

1 Définition et premiers exemples

Définition 1. On appelle représentation linéaire deG dansV un mor- phisme de groupesρ:G→GL(V). La dimension deV est appelé le degré de la représentation. Sis∈G, on noteraρsplutôt queρ(s).

Remarque2. C’est équivalent à considérer une action deGsurV par au- tomorphismes linéaires.

Exemple 3.

1. Les représentations de degré 1 sont les morphismes deG dansC^∗. Comme tout élément deGest d’ordre fini, les valeur deρssont des racines de l’unité. La représentations7→1 est appelée la représen- tation unité.

2. Si la dimension deV est égale au cardinal deG,V ayant pour base (e_t)_t∈G, on considère la l’applications7→ρs oùρs est l’application linéaire définie parρs(et)=est. Alorsρest une représentation ap- pelée « la » représentation régulière deG. Elle est de degrég. 3. Si G =S_n, on dispose de la représentation par permutationsρ :

S_n→GLn(C) qui àσ∈S_nassocie la matrice de permutationP_σ= (δσ(i),j)i,j. Elle est de degrén.

Définition 4. Soientρ:G→GL(V) etρ⁰:G→GL(V⁰) deux représenta- tions. Sur la somme directeV ⊕V⁰, on définit la représentation somme ρ⊕ρ⁰par : (ρ⊕ρ⁰)s(v,v⁰)=(ρs(v),ρ⁰s(v⁰)).

Définition 5. Soientρ:G→GL(V) etρ⁰:G→GL(V⁰) deux représenta- tions deG. On dit que f :V→V⁰est un morphisme de représentations si

f est linéaire et vérifie∀s∈G,f◦ρs=ρ⁰s◦f.

Si de plusf est un isomorphisme, on dit que les représentations sont iso- morphes.

2 Sous-représentation

Définition 6. Soitρ:G→GL(V) une représentation et soitW un s.e.v. de V stable parG:∀s∈G,ρs(W)⊆W. La restriction desρsàW définit alors une représentation deGdansW appelée sous-représentation deV. Exemple 7. Soient ρ:G→GL(V) etρ⁰ :G →GL(V⁰) deux représenta- tions et considérons la représentationρ⊕ρ⁰. AlorsV etV⁰sont des sous- représentations deV⊕V⁰.

Définition 8. On dit qu’une représentation est irréductible siV n’est pas réduit à {0} et si elle n’admet pas de sous-représentations autres que {0} et V lui-même.

Exemple 9.

1. Tout représentation de degré 1 est irréductible.

2. La représentation régulière deG n’est pas irréductible : la droite engendrée par le vecteur P

t∈Get est stable et donne une sous- représentation isomorphe à la représentation unité.

3. La représentation par permutations deS_n n’est pas irréductible : la droite engendré par (1, . . . , 1) est stable, de même que l’hyperplan d’équationPn

i=1xi=0. Notons que ces deux s.e.v. sont supplémen- taires.

Théorème 10. Soitρ:G→GL(V)une représentation et soit W un s.e.v.

stable par G. Alors W admet un supplémentaire stable par G.

1

Corollaire 11. Toute représentation est somme directe de sous- représentations irréductibles.

3 Caractères d’une représentation

Définition 12. Soitρ:G→GL(V) une représentation. On appelle carac- tère de la représentationρl’applicationχ:G→Cdéfinie parχ(s)=Tr(ρs).

Si la représentation est irréductible, on parlera de caractère irréductible.

Proposition 13. Soitρ:G→GL(V)une représentation et soitχson carac- tère.

1. χ(1)=n.

2. χ(s⁻¹)=χ(s).

3. χ(st s⁻¹)=χ(t).

Exemple 14.

1. Le caractère d’une représentation de degré 1 se confond avec la re- présentation. Ainsi les caractères d’une représentation de degré 1 sont les morphismes deG dansC^∗. Le caractère de la représenta- tion unité est le morphisme trivialχ:s7→1.

2. Le caractère de la représentation régulière deGest la fonctionχdé- finie parχ(e)=getχ(s)=0 sis6=e.

3. Le caractère de la représentation par permutations de S_n est la fonctionχdéfinie parχ(σ)=#Fix(σ).

Proposition 15. Soientρ:G→GL(V) etρ⁰:G→GL(V⁰)deux représen- tations de caractères respectifsχetχ⁰. Alors la représentationρ⊕ρ⁰a pour caractèreχ+χ⁰.

Lemme 16(Schur). Soientρ:G→GL(V)etρ⁰:G→GL(V⁰)deux représen- tations irréductibles et soit f :V →V⁰un morphisme de représentations.

1. Ou bien f est nulle, ou bien f est un isomorphisme.

2. Si V =V⁰etρ=ρ⁰, alors f est une homothétie.

Corollaire 17. Soit h:V→V⁰linéaire et posons h0=_g¹P

t∈Gρ⁰_t⁻¹◦h◦ρt. 1. Siρetρ⁰ne sont pas isomorphes, alors h₀est nulle.

2. Si V =V⁰etρ=ρ⁰, alors h0est une homothétie de rapport^Tr(h)_n . Définition 18. Siϕetψsont deux fonctions deGdansC, on note :

〈ϕ|ψ〉 = 1 g

X

t∈G

ϕ(t)ψ(t)

C’est un produit scalaire hermitien.

Théorème 19. Soientχetχ⁰deux caractères irréductibles.

〈χ|χ⁰〉 =

½ 1 siχ=χ⁰

0 siχetχ⁰proviennent de représentations non isomorphes.

Corollaire 20. Soitρ:G→GL(V)une représentation de caractèreϕ. Soit V=W₁⊕· · ·⊕W_kune décomposition en sous-représentations irréductibles.

Si W est une représentation irréductible de caractèreχ, alors le nombre de Wiisomorphes à W est égal à〈ϕ|χ〉.

Théorème 21. Siϕest le caractère d’une représentation de G, alors〈ϕ|ϕ〉

est un entier positif et celui-ci vaut1ssi la représentation est irréductible.

Exemple 22. Notons χ1, . . . ,χh les caractères irréductibles, et n₁, . . . ,n_h leurs degrés (ni =χi(e)). Chaque représentation irréductible est conte- nue dans la représentation régulière un nombre de fois égal à son degré.

Commeχreg(s) vautg sis=eet 0 sinon, on en déduit les deux relations suivantes :

h

X

i=1

n²_i =g, ∀s6=e,

h

X

i=1

niχi(s)=0 2

Définition 23. Une fonctionf :G→Cest centrale si∀s,t∈G, f(st s⁻¹)= f(t). L’ensemble des fonctions centrales est unC–espace vectoriel de di- mensionhle nombre de classes de conjugaison deG.

Théorème 24.Les caractères irréductibles de G forment une base orthonor- mée de l’espace des fonctions centrales. Il y a donc h caractères irréductibles de G.

On peut regrouper les informations sur les caractères irréductibles dans un tableau appelé table des caractères. On indexe les lignes par les ca- ractères irréductibles et les colonnes par les classes de conjugaisons deG.

Chaque case contient alors la valeur du caractère sur la classe de conjugai- son. On trouvera en annexe quelques tables de caractères. Notamment :

Théorème 25. Les groupesD4etH8ont la même table de caractères.

4 Caractères et dualité

On s’intéresse maintenant aux représentations de degré 1, c’est-à-dire aux morphismes deGdansC^∗.

Lemme 26. Soit G un groupe etχ:G→C^∗un morphisme. Alorsχse fac- torise en un morphisme de G^abdansC^∗.

Proposition 27. Un groupe G est abélien ssi toutes ses représentations irré- ductibles sont de degré 1.

Définition 28. SoitG un groupe abélien fini. On note ˆGl’ensemble des morphismes deGdansC^∗.

Proposition 29. On munitG d’une structure de groupe pour la loi de com-ˆ position interne(χ1·χ2)(g)=χ1(g)χ2(g). AlorsG est un groupe abélien finiˆ et|Gˆ| = |G|.

Lemme 30(relèvement de caractère). Soit G un groupe abélien fini et soit H un sous-groupe de G. Alors la restriction :

Gˆ −→ Hˆ χ 7−→ χ|H

est surjective.

Théorème 31(structure des groupes abéliens finis). Soit G un groupe abé- lien fini. Alors il existe1<d_k| · · · |d1tels que G est isomorphe au produit Z/d_kZ× · · · ×Z/d₁Z. De plus, les nombres d_k, . . . ,d₁sont uniques, on les ap- pelles les invariants de G.

Développements

1. Table de caractères de D4etH8.[25]

2. Lemme de relèvement et structure des groupes abéliens finis.[31]

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Annexe

S_{3 id (12) (123)}

1 1 1 1

ε 1 −1 1

χstd 2 0 −1

S₄ id (12) (12)(34) (123) (1234)

1 1 1 1 1 1

ε 1 −1 1 1 −1

χstd 3 1 −1 0 −1

εχstd 3 −1 −1 0 1

ϕ 2 0 2 −1 0

D4 id r2 r1 s1 d1

1 1 1 1 1 1

ε 1 1 −1 1 −1

det 1 1 1 −1 −1

εdet 1 1 −1 −1 1 χnat 2 −2 0 0 0

Références

— CALDEROet GERMONI,Nouvelles histoires hédonistes de groupes de géométries, tome II.

— PEYRÉ,L’algèbre discrète de la transformée de Fourier.

— SERRE,Représentations linéaires des groupes finis.

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