I. Densité de Schnirelmann

Lycée La Martinière Monplaisir Année 2013/2014

MPSI - Mathématiques le 20 novembre

Devoir à la maison n° 06

À rendre le 27 novembre

I. Densité de Schnirelmann

Pour toute partie A de Net tout entier n >1, on pose S_n(A) = Card(A∩ {1,2,· · · , n}) et on appelle densité de Schnirelmann deA le réel

σ(A) = inf

( S_n(A) n

n>1

)

SiA et B sont deux parties de N, on pose

A+B ={a+b|a∈A|b ∈B} 1) a) Justifier la définition de σ(A).

b) Que vaut σ(A) si 16∈A?

c) Sous quelle condition a-t-on σ(A) = 1 ? d) Si A⊂B, comparer σ(A) et σ(B).

2) Calculer σ(A) pour les parties suivantes : a) A est une partie finie de N.

b) A est l’ensemble des entiers impairs.

c) Soit k >2 entier fixé et A l’ensemble des puissancesk-ièmes d’entiers.

A ={m^k, m∈N^∗}

3) Soit A et B deux parties de N contenant 0 et n > 1 un nombre entier. En considérant

C ={n−b |b∈ {0,1,· · · , n} ∩B } montrer que

S_n(A) +S_n(B)>n⇒n ∈A+B 4) a) Montrer que si σ(A) +σ(B)>1 alorsA+B =N.

b) Montrer que si 0∈Aetσ(A)> ¹₂ alors tout nombre entier est la somme de deux éléments de A.

— FIN —

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