Devoir maison de Math´ematiques n
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Exercice 1
On consid`ere la suite num´erique (Jn) d´efinie, pour tout entier naturelnnon nul, par :
Jn= Z n
1
e−t√
1 +tdt
1. D´emontrer que la suite (Jn) est croissante.
2. On d´efinit la suite (In), pour tout entier naturel nnon nul, par :
In= Z n
1
(1 +t)e−tdt
(a) Justifier que, pour toutt>1, on a√
1 +t61 +t.
(b) En d´eduire queJn6In.
(c) CalculerInen fonction den. En d´eduire que la suite (Jn) est major´ee par un nombre r´eel (ind´ependant den).
(d) Que peut-on en conclure pour la suite (Jn) ?
Exercice 2
On consid`ere la suite num´erique (Wn) d´efinie, pour tout entier natureln, par ;
Wn= Z π
2
0
(cost)ndt
1. CalculerW0 etW1.
2. Montrer par Int´egration Par Parties queWn+2 = n+ 1
n+ 2 Wn , n∈N. 3. En d´eduire les valeurs deW2,W3 etW4.
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