Devoir maison de math´ematiques n
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Exercice 1
Soit ABC un triangle quelconque.
1. Construire le pointGtel que−→
AG= 13(−−→ AB+−→
AC).(laisser les traits de construction)
2. Construire le pointDtel que−−→
GD = 13−−→
BC.(laisser les traits de construction)
3. En utilisant la relation de Chasles, prouver que−−→
AD= 23−→
AC.
Exercice 2
Dans un rep`ere quelconque (O,−→ i ,−→
j), on consid`ere les pointsA(3; 2),B(−2; 1) etC(2;−1).
1. Calculer les coordonn´ees du point Dtel queABCD soit un parall´elogramme.
2. Calculer les coordonn´ees du point E tel que−→
AE = 34−−→ CB.
3. Calculer les coordonn´ees du point F tel que 2−→
F A+−−→ F B+−−→
F C =−→ 0 .
Exercice 3
Dans un rep`ere orthonorm´e (O,−→i ,−→j), on consid`ere les points A(3; 1), B(3; 2), C(1; 3) et D(−1;−1).
1. Montrer que le triangleACD est isoc`ele enD.
2. Montrer que le triangleBCD est rectangle enC.
3. Calculer une valeur approch´ee `a l’unit´e de l’angle BDC.\
Exercice 4
On consid`ere un triangle quelconque ABC, soit I le milieu du segment [AB].
1. Placer les pointsM etN tels que −−→
AM = 13−−→
AB et−−→
CN = 13−→
CA.
2. Donner les coordonn´ees des pointsA,B,C,M,N etI dans le rep`ere (A,−−→ AB,−→
AC).
3. Donner les coordonn´ees des vecteurs −−→
M N et −→
IC dans le rep`ere (A,−−→ AB,−→
AC). En d´eduire leur colin´earit´e.
4. Prouver que les droites (M N) et (IC) sont parall`eles.
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Exercice 5*
On consid`ere un triangle quelconque ABC. On d´efinit les points M, N etP par :
−−→AM = 1 3
−−→
AB , −−→ BN = 1
3
−−→ BC , −−→
CP = 1 3
−→CA
SoientI etJ les milieux respectifs des segments [BC] et [N P].
1. Donner les coordonn´ees des pointsM,N etP dans le rep`ere (A,−−→ AB,−→
AC).
2. Donner les coordonn´ees des pointsI etJ dans le rep`ere (A,−−→ AB,−→
AC).
3. En d´eduire les coordonn´ees des centres de gravit´e des triangles ABC et M N P. Que constate-t-on ?
Exercice 6**
On consid`ere un triangle quelconque ABC.
1. Placer les pointsM(13; 0) etN(0;23) dans le rep`ere (A,−−→ AB,−→
AC).
2. Construire le point d’intersectionP des droites (BN) et (CM).
3. On pose −BP−→=k1−BN−→, exprimer les coordonn´ees du pointP dans le rep`ere (A,−AB,−→ −→
AC) en fonction de k1.
4. On pose −−→
CP =k2−−→
CM, exprimer les coordonn´ees du point P dans le rep`ere (A,−−→ AB,−→
AC) en fonction de k2.
5. Calculerk1 etk2.(on pourra utiliser un syst`eme de deux ´equations du premier degr´e)
6. En d´eduire les coordonn´ees du pointP dans le rep`ere (A,−−→ AB,−→
AC).
Exercice 7**
On consid`ere un triangle quelconque ABC. On d´efinit les points M, N etP par :
−−→AM =−1 3
−−→
AB , −BN−→=−1 3
−−→
BC , −CP−→=−1 3
−→CA
Prouver que les triangles ABC etM N P ont mˆeme centre de gravit´e.
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