R ´e solutiondel’ ´e quationdutroisi `e medegr ´e (deuxi `e mepartie)

Activit´e de math´ematiques

R´esolution de l’´equation du troisi`eme degr´e (deuxi`eme partie)

On consid`ere l’´equation du troisi`eme degr´e x³+px+q = 0. On rappelle que siu etv sont deux r´eels dont les cubes sont solutions de l’´equation du deuxi`eme degr´eX²+qX−p³

27 = 0 alors le r´eelx=u+vest une solution de l’´equationx³+px+q= 0.

Mise en ´evidence d’une difficult´e et pr´esentation d’une solution On consid`ere l’´equation du troisi`eme degr´ex³−15x−4 = 0.

1. Montrer que la m´ethode ci-dessus ne permet pas de d´eterminer une solution de l’´equation.

2. On d´efinit un nombre ”imaginaire” que l’on note i et qui v´erifie la relation i² =−1. Montrer que les nombres X1 = 2 + 11i etX2= 2−11i sont solutions de l’´equation X²−4X+ 125 = 0.

3. On pose u= 2 +i etv= 2−i.

(a) Prouver que u³ =X1. (b) Prouver que v³ =X2.

4. En d´eduire une solution de l’´equation x³−15x−4 = 0.

5. D´eterminer deux nombres α etβ tels quex³−15x−4 = (x−4)(x²+αx+β). En d´eduire toutes les solutions de l’´equation x³−15x−4 = 0.

R´esolution de l’´equation du deuxi`eme degr´e dans le cas d’un discriminant n´egatif On consid`ere l’´equation du deuxi`eme degr´eax²+bx+c= 0, a6= 0 avec ∆ =b²−4ac <0.

1. Montrer que x=m+ni avec i² =−1 est solution de l’´equation si :











m = − b 2a n² = − ∆ 4a²

2. En d´eduire la forme g´en´erale des solutions de l’´equation ax²+bx+c= 0 , ∆<0.

3. R´esoudre les ´equations suivantes :

x²−6x+ 13 = 0 x²−2x+ 3 = 0 x²+x+ 1 = 0 3x²−2x+ 2 = 0

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