Cours d’alg` ebre 3
Fili`ere : SMIA Semaine du 27-04-2020
Hanine Abdelouahab
Universit´e Mohammed 5.
Facult´e des sciences
D´epartement de Math´ematiques-Rabat.
4 mai 2020
Famille libre-li´ ee-g´ en´ eratrice
Definition
1) Une famille{v1,v2, . . . ,vp}de E est libre si
λ1v1+λ2v2+· · ·+λpvp= 0 =⇒ λi = 0, ∀ 1≤i ≤p
2) On dit que la famille estli´eedans le cas contraire. 3) Une famille{v1,v2, . . . ,vp}de E est g´en´eratrice si
∀v ∈E ∃λ1, . . . , λp∈K v =λ1v1+· · ·+λpvp. Autrement dit :Vect(v1,v2, . . . ,vp) =E
4) Une familleB= (v1,v2, . . . ,vn) deE est unebase deE si B est une famille libre et g´en´eratrice.
Exemple : Soientv1 =
2
−1 0 3
,v2=
1
25
−1
etv3 = 7
−1 5 8
. Alors {v1,v2,v3} forme une famille li´ee, car 3v1+v2−v3= 0.
Famille libre-li´ ee-g´ en´ eratrice
Definition
1) Une famille{v1,v2, . . . ,vp}de E est libre si
λ1v1+λ2v2+· · ·+λpvp= 0 =⇒ λi = 0, ∀ 1≤i ≤p 2) On dit que la famille estli´eedans le cas contraire.
3) Une famille{v1,v2, . . . ,vp}de E est g´en´eratrice si
∀v ∈E ∃λ1, . . . , λp∈K v =λ1v1+· · ·+λpvp. Autrement dit :Vect(v1,v2, . . . ,vp) =E
4) Une familleB= (v1,v2, . . . ,vn) deE est unebase deE si B est une famille libre et g´en´eratrice.
Exemple : Soientv1 =
2
−1 0 3
,v2=
1
25
−1
etv3 = 7
−1 5 8
. Alors {v1,v2,v3} forme une famille li´ee, car 3v1+v2−v3= 0.
Famille libre-li´ ee-g´ en´ eratrice
Definition
1) Une famille{v1,v2, . . . ,vp}de E est libre si
λ1v1+λ2v2+· · ·+λpvp= 0 =⇒ λi = 0, ∀ 1≤i ≤p 2) On dit que la famille estli´eedans le cas contraire.
3) Une famille{v1,v2, . . . ,vp}de E est g´en´eratrice si
∀v∈E ∃λ1, . . . , λp∈K v =λ1v1+· · ·+λpvp.
Autrement dit :Vect(v1,v2, . . . ,vp) =E
4) Une familleB= (v1,v2, . . . ,vn) deE est unebase deE si B est une famille libre et g´en´eratrice.
Exemple : Soientv1 =
2
−1 0 3
,v2=
1
25
−1
etv3 = 7
−1 5 8
. Alors {v1,v2,v3} forme une famille li´ee, car 3v1+v2−v3= 0.
Famille libre-li´ ee-g´ en´ eratrice
Definition
1) Une famille{v1,v2, . . . ,vp}de E est libre si
λ1v1+λ2v2+· · ·+λpvp= 0 =⇒ λi = 0, ∀ 1≤i ≤p 2) On dit que la famille estli´eedans le cas contraire.
3) Une famille{v1,v2, . . . ,vp}de E est g´en´eratrice si
∀v∈E ∃λ1, . . . , λp∈K v =λ1v1+· · ·+λpvp. Autrement dit :Vect(v1,v2, . . . ,vp) =E
4) Une familleB= (v1,v2, . . . ,vn) deE est unebase deE si B est une famille libre et g´en´eratrice.
Exemple : Soientv1 =
2
−1 0 3
,v2=
1
25
−1
etv3 = 7
−1 5 8
. Alors {v1,v2,v3} forme une famille li´ee, car 3v1+v2−v3= 0.
Famille libre-li´ ee-g´ en´ eratrice
Definition
1) Une famille{v1,v2, . . . ,vp}de E est libre si
λ1v1+λ2v2+· · ·+λpvp= 0 =⇒ λi = 0, ∀ 1≤i ≤p 2) On dit que la famille estli´eedans le cas contraire.
3) Une famille{v1,v2, . . . ,vp}de E est g´en´eratrice si
∀v∈E ∃λ1, . . . , λp∈K v =λ1v1+· · ·+λpvp. Autrement dit :Vect(v1,v2, . . . ,vp) =E
4) Une familleB= (v1,v2, . . . ,vn)de E est unebase deE si B est une famille libre et g´en´eratrice.
Exemple : Soientv1 =
2
−1 0 3
,v2=
1
25
−1
etv3 = 7
−1 5 8
. Alors {v1,v2,v3} forme une famille li´ee, car 3v1+v2−v3= 0.
Famille libre-li´ ee-g´ en´ eratrice
Definition
1) Une famille{v1,v2, . . . ,vp}de E est libre si
λ1v1+λ2v2+· · ·+λpvp= 0 =⇒ λi = 0, ∀ 1≤i ≤p 2) On dit que la famille estli´eedans le cas contraire.
3) Une famille{v1,v2, . . . ,vp}de E est g´en´eratrice si
∀v∈E ∃λ1, . . . , λp∈K v =λ1v1+· · ·+λpvp. Autrement dit :Vect(v1,v2, . . . ,vp) =E
4) Une familleB= (v1,v2, . . . ,vn)de E est unebase deE si B est une famille libre et g´en´eratrice.
Exemple : Soientv1 =
2
−1 0 3
,v2=
1
25
−1
etv3 = 7
−1 5 8
. Alors{v1,v2,v3} forme une famille li´ee, car 3v1+v2−v3= 0.
Dimension
Lemme
SoitE un espace vectoriel. SoitL une famille libre et soit G une famille g´en´eratrice finie deE. Alors CardL ≤CardG.
Ce lemme implique le r´esultat important :
Proposition
SoitE un K-espace vectoriel admettant une base ayant n
´el´ements. Alors :
1 Toute famille libre de E a au plus n ´el´ements.
2 Toute famille g´en´eratrice deE a au moinsn ´el´ements. Cette proposition impliquera bien le th´eor`eme de la dimension :
Corollaire
SiE est un espace vectoriel admettant une base ayantn ´el´ements, alors toute base deE poss`eden ´el´ements.
Dimension
Lemme
SoitE un espace vectoriel. SoitL une famille libre et soit G une famille g´en´eratrice finie deE. Alors CardL ≤CardG.
Ce lemme implique le r´esultat important :
Proposition
SoitE un K-espace vectoriel admettant une base ayant n
´el´ements. Alors :
1 Toute famille libre de E a au plus n´el´ements.
2 Toute famille g´en´eratrice deE a au moinsn ´el´ements.
Cette proposition impliquera bien le th´eor`eme de la dimension :
Corollaire
SiE est un espace vectoriel admettant une base ayantn ´el´ements, alors toute base deE poss`eden ´el´ements.
Dimension
Lemme
SoitE un espace vectoriel. SoitL une famille libre et soit G une famille g´en´eratrice finie deE. Alors CardL ≤CardG.
Ce lemme implique le r´esultat important :
Proposition
SoitE un K-espace vectoriel admettant une base ayant n
´el´ements. Alors :
1 Toute famille libre de E a au plus n´el´ements.
2 Toute famille g´en´eratrice deE a au moinsn ´el´ements.
Cette proposition impliquera bien le th´eor`eme de la dimension : Corollaire
SiE est un espace vectoriel admettant une base ayantn ´el´ements,
Existence d’une base
Une version importante et plus g´en´erale de ce qui pr´ec`ede est le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme (Th´eor`eme de la base incompl`ete)
SoitE un K-espace vectoriel admettant une famille g´en´eratrice finie.
1 Toute famille libre Lpeut ˆetre compl´et´ee en une base.
C’est-`a-dire qu’il existe une familleF telle que L ∪ F soit une famille libre et g´en´eratrice de E.
2 De toute famille g´en´eratriceG on peut extraire une base deE. C’est-`a-dire qu’il existe une famille B ⊂ G telle queB soit une famille libre et g´en´eratrice de E.
Pour la preuve voir le cours
Existence d’une base
Une version importante et plus g´en´erale de ce qui pr´ec`ede est le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme (Th´eor`eme de la base incompl`ete)
SoitE un K-espace vectoriel admettant une famille g´en´eratrice finie.
1 Toute famille libre Lpeut ˆetre compl´et´ee en une base.
C’est-`a-dire qu’il existe une familleF telle que L ∪ F soit une famille libre et g´en´eratrice de E.
2 De toute famille g´en´eratriceG on peut extraire une base deE. C’est-`a-dire qu’il existe une familleB ⊂ G telle queB soit une famille libre et g´en´eratrice de E.
Pour la preuve voir le cours
Dimension d’un espace vectoriel
Th´eor`eme
SoitB= (v1,v2, . . . ,vn) une base deE. Tout vecteur v ∈E s’exprime de facon unique comme combinaison lin´eaire d’´el´ements deB. Autrement dit
∀v∈E,∃!λ1, . . . , λn∈K v =λ1v1+· · ·+λpvn.
Definition
SiB est une base finie de E, le nombre de vecteurs deB est appel ladimension deE (finie) not´eedimE.
l’existence d’une base, c’est ´equivalent `a l’existence d’une famille finie g´en´eratrice.
Th´eor`eme (Th´eor`eme de la dimension)
Toutes les bases d’un espace vectorielE de dimension finie ont le mme nombre d’´el´ements.
Dimension d’un espace vectoriel
Th´eor`eme
SoitB= (v1,v2, . . . ,vn) une base deE. Tout vecteur v ∈E s’exprime de facon unique comme combinaison lin´eaire d’´el´ements deB. Autrement dit
∀v∈E,∃!λ1, . . . , λn∈K v =λ1v1+· · ·+λpvn.
Definition
SiB est une base finie de E, le nombre de vecteurs deB est appel ladimension deE (finie) not´eedimE.
l’existence d’une base, c’est ´equivalent `a l’existence d’une famille finie g´en´eratrice.
Th´eor`eme (Th´eor`eme de la dimension)
Toutes les bases d’un espace vectorielE de dimension finie ont le mme nombre d’´el´ements.
Dimension d’un espace vectoriel
Th´eor`eme
SoitB= (v1,v2, . . . ,vn) une base deE. Tout vecteur v ∈E s’exprime de facon unique comme combinaison lin´eaire d’´el´ements deB. Autrement dit
∀v∈E,∃!λ1, . . . , λn∈K v =λ1v1+· · ·+λpvn.
Definition
SiB est une base finie de E, le nombre de vecteurs deB est appel ladimension deE (finie) not´eedimE.
l’existence d’une base, c’est ´equivalent `a l’existence d’une famille finie g´en´eratrice.
Th´eor`eme (Th´eor`eme de la dimension)
Toutes les bases d’un espace vectorielE de dimension finie ont le mme nombre d’´el´ements.
Exemples
1 La base canonique de R2 est ((10),(01)). La dimension de R2 est donc 2.
2 Les vecteurs ((21),(11))forment aussi une base de R2, et illustrent qu’une autre base contient le mme nombre d’´el´ements.
3 Plus g´en´eralement,Kn est de dimensionn, car par exemple sa base canonique(e1,e2, . . . ,en) contientn ´el´ements.
4 dimRn[X] =n+ 1car une base deRn[X]est (1,X,X2, . . . ,Xn), qui contientn+ 1´el´ements.
Exemple
Soientu=1
11
etv =1
23
deux vecteurs de R3. D´eterminons P =Vect(u,v).
x
yz
∈Vect(u,v) ⇐⇒ x
yz
=λu+µv pour certainsλ, µ∈R
⇐⇒ x
yz
=λ1
11
+µ1
23
⇐⇒
x = λ+µ y = λ+ 2µ z = λ+ 3µ
Donc nous obtenons :P ={(x,y,z) :x−2y+z = 0}. On a aussi x
yz
= x y 2y−x
=x 1
−10
+y0
12
=⇒ Vect( 1
−10
,0
12
)et dimP = 2
Dimension d’un espace vectoriel
Il reste `a ´enoncer un r´esultat important et tr`es utile :
Th´eor`eme
SoientE unK-espace vectoriel de dimensionn, etF = (v1, . . . ,vn) une famille den vecteurs deE. Il y a ´equivalence entre :
(i) F est une base deE, (ii) F est une famille libre deE, (iii) F est une famille g´en´eratrice deE.
Autrement dit, lorsque le nombre de vecteurs consid´er´e est exactement ´egal `a la dimension de l’espace vectoriel, l’une des deux conditions – ˆetre libre ou bien g´en´eratrice – suffit pour que ces vecteurs d´eterminent une base de E.
Pour la preuve voir le cours
Dimension d’un sous-espace vectoriel
SoitF un sous espace vectoriel de E Nous allons voir que : lorsque E est de dimension finie alorsF aussi.
Th´eor`eme
SoitE un K-espace vectoriel de dimension finie.
1 Alors tout sous-espace vectoriel F deE est de dimension finie ;
2 dimF ≤dimE;
3 F =E ⇐⇒ dimF =dimE.
Th´eor`eme (Th´eor`eme des quatre dimensions)
SoientE un espace vectoriel de dimension finie etF,G des sous-espaces vectoriels deE. Alors :
dim(F +G) =dimF +dimG −dim(F ∩G) SiE =F ⊕G, alors dimE =dimF +dimG.
Dimension d’un sous-espace vectoriel
SoitF un sous espace vectoriel de E Nous allons voir que : lorsque E est de dimension finie alorsF aussi.
Th´eor`eme
SoitE un K-espace vectoriel de dimension finie.
1 Alors tout sous-espace vectoriel F deE est de dimension finie ;
2 dimF ≤dimE;
3 F =E ⇐⇒ dimF =dimE.
Th´eor`eme (Th´eor`eme des quatre dimensions)
SoientE un espace vectoriel de dimension finie etF,G des sous-espaces vectoriels deE. Alors :
dim(F +G) =dimF +dimG −dim(F ∩G)
SiE =F ⊕G, alors dimE =dimF +dimG.
Dimension d’un sous-espace vectoriel
SoitF un sous espace vectoriel de E Nous allons voir que : lorsque E est de dimension finie alorsF aussi.
Th´eor`eme
SoitE un K-espace vectoriel de dimension finie.
1 Alors tout sous-espace vectoriel F deE est de dimension finie ;
2 dimF ≤dimE;
3 F =E ⇐⇒ dimF =dimE.
Th´eor`eme (Th´eor`eme des quatre dimensions)
SoientE un espace vectoriel de dimension finie etF,G des sous-espaces vectoriels deE. Alors :
dim(F +G) =dimF +dimG −dim(F ∩G) SiE =F ⊕G, alors dimE =dimF +dimG.
Exemples
Soient les sous-espaces vectoriels deR3 suivants : F =x
yz
∈R3 |2x−3y+z = 0 et G =Vect(u,v)o`u u=1
11
et v = 2
−11
.Est-ce queF =G?
1 On remarque queu et v ne sont pas colin´eaires, donc dimG = 2, de plus u∈F etv ∈F c-`a-d G ⊂F et dimF ≥dimG.
2 On a dimF <dimR3 = 3 car le vecteur1
00
∈/F donc mais puisque F contient G alors dimF ≥dimG = 2, donc la dimension de F ne peut tre que2.
3 On a donc d´emontr´e queG ⊂F et quedimG =dimF, ce qui entrane G =F.
Exemples
Soient les sous-espaces vectoriels deR3 suivants : F =x
yz
∈R3 |2x−3y+z = 0 et G =Vect(u,v)o`u u=1
11
et v = 2
−11
.Est-ce queF =G?
1 On remarque queu et v ne sont pas colin´eaires, donc dimG = 2, de plus u∈F etv ∈F c-`a-d G ⊂F et dimF ≥dimG.
2 On a dimF <dimR3 = 3 car le vecteur1
00
∈/F donc mais puisque F contient G alors dimF ≥dimG = 2, donc la dimension de F ne peut tre que2.
3 On a donc d´emontr´e queG ⊂F et quedimG =dimF, ce qui entrane G =F.
Exemples
Soient les sous-espaces vectoriels deR3 suivants : F =x
yz
∈R3 |2x−3y+z = 0 et G =Vect(u,v)o`u u=1
11
et v = 2
−11
.Est-ce queF =G?
1 On remarque queu et v ne sont pas colin´eaires, donc dimG = 2, de plus u∈F etv ∈F c-`a-d G ⊂F et dimF ≥dimG.
2 On a dimF <dimR3 = 3 car le vecteur1
00
∈/F donc mais puisque F contient G alors dimF ≥dimG = 2, donc la dimension de F ne peut tre que2.
3 On a donc d´emontr´e queG ⊂F et quedimG =dimF, ce qui entrane G =F.
Exemples
Soient les sous-espaces vectoriels deR3 suivants : F =x
yz
∈R3 |2x−3y+z = 0 et G =Vect(u,v)o`u u=1
11
et v = 2
−11
.Est-ce queF =G?
1 On remarque queu et v ne sont pas colin´eaires, donc dimG = 2, de plus u∈F etv ∈F c-`a-d G ⊂F et dimF ≥dimG.
2 On a dimF <dimR3 = 3 car le vecteur1
00
∈/F donc mais puisque F contient G alors dimF ≥dimG = 2, donc la dimension de F ne peut tre que2.
3 On a donc d´emontr´e queG ⊂F et quedimG =dimF, ce qui entrane G =F.
Rang d’une famille de vecteurs :
E un K-espace vectoriel {v1, . . . ,vp}des vecteurs de E
Vect(v1, . . . ,vp) est de dimension finie
D´efinition
Le rang de la famille{v1, . . . ,vp} est la dimension du sous-espace vectoriel engendr´e par les vecteurs v1, . . . ,vp
rg(v1, . . . ,vp) =dimVect(v1, . . . ,vp)
Proposition
1 0≤rg(v1, . . . ,vp)≤p
2 rg(v1, . . . ,vp)≤dimE
Rang d’une famille de vecteurs :
E un K-espace vectoriel {v1, . . . ,vp}des vecteurs de E
Vect(v1, . . . ,vp) est de dimension finie
D´efinition
Le rang de la famille{v1, . . . ,vp} est la dimension du sous-espace vectoriel engendr´e par les vecteurs v1, . . . ,vp
rg(v1, . . . ,vp) =dimVect(v1, . . . ,vp)
Proposition
1 0≤rg(v1, . . . ,vp)≤p
2 rg(v1, . . . ,vp)≤dimE
Rang d’une famille de vecteurs :
E un K-espace vectoriel {v1, . . . ,vp}des vecteurs de E
Vect(v1, . . . ,vp) est de dimension finie
D´efinition
Le rang de la famille{v1, . . . ,vp} est la dimension du sous-espace vectoriel engendr´e par les vecteurs v1, . . . ,vp
rg(v1, . . . ,vp) =dimVect(v1, . . . ,vp)
Proposition
1 0≤rg(v1, . . . ,vp)≤p
2 rg(v1, . . . ,vp)≤dimE
Exemples
Quel est le rang de{v1,v2,v3}dans l’espace vectoriel R4?
v1= 1
01 0
, v2=
0
11 1
, v3 =
−1
10 1
Dans R4 doncrg(v1,v2,v3)≤4 3 vecteurs donc rg(v1,v2,v3)≤3 v16= 0 donc rg(v1,v2,v3)≥1
rg(v1,v2,v3)≥rg(v1,v2) = 2 car v1 et v2 pas colin´eaires La famille {v1,v2,v3} est libre ou li´ee ?
R´esoudre λ1v1+λ2v2+λ3v3= 0
On trouve v1−v2+v3 = 0, la famille est donc li´ee Ainsi Vect(v1,v2,v3) =Vect(v1,v2)
rg(v1,v2,v3) =dimVect(v1,v2,v3) = 2
Exemples
Quel est le rang de{v1,v2,v3}dans l’espace vectoriel R4?
v1= 1
01 0
, v2=
0
11 1
, v3 =
−1
10 1
Dans R4 donc rg(v1,v2,v3)≤4 3 vecteurs donc rg(v1,v2,v3)≤3 v16= 0 donc rg(v1,v2,v3)≥1
rg(v1,v2,v3)≥rg(v1,v2) = 2 car v1 et v2 pas colin´eaires La famille {v1,v2,v3} est libre ou li´ee ?
R´esoudre λ1v1+λ2v2+λ3v3= 0
On trouve v1−v2+v3 = 0, la famille est donc li´ee Ainsi Vect(v1,v2,v3) =Vect(v1,v2)
rg(v ,v ,v ) =dimVect(v ,v ,v ) = 2
Soitf :E →F une application lin´eaire Noyau def :Ker(f) =
x ∈E |f(x) = 0F est un SEV de E Image def :Imf =f(E) =
f(x) |x ∈E est un SEV de F f : R3 → R2
(x,y,z) 7→ (−2x,y+ 3z)
(x,y,z)∈Ker(f) ⇐⇒ f(x,y,z) = (0,0)
(x,y,z)∈Ker(f) ⇐⇒ (x,y,z) = (0,−3z,z),z ∈R DoncKer(f) =Vect
(0,−3,1)
Calculons l’image de f. Fixons(x0,y0)∈R2.
(x0,y0) =f(x,y,z) ⇐⇒
−2x = x0 y+ 3z = y0
On peut prendre par exemplex =−x20,y0 =y,z = 0. On a f(−x20,y0,0) = (x0,y0). DoncIm(f) =R2.
Rang d’une application lin´eaire :
Proposition
SiE est de dimension finie, alors
Imf =f(E) est un espace vectoriel de dimension finie Si (e1, . . . ,en)est une base deE, alors
Imf =Vect f(e1), . . . ,f(en) La dimension deImf est appel´ee rang de f rg(f) =dimImf =dimVect f(e1), . . . ,f(en)
Proposition
SiE et F sont de dimension finie alors
rg(f)≤min (dimE,dimF)
Exemples (Calcul du rang def)
f :R3→R2 f(x,y,z) = (3x−4y+ 2z,2x−3y−z) e1=
1
0 0
e2 = 0
1 0
e3 = 0
0 1
(e1,e2,e3) est la base canonique deR3 v1=f(e1) =f
1
00
= (32) v2=f(e2) =f
0
10
= −4−3 v3 =f(e3) =f
0
01
= −12 3vecteurs donc rgf ≤3
rgf ≤dimR2= 2 f 6= 0doncrgf ≥1 rgf = 1ou2
v1 et v2 sont lin´eairement ind´ependants, donc rgf = 2
Th´ or` eme du rang :
f :E →F est une application lin´eaire E est de dimension finie
le noyau de f est Kerf =
x ∈E |f(x) = 0F l’image de f estImf =f(E) =
f(x)|x∈E
Th´eor`eme (du rang)
dimE =dimKerf +dimImf dimE =dimKerf +rgf
Exemples f :R4→R3
f(x1,x2,x3,x4) = (x1−x2+x3,2x1+2x2+6x3+4x4,−x1−2x3−x4) Premi`ere m´ethode : On calcule d’abord le noyau
(x1,x2,x3,x4)∈Kerf ⇐⇒ f(x1,x2,x3,x4) = (0,0,0)
⇐⇒
x1 − x2 + x3 = 0
2x1 + 2x2 + 6x3 + 4x4 = 0
−x1 − 2x3 − x4 = 0
⇐⇒
x1 − x2 + x3 = 0 x2 + x3 + x4 = 0 Kerf =
(−2x3−x4,−x3−x4,x3,x4)|x3,x4 ∈R
Kerf =
x3 −2
−1 10
+x4
−1
−1 01
=Vect −2
−1 10
,
−1
−1 01
dimKerf = 2
Th´eor`eme du rang : dimImf =dimR4−dimKerf = 4−2 = 2
Exemples
f :Rn[X] −→ Rn[X] P(X) 7−→ P00(X) Quel est le rang et la dimension du noyau def ?
Premi`ere m´ethode : on calcule d’abord le noyau
P(X)∈Kerf ⇐⇒ P00(X) = 0 ⇐⇒ P0(X) =a⇔P(X) = aX+b
Kerf =Vect(1,X)doncdimKerf = 2 Par le th´eor`eme du rang,
rgf =dimImf =dimRn[X]−dimKerf = (n+ 1)−2 =n−1 Deuxi`eme m´ethode : on calcule d’abord l’image
(1,X,X2, . . . ,Xn)est une base de l’espace de d´epartRn[X]
doncrgf =dimImf =dimVect f(1),f(X), . . . ,f(Xn) f(1) = 0etf(X) = 0, pourk≥2,f(Xk) =k(k−1)Xk−2 f(X2),f(X3), . . . ,f(Xn) =
2,6X,12X2, . . . ,n(n−1)Xn−2 Degr´es ´echelonn´es impliquergf =n−1
Un isomorphisme est une application lin´eaire bijective
Proposition
Sif :E →F un isomorphisme entre espaces vectoriels de dimension finie alorsdimE =dimF
Th´eor`eme
Soitf :E →F app lin´eaire o`u E etF de dimension finie SidimE =dimF, alors
f est bijective ⇐⇒ f est injective ⇐⇒ f est surjective
D´emonstration.
f injective ⇐⇒ Kerf ={0} ⇐⇒ dimImf =dimE ⇐⇒
dimImf =dimF ⇐⇒ Imf =F ⇐⇒ f surjective
Exemples
f :R2 →R2 d´efinie parf(x,y) = (x−y,x+y)
f est-elle bijective ?
Espace de d´epart et espace d’arriv´ee de mme dimension (x,y)∈Kerf ⇐⇒ f(x,y) = 0 ⇐⇒ (x−y,x+y) = (0,0)
⇐⇒
x+y = 0
x−y = 0 ⇐⇒ (x,y) = (0,0) Kerf =
(0,0) donc f est injective
Par le th´eor`eme pr´ec´edent f est un isomorphisme
Exemples
f :R2 →R2 d´efinie parf(x,y) = (x−y,x+y) f est-elle bijective ?
Espace de d´epart et espace d’arriv´ee de mme dimension (x,y)∈Kerf ⇐⇒ f(x,y) = 0 ⇐⇒ (x−y,x+y) = (0,0)
⇐⇒
x+y = 0
x−y = 0 ⇐⇒ (x,y) = (0,0) Kerf =
(0,0) donc f est injective
Par le th´eor`eme pr´ec´edent f est un isomorphisme
Exemples
f :R2 →R2 d´efinie parf(x,y) = (x−y,x+y) f est-elle bijective ?
Espace de d´epart et espace d’arriv´ee de mme dimension
(x,y)∈Kerf ⇐⇒ f(x,y) = 0 ⇐⇒ (x−y,x+y) = (0,0)
⇐⇒
x+y = 0
x−y = 0 ⇐⇒ (x,y) = (0,0) Kerf =
(0,0) donc f est injective
Par le th´eor`eme pr´ec´edent f est un isomorphisme
Exemples
f :R2 →R2 d´efinie parf(x,y) = (x−y,x+y) f est-elle bijective ?
Espace de d´epart et espace d’arriv´ee de mme dimension (x,y)∈Kerf
⇐⇒ f(x,y) = 0 ⇐⇒ (x−y,x+y) = (0,0)
⇐⇒
x+y = 0
x−y = 0 ⇐⇒ (x,y) = (0,0) Kerf =
(0,0) donc f est injective
Par le th´eor`eme pr´ec´edent f est un isomorphisme
Exemples
f :R2 →R2 d´efinie parf(x,y) = (x−y,x+y) f est-elle bijective ?
Espace de d´epart et espace d’arriv´ee de mme dimension (x,y)∈Kerf ⇐⇒ f(x,y) = 0
⇐⇒ (x−y,x+y) = (0,0)
⇐⇒
x+y = 0
x−y = 0 ⇐⇒ (x,y) = (0,0) Kerf =
(0,0) donc f est injective
Par le th´eor`eme pr´ec´edent f est un isomorphisme
Exemples
f :R2 →R2 d´efinie parf(x,y) = (x−y,x+y) f est-elle bijective ?
Espace de d´epart et espace d’arriv´ee de mme dimension (x,y)∈Kerf ⇐⇒ f(x,y) = 0 ⇐⇒ (x−y,x+y) = (0,0)
⇐⇒
x+y = 0
x−y = 0 ⇐⇒ (x,y) = (0,0) Kerf =
(0,0) donc f est injective
Par le th´eor`eme pr´ec´edent f est un isomorphisme
Exemples
f :R2 →R2 d´efinie parf(x,y) = (x−y,x+y) f est-elle bijective ?
Espace de d´epart et espace d’arriv´ee de mme dimension (x,y)∈Kerf ⇐⇒ f(x,y) = 0 ⇐⇒ (x−y,x+y) = (0,0)
⇐⇒
x+y = 0 x−y = 0
⇐⇒ (x,y) = (0,0) Kerf =
(0,0) donc f est injective
Par le th´eor`eme pr´ec´edent f est un isomorphisme
Exemples
f :R2 →R2 d´efinie parf(x,y) = (x−y,x+y) f est-elle bijective ?
Espace de d´epart et espace d’arriv´ee de mme dimension (x,y)∈Kerf ⇐⇒ f(x,y) = 0 ⇐⇒ (x−y,x+y) = (0,0)
⇐⇒
x+y = 0
x−y = 0 ⇐⇒ (x,y) = (0,0)
Kerf =
(0,0) donc f est injective
Par le th´eor`eme pr´ec´edent f est un isomorphisme
Exemples
f :R2 →R2 d´efinie parf(x,y) = (x−y,x+y) f est-elle bijective ?
Espace de d´epart et espace d’arriv´ee de mme dimension (x,y)∈Kerf ⇐⇒ f(x,y) = 0 ⇐⇒ (x−y,x+y) = (0,0)
⇐⇒
x+y = 0
x−y = 0 ⇐⇒ (x,y) = (0,0) Kerf =
(0,0) donc f est injective
Par le th´eor`eme pr´ec´edent f est un isomorphisme
Exemples
f :R2 →R2 d´efinie parf(x,y) = (x−y,x+y) f est-elle bijective ?
Espace de d´epart et espace d’arriv´ee de mme dimension (x,y)∈Kerf ⇐⇒ f(x,y) = 0 ⇐⇒ (x−y,x+y) = (0,0)
⇐⇒
x+y = 0
x−y = 0 ⇐⇒ (x,y) = (0,0) Kerf =
(0,0) donc f est injective
Par le th´eor`eme pr´ec´edent f est un isomorphisme
