Exercice 1 (Examen …nal2014-15).

(1)

Pour toutx 0;on pose :

F(x) =R₁

0

1 cos(t) t² e ^xtdt:

Montrer que pour toutx 0;l’intégrale dé…nissantF est convergente:

2)Montrer que la fonction F est continue sur[0;1[: 3)Etudier la limite éventuelle de F en +1:

4)Montrer queF est de classeC¹sur]0;1[et calculerF⁰(x):

Contrôle 13 Avril 2017.

Calculer:

lim_n!1R₁

0 sin(nt)

nt+t²dt:

On considère la fonctionF dé…nie par:

F(x) =R₁

0

e ^t cos(t) t e ^xtdt:

Montrer queF est bien dé…nie pour toutx >0:

2)Montrer queF est de classeC¹sur]0;1[ et calculer explicitementF⁰(x)pour toutx >0:

3)En déduire la valeur deF(x)pour toutx >0:

On noteD le domaine délimité par les droites:

x= 0; y=x+ 2et y= x:

Calculer directement

I= ZZ

D

(x y)dxdy:

2)CalculerI au moyen du changement de variables:

1

(2)

u=x+y etv=x y:

SoitS le domaine dé…ni par : S =n

(x; y; z)2R³= ^z₄² x²+y² 1; 2 z 2o :

1)DessinerS.

2)Calculer

ZZZ

S

(x²+y²+z²)dxdydz:

2