Critères de plasticité

(1)

σ

₁

σ

₂

σ

y

σ

y

σ

y

σ

y

- -

Critères de plasticité

Georges Cailletaud

Centre des Matériaux MINES ParisTech/CNRS

(2)

Plan

1

Aspects expérimentaux Mécanique

Mécanismes

2

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises

Un critère anisotrope : Hill

3

Modèles sensibles à la pression hydrostatique

(3)

Chargements biaxiaux

(4)

Cisaillements

(5)

Plan

1

Aspects expérimentaux Mécanique

Mécanismes

2

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises

Un critère anisotrope : Hill

3

Modèles sensibles à la pression hydrostatique

(6)

Plan

1

Aspects expérimentaux Mécanique

Mécanismes

2

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises

Un critère anisotrope : Hill

3

Modèles sensibles à la pression hydrostatique

(7)

Passage du laboratoire au monde réel (1)

0.2% residual strain Elastic slope Tension curve

ε( mm / mm )

σ (M P a)

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0

600

500

400

300

200

100

0

(8)

Passage du laboratoire au monde réel (1)

0.2% residual strain Elastic slope Tension curve

connue

Courbe de traction

ε( mm / mm )

σ (M P a)

0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 600 500 400 300 200 100 0

Dans la plupart des cas, le matériau est caractérisé

par une simple courbe de traction

(9)

Passage du laboratoire au monde réel (2)

0.2% residual strainTension curveElastic slope

connue Courbe de traction

ε(mm/mm)

σ(MPa)

0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 600 500 400 300 200 100 0





212 53 107 53 88 32 107 32 316





Comment transposer ?

31 23 12 33 22 11 Chargement r´eel complexe

t (s)

σ(MPa)

60 50

40 30

20 10

0 400 350 300 250 200 150 100 50 0

(10)

Passage du laboratoire au monde réel (2)

connue Courbe de traction

ε(mm/mm)

σ(MPa)

0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 600 500 400 300 200 100 0





212 53 107

53 88 32

107 32 316





Comment transposer ?

t (s)

σ(MPa)

60 50

40 30

20 10

0 400 350 300 250 200 150 100 50 0

(11)

Passage du laboratoire au monde réel (2)

connue Courbe de traction

ε(mm/mm)

σ(MPa)

0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 600 500 400 300 200 100 0





212 53 107

53 88 32

107 32 316





Comment transposer ?

t (s)

σ(MPa)

60 50

40 30

20 10

0 400 350 300 250 200 150 100 50 0

(12)

Comment caractériser le comportement multiaxial ?

Essais mécaniques multiaxiaux

Recherche sur les mécanismes physiques de

la déformation

(13)

Comment caractériser le comportement multiaxial ?

Essais mécaniques multiaxiaux

Recherche sur les mécanismes physiques de

la déformation

(14)

Essais de traction–torsion sur tube

Specimen traction–torsion

Pour un tube de longueur L, de diamètre 2R et d’épaisseur e :

Déformation mesurée par jauge, ou utilisation de la relation entre l’angle ( β ) et la déformation ( γ ) :

β = γ ^L R

Relation entre le moment (M ) et le cisaillement ( τ ) :

M = 2 π eR

²

τ





0 0 0

0 0 σ θ

z

0 σ _θ

z

σ

zz





(

r

θ

z

)

(15)

Essais biaxiaux

Essai biaxial sur une éprouvette cruciforme vinylester–fibre de verre

Plus d’info sur le site

Sciences de l’Ingénieur, ENS Cachan

(16)

Essais de cisaillement

Double Montage

Cisaillement Arcan

(caoutchouc)

Doc. Centre des Matériaux, MINES ParisTech

(17)

Machine de cisaillement

(18)

Recherche de la surface de charge en traction–cisaillement

Thèse Rousset, ENS Cachan

(19)

Surface initiale et après première compression

(20)

Surface initiale et chargement carré

(21)

Résultat de cisaillement du basalte

(22)

Plan

1

Aspects expérimentaux Mécanique

Mécanismes

2

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises

Un critère anisotrope : Hill

3

Modèles sensibles à la pression hydrostatique

(23)

Bilan des observations expérimentales

Matériaux cristallins se déformant en glissement (alliages, roches)

Réseau cristallin Pas de changement de volume

Poudres, géomatériaux, matériaux endommageables

(24)

Bilan des observations expérimentales

Matériaux cristallins se déformant en glissement (alliages, roches)

Réseau cristallin Pas de changement de volume

Poudres, géomatériaux, matériaux endommageables

(25)

Bilan des observations expérimentales

Matériaux cristallins se déformant en glissement (alliages, roches)

Réseau cristallin Pas de changement de volume

Poudres, géomatériaux, matériaux endommageables

(26)

Bilan des observations expérimentales

Variable critique ?

Matériaux cristallins se déformant en glissement (alliages, roches)

Réseau cristallin Pas de changement de volume

Poudres, géomatériaux, matériaux endommageables

(27)

Bilan des observations expérimentales

Variable critique ?

Matériaux cristallins se déformant en glissement (alliages, roches)

Réseau cristallin Pas de changement de volume

Cisaillement Déviateur

Poudres, géomatériaux, matériaux endommageables

(28)

Bilan des observations expérimentales

Variable critique ?

Matériaux cristallins se déformant en glissement (alliages, roches)

Réseau cristallin Pas de changement de volume

Cisaillement Déviateur

Poudres, géomatériaux, matériaux endommageables

Déviateur

+ partie

sphérique

(29)

Système de glissement dans un monocristal

Thèse F. Hanriot (ENSMP-CDM, Evry)

(30)

Système de glissement dans un alliage polycristallin base nickel

Clavel (ECP, Châtenay)

(31)

Rupture sous chargement dynamique

(32)

Loi de Schmid

La déformation s’effectue par glissement sur un système s défini par un plan de normale n

^s

, et une direction de glissement l

^s

, lorsque la cission résolue, τ ^s atteint une valeur critique τ

c

Projection du vecteur contrainte du plan sur la direction de glissement, soit, pour un monocristal soumis à un tenseur de contrainte σ

_∼

τ ^s = (σ

_∼

. ⁿ

^s

). ^l

^s

Il y a autant de critères linéaires en contrainte que de systèmes de glissement

f (σ

_∼

) = τ ^s − τ

c

(33)

Construction des surfaces de charge pour des agrégats polycristallins ( Elasticité uniforme)

Alliage à Polycristal

solidification dirigée

Evaluer des surfaces de charge

(34)

Surface de charge en traction–cisaillement

001

σ11

σ12

200 100 0 -100 -200 200

100

0 -100

-200

Un grain cubique orienté selon les axes (001)

(35)

Surface de charge en traction–cisaillement

234 001

σ11

σ12

200 100 0 -100 -200 200

100

0 -100

-200

Un grain désorienté (234)

(36)

Surface de charge en traction–cisaillement

2g 234 001

σ11

σ12

200 100 0 -100 -200 200

100

0 -100

-200

Un grain (001) et un grain (234)

(37)

Surface de charge en traction–cisaillement

10g 2g 234 001

σ11

σ12

200 100 0 -100 -200 200

100

0 -100

-200

Dix grains au hasard

(38)

Surface de charge en traction–cisaillement

100g 10g 2g 234 001

σ11

σ12

200 100 0 -100 -200 200

100

0 -100

-200

Cent grains au hasard

(39)

Surface de charge en traction–cisaillement

Tresca 100g 10g 2g 234 001

σ11

σ12

200 100 0 -100 -200 200

100

0 -100

-200

σ ² ₁₁ + 4 σ ² ₁₂ = σ ² _y , «critère de Tresca»

(40)

Plan

1

Aspects expérimentaux Mécanique

Mécanismes

2

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises

Un critère anisotrope : Hill

3

Modèles sensibles à la pression hydrostatique

(41)

Plan

1

Aspects expérimentaux Mécanique

Mécanismes

2

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises

Un critère anisotrope : Hill

3

Modèles sensibles à la pression hydrostatique

(42)

Caractérisation du cisaillement maximum

Tenseur de contrainte dans le repère principal :=





σ

1

0 0 0 σ

2

0 0 0 σ

3



 Vecteur contrainte pour une normale n dans le plan (x

1

–x

2

) (avec θ = angle ( x

1

, ⁿ ) :

T

n

= σ

1

cos

²

θ + σ

2

sin

²

θ = σ

1

+ σ

2

2 + σ

1

− σ

2

2 cos 2 θ

| T

_t

| = T

²

− T

_n²

1

/

²

= |σ

₁

− σ

2

| 2 sin 2 θ Cercle de Mohr :

Tn − σ

1

+ σ

2

+ T

_t²

=

σ

1

− σ

2

Cisaillement maxi

| T

_t^max

| = |σ

₁

− σ

2

|

2

(43)

Critère de Tresca

σ

1

σ

2

σ

3

T

_n

T

t

T

max

Le cisaillement maximum reste inférieur à une valeur critique.

Max

_i

_,

_j

|σ

_i

− σ

j

| −σ

_y

= 0

σ

y

est la limite d’élasticité en traction simple

→ WIKI

(44)

Caractérisation d’un matériau isotrope

- Invariants du tenseur de contraintes : I

1

= trace (σ

∼

) =σ

ii

I

2

= ( 1 / ² ) trace (σ

_∼

)

²

= ( 1 / ² ) σ

ij

σ

ji

I

3

= ( 1 / ³ ) trace (σ

∼

)

³

= ( 1 / ³ ) σ

ij

σ

jk

σ

ki

- Invariants du déviateur (s

_∼

= σ

_∼

− ( I

1

/ ³ )

_∼

I ) : J

1

= trace ( s

_∼

) = 0 J

₂

= ( 1 / ² ) trace ( s

∼

)

²

= ( 1 / ² ) s

_ij

s

_ji

J

3

= ( 1 / ³ ) trace ( s

_∼

)

³

= ( 1 / ³ ) s

ij

s

jk

s

ki

- On pose :

J = (( 3 / ² ) s

ij

s

ji

)

⁰

^,

⁵

= ( 1 / ² ) (σ

1

− σ

2

)

²

+ (σ

2

− σ

3

)

²

+ (σ

3

− σ

1

)

²

0

,

⁵

= |σ|

(45)

Signification physique de J

Sphère dans l’espace des contraintes déviatoriques Contrainte de cisaillement octaédral :

sur une facette de normale (1,1,1), le vecteur contrainte a pour composantes normale σ

oct

et tangentielle τ

oct

:

σ

oct

= ( 1 / ³ ) I

1

; τ

oct

= (

√ 2 / ³ ) J

Energie élastique de distorsion (associée à la partie déviatorique de σ

_∼

et

∼

ε ).

W

ed

= ¹

2 s

_∼

: e

_∼

= ¹ 6 µ ^J

2

Critère de von Mises

f (σ

_∼

) = J − σ

y

NB : formulé par Maxwell en 1865, et Huber en 1904 ( → WIKI)

(46)

Contour du critère de von Mises dans le plan déviateur

CS

CI

TS σ ₁

CS

TS σ ₂ CS TS

σ ₃

TS désigne les points qui peuvent

se ramener à de la traction simple,

CS ceux qui peuvent se ramener à

la compression simple (par exemple

un chargement biaxial, car un état

où les seules contraintes non nulles

sont σ

1

= σ

2

= σ est équivalent à

σ

3

= −σ ), CI un état de cisaillement

f (σ

_∼

) = J − σ

y

(47)

Critères ne faisant pas intervenir la pression hydrostatique

Critère de von Mises

f (σ

_∼

) = J − σ

y

Critère de Tresca

f (σ

∼

) = Max

_i

_,

_j

|σ

_i

− σ

j

| − σ

y

Utilisation du deuxième et du troisième invariant

f (σ

_∼

) = fct ( J

2

, ^J

3

)

(48)

Comparaison des critères de Tresca et von Mises

Dans le plan traction-cisaillement

− von Mises : f (σ , τ) = σ

²

+ 3 τ

²

0

,

⁵

− σ

y

− Tresca : f (σ , τ) = σ

²

+ 4 τ

²

0

,

⁵

− σ

y

Dans le plan des contraintes principales ( σ

1

, σ

2

)

− von Mises : f (σ

₁

,σ

2

) = σ

²₁

+ σ

²₂

− σ

1

σ

2

0

,

⁵

− σ

y

− Tresca : f (σ

1

, σ

2

) = σ

2

− σ

y

si 0 6 σ

1

6 σ

2

f (σ

1

, σ

2

) = σ

1

− σ

y

si 0 6 σ

2

6 σ

1

f (σ

1

, σ

2

) = σ

1

− σ

2

− σ

y

si σ

2

6 ⁰ 6 σ

1

(symétrie par rapport à l’axe σ

1

= σ

2

) Dans le plan déviateur, von Mises = cercle, Tresca = hexagone

Dans l’espace des contraintes principales, cylindres de génératrice (1,1,1)

(49)

Comparaisons des critères de Tresca et de von Mises

σ

₁₂

σ

11

τ

_t

τ

m

σ

y

σ

y

τ

m

τ

t

- - -

a. En traction-cisaillement (von Mises : τ

m

= σ

y

/ √

3, Tresca : τ

t

= σ

y

/ ²⁾

σ ₁

σ 2

σ y

σ y - -

b. En traction biaxiale

(50)

Plan

1

Aspects expérimentaux Mécanique

Mécanismes

2

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises

Un critère anisotrope : Hill

3

Modèles sensibles à la pression hydrostatique

(51)

Critères anisotropes

f (σ

∼

) = (( 3 / ² ) H

_ijkl

s

_ij

s

_kl

)

⁰

^,

⁵

− σ

_y

(ou H

_ijkl

σ

_ij

σ

_kl

) Critère de Hill

Dans les axes d’orthotropie :

f (σ

_∼

) =( F (σ

11

− σ

22

)

²

+ G (σ

22

− σ

33

)

²

+ H (σ

33

− σ

11

)

²

+ 2 L σ

²₁₂

+ 2 M σ

²₂₃

+ 2 N σ

²₁₃

)

⁰

^,

⁵

− σ

y

Transverse, 3 coefficients indépendants

Symétrie cubique, un seul coefficient

(52)

Plan

1

Aspects expérimentaux Mécanique

Mécanismes

2

Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises

Un critère anisotrope : Hill

3

Modèles sensibles à la pression hydrostatique

(53)

Critère de Drucker-Prager

Combinaison linéaire du premier et du second invariant (avec 0 < α < ⁰ . ⁵⁾

f (σ

_∼

) = ( 1 − α) J + α I

1

− σ

y

Limites d’élasticité en traction ( σ

t

) et en compression ( σ

c

) σ

t

= σ

y

σ

c

= −σ

_y

/ ( 1 − 2 α)

σ 1

2 3

σ σ

Dans l’espace des contraintes principales

I

₁

J

σ

y

1 − α

σ

y

/α

Dans le plan I

1

− J

(54)

Critère de Mohr-Coulomb

Combinaison des contraintes tangentielles et normales dans le plan de Mohr

| T

t

| < − tan (φ) T

n

+ C

Peut aussi s’exprimer comme combinaison de la somme et de la différence des contraintes extrêmes ( σ

3

6 σ

2

6 σ

1

)

f (σ

∼

) = σ

₁

− σ

₃

+ (σ

₁

+ σ

₃

) sin φ − 2C cos φ

f<0

σ ₃ σ ₁ T

T _n

t

C cohésion, φ frottement interne du matériau

Si C est nul et φ non nul, matériau pulvérulent

Si φ est nul et C non nul, matériau

purement cohérent

(55)

Représentation du critère de Mohr-Coulomb

σ

σ σ

1 2 3

Dans le plan déviateur on obtient un hexagone irrégulier

TS = 2

√

6 ( C cos φ − p sin φ) / ( 3 + sin φ) CS = 2

√

6 (− C cos φ+ p sin φ) / ( 3 − sin φ) En fonction de la poussée K

p

et de la limite d’élasticité en compression, R

_p

:

f (σ

∼

) = K

_p

σ

₁

− σ

₃

− R

_p

K

p

= ¹ + sin φ

1 − sin φ = tan

²

π

4 + φ 2

R

_p

= − ^{2 cos} φ C

1 − sin φ

(56)

Critères «fermés»

Le matériau ne doit pas être infiniment résistant en compression

Cap model, ferme par une ellipse le critère de Drücker–Prager,

Modèle de Cam–clay a sa courbe limite définie par deux ellipses dans le plan (I

₁

− J )

− I

1

J droite

critique

(57)

Critères, synthèse

La frontière du domaine d’élasticité initial est définie par une fonction de l’espace des contraintes dans R , qui peut être

Linéaire, par morceaux (Schmid, Tresca) Quadratique, ou de degré plus élevé Le domaine délimité est convexe

Le critère peut dépendre ou non de la pression hydrostatique

(58)

Critères, synthèse

La frontière du domaine d’élasticité initial est définie par une fonction de l’espace des contraintes dans R , qui peut être

Linéaire, par morceaux (Schmid, Tresca) Quadratique, ou de degré plus élevé Le domaine délimité est convexe

Le critère peut dépendre ou non de la pression hydrostatique

(59)

Critères, synthèse

La frontière du domaine d’élasticité initial est définie par une fonction de l’espace des contraintes dans R , qui peut être

Linéaire, par morceaux (Schmid, Tresca) Quadratique, ou de degré plus élevé Le domaine délimité est convexe

Le critère peut dépendre ou non de la pression hydrostatique

(60)

Critères, synthèse

La frontière du domaine d’élasticité initial est définie par une fonction de l’espace des contraintes dans R , qui peut être

Linéaire, par morceaux (Schmid, Tresca) Quadratique, ou de degré plus élevé Le domaine délimité est convexe

Le critère peut dépendre ou non de la pression hydrostatique

(61)