D1994 - La saga de l’angle de 60° (12ème épisode) Problème proposé par Dominique Roux
Soit un triangle ABC acutangle tel que AB > AC. Les points O et H sont respectivement le centre du cercle circonscrit et l’orthocentre. La droite (OH) rencontre la droite (AB) au point P et la droite (AC) au point Q. Démontrer que PO = HQ si et seulement si BAC = 60°.
Solution proposée par Patrick Gordon
On note I le milieu de BC et Z le milieu de celui des arcs BC qui ne contient pas A. AZ est la bissectrice de BAC. Soit K le point où AZ coupe OH.
D'une manière générale (que BAC = 60° ou non), on a : KH / KO = AH / OZ = AH / AO (car OZ et OA sont des rayons).
Le point K partage donc le côté HO du triangle HAO dans le rapport des côtés AH et AO.
Donc AK, bissectrice de BAC, est aussi la bissectrice1 de l'angle HAO et les points H et O sont conjugués isogonaux dans le triangle ABC.
Si BAC = 60°, BC est la médiatrice de OZ.
Or (OH) est la droite d'Euler de ABC. AI, médiane du côté BC, la coupe en G, centre de gravité, qui est au tiers de OH.
Donc AH = 2 OI = R (rayon du cercle circonscrit à ABC).
Donc AZ, bissectrice de BAC, coupe HO en son milieu K.
Pour que PO = HQ, il faut et suffit que AZ, médiane de OH, soit aussi la médiane de PQ.
Comme elle est déjà la bissectrice de PAQ, il faut et suffit que le triangle PAQ soit isocèle en A (donc équilatéral puisque PAQ = 60°).
Or le triangle HAO est isocèle puisque AH = R et, comme AK est sa médiane, elle est aussi la hauteur issue de A. Donc AK est orthogonale à OK et AK est donc aussi la hauteur issue de A dans le triangle PAQ.
Mais, dans le triangle PAQ, AK est par construction la bissectrice de l'angle en A. Si la bissectrice et la hauteur sont confondues, le triangle PAQ est isocèle en A.
1 Dans tout ce texte, par "bissectrice" on sous-entendra bissectrice intérieure.
Réciproquement, si PO = HQ, les segments PQ et OH ont même milieu (qui est toujours le K ci-dessus défini, puisque OZ est inchangé) et donc les triangles HAO et QAP, qui ont de toutes façons même bissectrice de l'angle en A, ont aussi même médiane issue de A.
Mais alors cette bissectrice-médiane commune AK partage les segments PQ et OH dans le même rapport 1. On a donc AH = AO et, comme OA est un rayon, AH = R.
On voit aisément que ce n'est possible que si OI = OZ / 2, c’est-à-dire si BAC = 60°.
Cela établit la propriété de l'énoncé.
Au passage, on en a établi une autre, plus générale et peut-être importante :
Si un triangle ABC possède un angle de 60° (soit en A pour fixer les idées), sa droite d'Euler est orthogonale à la bissectrice intérieure de l'angle en A et réciproquement.
Naturellement, si ABC possède deux angles de 60°, il en possède trois et est équilatéral, auquel cas la droite d'Euler est dégénérée en un point.
