D184. La balançoire
Problème proposé par Dominique Roux
Une balançoire est faite d'une planche AB qui repose sur l'arête d'un socle prismatique dont la coupe par un plan vertical donne un triangle équilatéral OCD (voir figure supra).Deux ballons sphériques en mousse de centres O1 et O2
sont de rayons variables de telle sorte qu'à tout moment ils restent tangents au sol, à la balançoire et à l'une des faces du socle. Lorsque le point A est à son plus bas niveau, le volume du ballon n°2 est huit fois plus grand que celui du ballon n°1.Quel est l'angle de bascule de la balançoire par rapport à sa position horizontale ?
Soit de coordonnées (−1,0) et de coordonnées (1,0)
Le triangle étant équilatéral, les coordonnées de sont (0, √3)
La droite (), passant par , coupe la droite () en .
Soit = , l'équation de () est alors = . + √3, et les coordonnées de ∶ √, 0 Soient
() la bissectrice de l'angle ,
(!) la bissectrice de l'angle dont l'équation est = −√3( + 1) et ! le point d'intersection de ces deux droites.
On a :
2 = #
⇒ # = √3 2
= √3%&' 1 + %&' L'équation de la droite () est donc :
= .
2 + √3%&' 1 + %&' Les coordonnées de ! sont donc :
!.
2 + √3%&'
1 + %&' = −√3(!+ 1)⇒ ! =√3 2 − 3
2 et ! = √3 − 3 2 2
Par construction, ce point ! est équidistant des droites (), ( ) et (), donc est le centre du cercle (!) tangent aux droites (), ( ) et () dont le rayon *! vaut :
*! = 1 =√3 − 3 2 De façon analogue, avec : 2
(+) la bissectrice de l'angle ! dont l'équation est = √3( − 1) et + le point d'intersection de () et (+)
+.
2 + √3%&'
1 + %&' = √3(+− 1)⇒ + = 3 + 6%&'
3 + %&' − √3'-. et + = 3/√3%&' + '-.0 3 + %&' − √3'-.
Par construction, ce point + est équidistant des droites (), ( ) et (), donc est le centre du cercle (+) tangent aux droites (), ( ) et () dont le rayon *+ vaut :
*+ = + = 3/√3%&' + '-.0 3 + %&' − √3'-.
D'après l'ennoncé, le volume de la sphère de droite (correspondant à la coupe (+)) est huit fois plus grand que celui de la sphère de gauche (correspondant à la coupe (!)), donc
*+ = 2*! 3/√3%&' + '-.0
3 + %&' − √3'-. = 2√3 − 3 2 2 Ce qui donne :
= 21%%&'227
28 = 21.786 789 … °
