D184. La balançoire
Problème proposé par Dominique Roux
Une balançoire est faite d'une planche AB qui repose sur l'arête d'un socle
prismatique dont la coupe par un plan vertical donne un triangle équilatéral OCD
(voir figure supra).Deux ballons sphériques en mousse de centres O1 et O2 sont de
rayons variables de telle sorte qu'à tout moment ils restent tangents au sol, à la
balançoire et à l'une des faces du socle. Lorsque le point A est à son plus bas
niveau, le volume du ballon n°2 est huit fois plus grand que celui du ballon n°1.
Quel est l'angle de bascule de la balançoire par rapport à sa position
horizontale ?
Solution de Paul Voyer :
On suppose que ls points C et D ont pour coordonnées (-1, 0) et (1, 0).
Le point A (ramené sur CD) est tel que AO=a, l'angle u est tel que tg(u)=
a 3 Les rayons r=r1 et r2 des cercles O1 et O2 sont dans un rapport
3 8 =2.
Dans le triangle AOC, r1=
CA OC AO
S
1
2 avec S1=(a-1) 2
3
Dans le triangle AOD, r2=
OD AD AO
S
2
2 avec S2=(a+1)
2 3 r2=2r1 s'écrit alors :
(a+1)(AO+OC+CA)=2(a-1)(AO+AD-OD) (a+1)( a ² 3 +2+a-1)=2(a-1)( a ² 3 +a+1-2)
3
²
a (3-a)=2(a-1)²-(a+1)²=a²-6a+1
soit, en élevant au carré, (a²+3)(3-a)²=(a²-6a+1)², ce qui donne, tous calculs faits :
(6a-26)(a²-1)=0, a=13/3 u =arctg(
13 3
3 ) 21.8°
