D194. Des cercles en cascade
Le grand nombre de cercles passant par A invite `a inverser la figure avec A comme pˆole. Le rayon d’inversion est choisi ´egal `aAB.
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La droiteBC est transform´ee en cercleB0C0et les cerclesΓ1,Γ3,Γ5etΓ7en droites.
Dans la configuration normale, la droiteAO recoupeΓ1enM, diam´etralement oppos´e `aA, doncAM = 2×OA.
Dans l’inversion, on aAO×AO0 =AB2=AM×AM0, ce qui donne dans la configuration invers´ee AO0 = 2×AM0 (M0 est l’intersection des droites AO0 etΓ01). En outre la conservation des angles fait queO0 est sym´etrique de Apar rapport `a Γ01.
⇒La figure invers´ee est compl`etement sym´etrique par rapport `aΓ01. DansΓ01on a: P\0C0R0 =P\0E0R0
P\0E0R0 =BE\0O0
DansΓ02on a: BE\0O0 =BC\0O0 et par sym´etrie: BC\0O0 =AC\0B
⇒R0 est sur la droiteAC0, etQ0 sur la droiteO0C0.
Finalement, le lieu de R est la droite AC et celui de Q le cercle circonscrit `a BOC (rep´er´eΓ8).
La sym´etrie fait aussi que le quadrilat`ere AO0Q0R0 est inscriptible, et par cons´equentQ,RetOsont align´es.
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