G240. Un cadenas défectueux
Chacune des trois roues dentées d'un cadenas à mollettes peut prendre 10 positions repérées par les lettres A à J. Le cadenas est défectueux et s'ouvre quand deux lettres sur trois de la combinaison sont correctement placées. Trois secondes suffisent pour essayer une combinaison quelconque. Puis-je ouvrir le cadenas en moins de cinq minutes ? Si oui, quel est le temps minimum requis ?
Les 50 combinaisons à tester pour un temps de
ᇱ′′ :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
A, B, C, D, E AAA ABB ACC ADD AEE BAB BBC BCD BDE BEA CAC CBD CCE CDA CEB DAD DBE DCA DDB DEC EAE EBA ECB EDC EED F, G, H, I, J FFF FGG FHH FII FJJ GFG GGH GHI GIJ GJF HFH HGI HHJ HIF HJG IFI IGJ IHF IIG IJH JFJ JGF JHG JIH JJI
On s’occupe des cinq premières lettres :
Les deux lettres des deux premiers roues sont tous les couples obtenus avec {A, B, C, D, E}, soit 25 cas. La lettre de la troisième roue est calculée de telle façon que les deux dernières lettres forment tous les couples obtenus avec {A, B, C, D, E}. (en prenant A=0, B=1, C=2, D=3, E=4 et v
1, v
2, v
3les valeurs des lettres des trois roues, on a , v
3= (v
1+ v
2) modulo 5).
On constate on outre, que les couples formés par la première et la dernière lettre de chaque combinaison sont tous les couples obtenus avec {A, B, C, D, E}.
On procède de la même façon pour les cinq autres lettres {F, G, H, I, J}
Soit une combinaison quelconque : XYZ
• X œ {A, B, C, D, E}
o Y œ {A, B, C, D, E}
Alors XY est un des couples obtenus avec {A, B, C, D, E} et une des 25 premières combinaisons ouvre le cadenas.
o Y œ {F, G, H, I, J }
Alors soit Z œ {A, B, C, D, E} et on va trouver le couple X?Z dans une des 25 premières combinaisons, Soit Z œ {F, G, H, I, J } et on va trouver le couple YZ dans une des 25 dernière combinaisons.
• X œ { F, G, H, I, J }
Même raisonnement
Vérification :
R1 R2 R3 temps Combinaisons du cadenas ouvertes par R1R2R3 total
1 A A A 0'03" AAA, AAB, AAC, AAD, AAE, AAF, AAG, AAH, AAI, AAJ, ABA, ACA, ADA, AEA, AFA, AGA, AHA, AIA, AJA, BAA, CAA, DAA, EAA, FAA, GAA, HAA, IAA, JAA 28 28 2 A B B 0'06" ABB, ABC, ABD, ABE, ABF, ABG, ABH, ABI, ABJ, ACB, ADB, AEB, AFB, AGB, AHB, AIB, AJB, BBB, CBB, DBB, EBB, FBB, GBB, HBB, IBB, JBB 26 54 3 A C C 0'09" ACC, ACD, ACE, ACF, ACG, ACH, ACI, ACJ, ADC, AEC, AFC, AGC, AHC, AIC, AJC, BCC, CCC, DCC, ECC, FCC, GCC, HCC, ICC, JCC 24 78 4 A D D 0'12" ADD, ADE, ADF, ADG, ADH, ADI, ADJ, AED, AFD, AGD, AHD, AID, AJD, BDD, CDD, DDD, EDD, FDD, GDD, HDD, IDD, JDD 22 100 5 A E E 0'15" AEE, AEF, AEG, AEH, AEI, AEJ, AFE, AGE, AHE, AIE, AJE, BEE, CEE, DEE, EEE, FEE, GEE, HEE, IEE, JEE 20 120 6 B A B 0'18" BAB, BAC, BAD, BAE, BAF, BAG, BAH, BAI, BAJ, BCB, BDB, BEB, BFB, BGB, BHB, BIB, BJB, CAB, DAB, EAB, FAB, GAB, HAB, IAB, JAB 25 145 7 B B C 0'21" BBA, BBC, BBD, BBE, BBF, BBG, BBH, BBI, BBJ, BDC, BEC, BFC, BGC, BHC, BIC, BJC, CBC, DBC, EBC, FBC, GBC, HBC, IBC, JBC 24 169 8 B C D 0'24" BCA, BCD, BCE, BCF, BCG, BCH, BCI, BCJ, BED, BFD, BGD, BHD, BID, BJD, CCD, DCD, ECD, FCD, GCD, HCD, ICD, JCD 22 191 9 B D E 0'27" BDA, BDE, BDF, BDG, BDH, BDI, BDJ, BFE, BGE, BHE, BIE, BJE, CDE, DDE, EDE, FDE, GDE, HDE, IDE, JDE 20 211
10 B E A 0'30" BEA, BEF, BEG, BEH, BEI, BEJ, BFA, BGA, BHA, BIA, BJA, CEA, DEA, EEA, FEA, GEA, HEA, IEA, JEA 19 230
11 C A C 0'33" CAC, CAD, CAE, CAF, CAG, CAH, CAI, CAJ, CDC, CEC, CFC, CGC, CHC, CIC, CJC, DAC, EAC, FAC, GAC, HAC, IAC, JAC 22 252 12 C B D 0'36" CBA, CBD, CBE, CBF, CBG, CBH, CBI, CBJ, CED, CFD, CGD, CHD, CID, CJD, DBD, EBD, FBD, GBD, HBD, IBD, JBD 21 273 13 C C E 0'39" CCA, CCB, CCE, CCF, CCG, CCH, CCI, CCJ, CFE, CGE, CHE, CIE, CJE, DCE, ECE, FCE, GCE, HCE, ICE, JCE 20 293
14 C D A 0'42" CDA, CDB, CDF, CDG, CDH, CDI, CDJ, CFA, CGA, CHA, CIA, CJA, DDA, EDA, FDA, GDA, HDA, IDA, JDA 19 312
15 C E B 0'45" CEB, CEF, CEG, CEH, CEI, CEJ, CFB, CGB, CHB, CIB, CJB, DEB, EEB, FEB, GEB, HEB, IEB, JEB 18 330
16 D A D 0'48" DAD, DAE, DAF, DAG, DAH, DAI, DAJ, DED, DFD, DGD, DHD, DID, DJD, EAD, FAD, GAD, HAD, IAD, JAD 19 349
17 D B E 0'51" DBA, DBE, DBF, DBG, DBH, DBI, DBJ, DFE, DGE, DHE, DIE, DJE, EBE, FBE, GBE, HBE, IBE, JBE 18 367
18 D C A 0'54" DCA, DCB, DCF, DCG, DCH, DCI, DCJ, DFA, DGA, DHA, DIA, DJA, ECA, FCA, GCA, HCA, ICA, JCA 18 385
19 D D B 0'57" DDB, DDC, DDF, DDG, DDH, DDI, DDJ, DFB, DGB, DHB, DIB, DJB, EDB, FDB, GDB, HDB, IDB, JDB 18 403
20 D E C 1'00" DEC, DEF, DEG, DEH, DEI, DEJ, DFC, DGC, DHC, DIC, DJC, EEC, FEC, GEC, HEC, IEC, JEC 17 420
21 E A E 1'03" EAE, EAF, EAG, EAH, EAI, EAJ, EFE, EGE, EHE, EIE, EJE, FAE, GAE, HAE, IAE, JAE 16 436
22 E B A 1'06" EBA, EBF, EBG, EBH, EBI, EBJ, EFA, EGA, EHA, EIA, EJA, FBA, GBA, HBA, IBA, JBA 16 452
23 E C B 1'09" ECB, ECF, ECG, ECH, ECI, ECJ, EFB, EGB, EHB, EIB, EJB, FCB, GCB, HCB, ICB, JCB 16 468
24 E D C 1'12" EDC, EDF, EDG, EDH, EDI, EDJ, EFC, EGC, EHC, EIC, EJC, FDC, GDC, HDC, IDC, JDC 16 484
25 E E D 1'15" EED, EEF, EEG, EEH, EEI, EEJ, EFD, EGD, EHD, EID, EJD, FED, GED, HED, IED, JED 16 500
26 F F F 1'18" FFA, FFB, FFC, FFD, FFE, FFF, FFG, FFH, FFI, FFJ, FAF, FBF, FCF, FDF, FEF, FGF, FHF, FIF, FJF, AFF, BFF, CFF, DFF, EFF, GFF, HFF, IFF, JFF 28 528 27 F G G 1'21" FGA, FGB, FGC, FGD, FGE, FGG, FGH, FGI, FGJ, FAG, FBG, FCG, FDG, FEG, FHG, FIG, FJG, AGG, BGG, CGG, DGG, EGG, GGG, HGG, IGG, JGG 26 554 28 F H H 1'24" FHA, FHB, FHC, FHD, FHE, FHH, FHI, FHJ, FAH, FBH, FCH, FDH, FEH, FIH, FJH, AHH, BHH, CHH, DHH, EHH, GHH, HHH, IHH, JHH 24 578 29 F I I 1'27" FIA, FIB, FIC, FID, FIE, FII, FIJ, FAI, FBI, FCI, FDI, FEI, FJI, AII, BII, CII, DII, EII, GII, HII, III, JII 22 600 30 F J J 1'30" FJA, FJB, FJC, FJD, FJE, FJJ, FAJ, FBJ, FCJ, FDJ, FEJ, AJJ, BJJ, CJJ, DJJ, EJJ, GJJ, HJJ, IJJ, JJJ 20 620 31 G F G 1'33" GFA, GFB, GFC, GFD, GFE, GFG, GFH, GFI, GFJ, GAG, GBG, GCG, GDG, GEG, GHG, GIG, GJG, AFG, BFG, CFG, DFG, EFG, HFG, IFG, JFG 25 645 32 G G H 1'36" GGA, GGB, GGC, GGD, GGE, GGF, GGH, GGI, GGJ, GAH, GBH, GCH, GDH, GEH, GIH, GJH, AGH, BGH, CGH, DGH, EGH, HGH, IGH, JGH 24 669 33 G H I 1'39" GHA, GHB, GHC, GHD, GHE, GHF, GHI, GHJ, GAI, GBI, GCI, GDI, GEI, GJI, AHI, BHI, CHI, DHI, EHI, HHI, IHI, JHI 22 691 34 G I J 1'42" GIA, GIB, GIC, GID, GIE, GIF, GIJ, GAJ, GBJ, GCJ, GDJ, GEJ, AIJ, BIJ, CIJ, DIJ, EIJ, HIJ, IIJ, JIJ 20 711
35 G J F 1'45" GJA, GJB, GJC, GJD, GJE, GJF, GAF, GBF, GCF, GDF, GEF, AJF, BJF, CJF, DJF, EJF, HJF, IJF, JJF 19 730
36 H F H 1'48" HFA, HFB, HFC, HFD, HFE, HFH, HFI, HFJ, HAH, HBH, HCH, HDH, HEH, HIH, HJH, AFH, BFH, CFH, DFH, EFH, IFH, JFH 22 752 37 H G I 1'51" HGA, HGB, HGC, HGD, HGE, HGF, HGI, HGJ, HAI, HBI, HCI, HDI, HEI, HJI, AGI, BGI, CGI, DGI, EGI, IGI, JGI 21 773 38 H H J 1'54" HHA, HHB, HHC, HHD, HHE, HHF, HHG, HHJ, HAJ, HBJ, HCJ, HDJ, HEJ, AHJ, BHJ, CHJ, DHJ, EHJ, IHJ, JHJ 20 793
39 H I F 1'57" HIA, HIB, HIC, HID, HIE, HIF, HIG, HAF, HBF, HCF, HDF, HEF, AIF, BIF, CIF, DIF, EIF, IIF, JIF 19 812
40 H J G 2'00" HJA, HJB, HJC, HJD, HJE, HJG, HAG, HBG, HCG, HDG, HEG, AJG, BJG, CJG, DJG, EJG, IJG, JJG 18 830
41 I F I 2'03" IFA, IFB, IFC, IFD, IFE, IFI, IFJ, IAI, IBI, ICI, IDI, IEI, IJI, AFI, BFI, CFI, DFI, EFI, JFI 19 849
42 I G J 2'06" IGA, IGB, IGC, IGD, IGE, IGF, IGJ, IAJ, IBJ, ICJ, IDJ, IEJ, AGJ, BGJ, CGJ, DGJ, EGJ, JGJ 18 867
43 I H F 2'09" IHA, IHB, IHC, IHD, IHE, IHF, IHG, IAF, IBF, ICF, IDF, IEF, AHF, BHF, CHF, DHF, EHF, JHF 18 885
44 I I G 2'12" IIA, IIB, IIC, IID, IIE, IIG, IIH, IAG, IBG, ICG, IDG, IEG, AIG, BIG, CIG, DIG, EIG, JIG 18 903
45 I J H 2'15" IJA, IJB, IJC, IJD, IJE, IJH, IAH, IBH, ICH, IDH, IEH, AJH, BJH, CJH, DJH, EJH, JJH 17 920
46 J F J 2'18" JFA, JFB, JFC, JFD, JFE, JFJ, JAJ, JBJ, JCJ, JDJ, JEJ, AFJ, BFJ, CFJ, DFJ, EFJ 16 936
47 J G F 2'21" JGA, JGB, JGC, JGD, JGE, JGF, JAF, JBF, JCF, JDF, JEF, AGF, BGF, CGF, DGF, EGF 16 952
48 J H G 2'24" JHA, JHB, JHC, JHD, JHE, JHG, JAG, JBG, JCG, JDG, JEG, AHG, BHG, CHG, DHG, EHG 16 968
49 J I H 2'27" JIA, JIB, JIC, JID, JIE, JIH, JAH, JBH, JCH, JDH, JEH, AIH, BIH, CIH, DIH, EIH 16 984
50 J J I 2'30" JJA, JJB, JJC, JJD, JJE, JJI, JAI, JBI, JCI, JDI, JEI, AJI, BJI, CJI, DJI, EJI 16 1000
