Soit un triangle ABC acutangle dont O est le centre du cercle circonscrit et H est
l'orthocentre. On désigne par P, Q, R les pieds des hauteurs issues de A,B,C sur les côtés opposés et par I, J et K les points d'intersection des droites QR, RP et PQ avec les droites BC, CA et AB.
A partir des onze points ainsi tracés A, B, C, O, H, P, Q, R, I, J et K, trouver sept couples de droites perpendiculaires entre elles.
Justifier la réponse.
Par construction, nous avons tous les couples suivants qui forment des droites
perpendiculaires : (AP) (PC) ; (AP) (PB) ; (AP) (PI) ; (AP) (BC) ; (AP) (BI) ; (AP) (IC) ; (HP) (PC) ; (HP) (PB) ; (HP) (PI) ; (HP) (BC) ; (HP) (BI) ; (HP) (IC) ; (AH) (PC) ; (AH) (PB) ; (AH) (PI) ; (AH) (BC) ; (AH) (BI) ; (AH) (IC) ; et pareil pour les 2 autres côtés, soit 54 paires de couples formant des droites perpendiculaires ! Bien entendu, l’essentiel de l’exercice est de trouver la dernière perpendiculaire … c'est-à- dire (OH), la droite d’Euler (IJ).
La démonstration qui suit est la moins élégante qui soit : elle est analytique ! - Je calcule les coordonnées de chaque point
- Je fais le produit factoriel de 2 vecteurs directeurs de (OH) et de (IJ) et trouve 0 Fastidieux, mais simple … À noter que je n’ai pas eu à m’appuyer sur le fait que le triangle est acutangle. La seule contrainte est que (ABC) ne soit pas rectangle, ni que A, B et C soient alignés.
Pour faire cette démonstration, je fixe des coordonnées simples au triangle : B(0 ; 0) ; C(1 ; 0) ; A(a ; b), a et b ≠ 0 (pas de triangle rectangle).
- Le triangle étant acutangle, j’ai
o a > 0 pour que l’angle en B soit aigu o a < 1 pour que l’angle en C soit aigu, et
o A en dehors du cercle de diamètre [B ; C]. Si A est sur ce cercle, le triangle est rectangle, et si A est dans ce cercle, l’angle est obtus. J’ai donc (a – ½ )2 + b2 >
¼ a2 – a + ¼ + b2 > ¼ a2 – a + b2 > 0 (et donc ≠ 0)
- Le fait de faire varier a et b permet de créer des triangles avec tout angles possibles en A, B et C
- Je passe ensuite de ce triangle (ABC) à n’importe quel autre triangle par une transformation « transition o rotation o homothétie ».
La démonstration suivant ne s’appuie que sur le fait que 2 angles sont orthogonaux si leur produit vectoriel est nul, et l’égalité d’Euler OH = OA + OB + OC. Cette propriété ne change pas après la transformation.
La démonstration suivante est donc valable pour tout triangle du plan.
Je détermine les coordonnées de O(o1 ;o2) centre du cercle circonscrit et intersection des médiatrices du triangle (ABC).
O forme avec le milieu de [B, C] une perpendiculaire à [B, C]. L’abscisse o1 de O est donc ½.
Nous avons par ailleurs OA2 = OB2 (a – ½)2 + (b – o2)2 = (0 - ½)2 + (0 - o2)2 a2 –a + ¼ + b2 -2bo2 + o22 = ¼ + o22 2bo2 = a2 –a + b2 o2 = (a2 –a + b2 )/(2b) avec b ≠ 0
O(1/2 ; (a2 – a + b2)/(2b))
Comme les vecteurs OH = OA + OB + OC, on a pour H(h1 ; h2) h1 – ½ = a – ½ + 0 – ½ + 1 – ½ et
h2 - (a2 – a + b2)/(2b) = b - (a2 – a + b2)/(2b) + 0 - (a2 – a + b2)/(2b) + 0 - (a2 – a + b2)/(2b) H(a ; b - (a2 – a + b2)/b) avec b ≠ 0
H(a ; (a - a2)/b)
P est la hauteur issue de A P(a ; 0)
Q(q1 ; q2) est la hauteur issue de B
Le produit vectoriel HQ.AC = 0 (q1 – a)(1 – a) + (q2 – (a-a2)/b)(0 – b) = 0 q1 – a – q1a + a2 - bq2 + a - a2 = 0 q1 – q1a - bq2 = 0 (q1 – q1a)/b = q2, avec b ≠ 0.
Comme Q est sur la droite (AC) d’équation bx - (a-1)y = b, j’ai bq1 – (a-1)q2 = b = bq1 – (a- 1)(q1 – q1a )/b = bq1 + q1(a-1)2/b= q1[b + (a-1)2/b] q1 = b/[b + (a-1)2/b] = b2/[b2 + (a-1)2] q2 = (q1 – q1a)/b = q1(1 - a)/b = b2(1 – a)/[b2 + (a-1)2]/b = b(1 – a)/[b2 + (a-1)2]
Q(b2/[b2 + (a-1)2] ; b(1 – a)/[b2 + (a-1)2]) R(r1 ; r2) est la hauteur issue de C
Le produit vectoriel HR.AB = 0 (r1 – a)(0 – a) + (r2 – (a-a2)/b)(0 – b) = 0 – r1a + a2 - br2
+ a - a2 = 0 – r1a - br2 + a = 0 (a– r1a)/b = r2
Comme R est sur la droite (AB) d’équation bx - ay = 0, j’ai br1 – ar2 = 0 = br1 – a(a– r1a )/b = br1 – a2/b+ r1a2/b = r1[b + a2/b] – a2/b r1 = a2/(b[b + a2/b] = a2/(b2 + a2)
r2 = (a– r1a)/b = a(1 - r1)/b = a(1 – a2/[b2 + a2])/b = a([b2 + a2 – a2] / (b[b2 + a2]) = ab/(a2+ b2) R(a2/(b2 + a2) ; ab/(a2+ b2))
I(i1 ; i2) point d'intersection de la droite (QR) avec la droite (BC)
Équation de la droite (QR) : (b(1 – a)/[b2 + (a-1)2] - ab/(a2+ b2))x - (b2/[b2 + (a-1)2] - a2/(b2 + a2))y = a2/(b2 + a2)b(1 – a)/[b2 + (a-1)2] - b2/[b2 + (a-1)2]ab/(a2+ b2)
b( (1 – a)(a2+ b2) - a[b2 + (a-1)2] )/( [b2 + (a-1)2](a2+ b2) )x - ( (b2(b2 + a2) - a2[b2 + (a-1)2]) /( (b2 + a2)[b2 + (a-1)2]) )y =
b( (1 – a)(a2+ b2) - ab2 - a(a-1)2] )/( [b2 + (a-1)2](a2+ b2) ))x - [b4 - a2(a-1)2]/( (b2 + a2)[b2 + (a-1)2]) )y = ( a2b(1 – a) - b2ab )/[ [b2 + (a-1)2](a2+ b2) ]
( b( a2+ b2 - a3 - ab2 - ab2 - a3 + 2a2 - a )x - [b4 - a2(a-1)2] y ) / ( (b2 + a2)[b2 + (a-1)2]) ) = (a2b – a3b - ab3)/[ [b2 + (a-1)2](a2+ b2) ]
b(-2a3 + 3a2+ b2 - 2ab2 - a )x - [b4 - a2(a-1)2]y = ab(a – a2 - b2) (QR) : b(-2a3 + 3a2+ b2 - 2ab2 - a )x - [b4 - a2(a-1)2]y = ab(a – a2 - b2) Plus simplement, l’équation de la droite BC : y = 0
Le point I(i1 ; i2) appartient aux 2 droites.
I (BC) i2 = 0
I (QR) b(-2a3 + 3a2+ b2 - 2ab2 - a )i1 = ab(a – a2 - b2)
i1 = a(a – a2 - b2)/(-2a3 + 3a2+ b2 - 2ab2 - a ) = a(a – a2 - b2)/[ (a – a2 - b2)(2a - 1)] = a/(2a – 1) avec a2 – a + b2 ≠ 0 et 2a – 1 ≠ 0 (pourquoi ?)
-2a3 + 3a2 + b2 - 2ab2 – a = 2a2 – 2a3 – 2ab2 – a + a2 + b2 = 3a2 – 2a3 – 2ab2 – a + b2 I(a/(2a – 1) ; 0)
J(j1 ; j2) point d'intersection de la droite RP avec la droite CA Équation de la droite RP :
(ab/(a2+ b2) – 0)x – (a2/(b2 + a2) – a)y = a.ab/(a2+ b2) – 0.a2/(b2 + a2) ab/(a2+ b2)x – [a2 -a(b2 + a2)] /(b2 + a2)y = a2b/(a2 + b2)
[abx – (a2 - a(b2 + a2))y] /(a2+ b2) = a2b/(a2 + b2) a[bx – (a - b2 - a2)y] /(a2+ b2) = a2b/(a2 + b2) bx – (a - b2 - a2)y = ab
(RP) : bx – (a - b2 - a2)y = ab
Plus simplement, l’équation de la droite CA : bx - (a-1)y = b Le point J(j1 ; j2) appartient aux 2 droites.
J (CA) bj1 - (a-1)j2 = b j1 = (b + (a-1)j2)/b
J (RP) bj1 – (a - b2 - a2)j2 = ab = b(b + (a-1)j2)/b – (a - b2 - a2)j2 = b + (a-1)j2 – (a - b2 - a2)j2 = b + j2(a - 1 – (a - b2 - a2)) = b + j2(b2 + a2 -1) = ab
j2 = b(a – 1)/(b2 + a2 -1)
j1 = (b + (a-1)j2)/b = (b + (a-1)b(a – 1)/(b2 + a2 -1))/b = 1 + (a-1)2 / (b2 + a2 -1) J(1 + (a-1)2 / (b2 + a2 -1) ; b(a – 1)/(b2 + a2 -1))
K(k1 ; k2) point d'intersection de la droite (PQ) avec la droite (AB)
Équation de la droite PQ : (b(1 – a)/[b2 + (a-1)2] – 0)x – (b2/[b2 + (a-1)2] – a)y = ab(1 – a)/[b2 + (a-1)2]
[ b(1 – a)x – (b2 – a[b2 + (a-1)2])y ] / [b2 + (a-1)2] = ab(1 – a)/[b2 + (a-1)2] b(1 – a)x – (b2 – ab2 - a(a-1)2])y = ab(1 – a)
(PQ) : b(1 – a)x – (b2 – ab2 - a(a-1)2])y = ab(1 – a) Plus simplement, l’équation de la droite AB : bx - ay = 0
Le point K(k1 ; k2) appartient aux 2 droites.
J (AB) bk1 - ak2 = 0 k1 = ak2/b
J (PQ) b(1 – a)k1 – (b2 – ab2 - a(a-1)2])k2 = ab(1 – a) = b(1 – a)ak2/b – (b2 – ab2 - a(a- 1)2)k2 = a(1 – a)k2 – (b2 – ab2 - a(a-1)2)k2 = [a(1 – a) – b2 + ab2 + a(a-1)2]k2 = [a(1 – a) – b2(1- a) + a(a-1)2]k2 = [a – b2 + a - a2](1-a)k2 = (2a – b2 - a2)(1-a)k2
k2 = ab(1 – a) / [(2a – b2 - a2)(1-a)] = ab / (2a – b2 - a2) k1 = ak2/b = a.ab / [(2a – b2 - a2)b] = a2/(2a – b2 - a2) K(a2/(2a – b2 - a2) ; ab / (2a – b2 - a2))
Maintenant que j’ai tous les points, je vais chercher la dernière perpendiculaire en ne raisonnant que sur les vecteurs directeurs des droites que je noterai VD(D).
Pour la droite OH, VD(OH) = (a – ½ ; (a - a2)/b - (a2 – a + b2)/(2b)) = (a – ½ ; (2a - 2a2 - a2 + a - b2)/(2b)) = (a – ½ ; (3a - 3a2 - b2)/(2b))
VD(OH) = (a – ½ ; (3a - 3a2 - b2)/(2b))
Pour la droite IJ, VD(IJ) = (1 + (a-1)2 / (b2 + a2 -1) – a/(2a – 1) ; b(a – 1)/(b2 + a2 -1) – 0)
= ([(2a – 1) – a)]/(2a-1) + (a-1)2/(b2 + a2 -1) ; b(a – 1)/(b2 + a2 -1))
= ((a – 1)/(2a-1) + (a-1)2/(b2 + a2 -1) ; b(a – 1)/(b2 + a2 -1))
= (a-1).(1/(2a-1) + (a-1)/(b2 + a2 -1) ; b/(b2 + a2 -1))
= (a-1)/(b2 + a2 -1).( [(b2 + a2 -1) + (a-1)(2a – 1)]/(2a-1) ; b)
= (a-1)/(b2 + a2 -1).( (b2 + a2 -1 + 2a2 – a – 2a + 1)/(2a-1) ; b)
= (a-1)/(b2 + a2 -1).( (b2 + 3a2 - 3a)/(2a-1) ; b)
Ce qui m’intéresse, c’est uniquement un vecteur directeur, je ne garde donc que VD(IJ) = ( (b2 + 3a2 - 3a)/(2a-1) ; b)
Je fais enfin le produit vectoriel de ces 2 vecteurs directeurs :
VD(OH).VD(IJ) = (a – ½ )(b2 + 3a2 - 3a)/(2a-1) + b(3a - 3a2 - b2)/(2b) = (3a - 3a2 - b2)[ (a –
½)/(2a-1) + b/(2b) ] = (3a - 3a2 - b2)[ (a – ½)/(2a-1) + b/(2b) ] = (3a - 3a2 - b2)( ½ – ½) = 0 Nous avons donc bien (IJ) (OH)
