I 160 – A la recherche du triangle
Puce a choisi les coordonnées de trois sommets d’un triangle situé à l’intérieur d’un cercle (C) dont le centre est à l’origine et le rayon est égal à 10 cm. L’objectif de Zig est de localiser ce triangle de manière précise. Pour ce faire, il donne successivement à Puce les coordonnées (xᵢ,yᵢ) de points Mᵢ situés dans le plan (i.e. pas nécessairement à l’intérieur du cercle (C)) et pour chacun d’eux Puce donne la distance qui le sépare du sommet du triangle le plus proche non encore localisé. Quand la distance annoncée par Puce est nulle, le point M correspondant devient un sommet localisé. Démontrer que Zig est toujours en mesure de localiser exactement le triangle choisi par Puce en 15 requêtes ou moins.
Pour les plus courageux : il s’agit de localiser n points distincts à l’intérieur du cercle (C). Démontrer que l’on peut toujours les localiser en un nombre fini N de requêtes et déterminer le plus petit N possible en fonction de n.
Solution de Jean Nicot
On notera Mk le point utilisé pour la k ième requête de réponse dk. Cela permet de tracer un cercle noté (Ck) de centre Mk et de rayon dk. On notera Ck l’arc de (Ck) intérieur à (C) et extérieur aux Cj déjà tracés, et qui sera éventuellement raccourci par les (Cj) futurs. De même on notera C l’arc de (C) extérieur aux (Cj) On prendra les points Mi exclusivement sur C ou au point commun à deux arcs Ck ; cela assure que le cercle (Ci) fournira un autre point d’intersection avec chacun de ces deux arcs ou bien sur C.
Localisation d’un seul point
On prend M1 sur (C). On trace le cercle(C1) de centre M1 et de rayon d1. On prend M2 sur (C) et (C1). On trace le cercle(C2) de centre M2 et de rayon d2 qui coupe (C1) en M3. Le point cherché se situe sur C1 et sur C2, donc en M3, pour lequel on vérifie que d3 =0. P1 est en M3. N(1) = 3. A noter que le second point d’intersection de (C1) et (C2) est symétrique de M3 par rapport à la droite M1M2, donc extérieur à (C). Il suffit de 3 requêtes pour trouver un point. N(1) = 3. Voir figure 1.
Cette valeur est un minimum, car il faut un premier cercle pour un lieu du point , un second pour le localiser sur ce lieu et un troisième pour confirmer. On peut donc prévoir que pour localiser n points, il faudra environ 3n requêtes.
Figure 1
Localisation de 2 points
Comme précédemment, on prend M1, M2 et M3.
Si d3=0, P1 est trouvé en M3 et il reste à trouver un seul point, comme précédemment ; alors N(2)=3+N(1) =6.
Si d3>0, le cercle (C3) de centre M3 et de rayon d3 coupe l’arc C1 extérieur à (C2) en M4 et l’arc C2 extérieur à (C1) en M5. Les deux points sont situés sur les parties mutuellement extérieures des 3 arcs C1, C2, C3, donc l’un de ces points est en M4 ou M5.
La requête M4 fournit d4.
Si d4 = 0, on a trouvé un point sur C1 et C3 ; il reste le second point sur C2, localisé en 2 requêtes , soit un total de 6.
Toutefois si d5 = 0, cinq requêtes ont suffi car on trouve deux points sur C3. Voir la figure 4.
Si d4 > 0 Le cercle (C4) ne peut couper C2 car il engloberait tout l’arc C3 qui contient un point. Il peut cependant atteindre M5, sans que ce soit extraordinaire.
Supposons que (C4) coupe C3 ailleurs. (C4) coupe aussi C1 en M6, il ne peut l’englober tout C1 car il y a un point sur C1. On doit trouver 2 points situés sur C1, C4, C3 et C2. Ils sont obligatoirement en M5 et M6, soit un total de 6 requêtes. Voir la figure 2.
Supposons que (C4) passe en M5. Il doit y avoir un point sur C3, maintenant réduit au point M5, donc d5 = 0. M5 est sur les arcs C2, C3, C4 donc le second point est situé sur C1 et sera localisé en 2 requêtes ,(N(1) -1, comme C1 est déjà tracé). On aboutit alors à N(2) = 7. Voir la figure 3.
Figure 2
Figure 3
Figure 4.
Après avoir trouvé le point M4, il restait à trouver le point sur C2. On voit ici qu’il est préférable de ne pas faire la requête sur l’autre extrémité de C2 qui n’a aucune possibilité d’être le second point.
Méthodologie
La méthode de recherche des points est la suivante.
- Prendre le point M1 au hasard sur (C) et avec la requête d1, tracer (C1)
- Prendre le second point M2 sur (C) et sur C1, une des deux possibilités au hasard, et avec la requête d2, tracer (C2)
- Prendre le troisième point M3 sur C1 et C2, et avec la requête d3, tracer (C3) ; on obtient un point cherché si d3=0
- Continuer à prendre les points suivants sur des arcs consécutifs Ci et Ck non déjà utilisés précédemment, en prenant en priorité les points ou aboutissent 3 arcs, qui font alors partie des points recherchés (car un des arcs est intérieur aux autres sauf son extrémité); cela évite que 4 arcs puissent aboutir au même point. S’il ne reste plus qu’un arc inutilisé, donc au moins un point à trouver, utiliser une de ses extrémités non sur C . A défaut d’arc inutilisé alors que restent des points non trouvés, repartir d’un point de C, donc extérieur aux Ci déjà tracés.
Chaque nouvelle requête ajoute un arc, compté même s’il est de rayon nul.
Chaque point trouvé enlève 3 arcs, (les deux arcs Ci et Ck et l’arc de rayon nul) ou bien 4 si un troisième arc aboutissait aussi à ce point.
Sur chaque arc tracé, il existe un point cherché, par hypothèse.
Lorsque tous les points sont trouvés, il n’y a plus d’arc n’ayant pas repéré son point.
Il faut donc au plus 4N requêtes, ce qui nécessite qu’à chaque point trouvé aboutissent 3 arcs et cela n’est pas possible au moins pour un point.
Le nombre maximum de requêtes, avec la méthode ci-dessus, est donc N(n) = 4n-1. C’est aussi 3n augmenté du nombre de points trouvés où aboutissaient 3 arcs.
S’il n’y a aucun où aboutissent 3 arcs (de rayons positifs), on a N(n) = 3n.
Remarquons que ce nombre minimum de 3n peut être réduit de α : cela signifie que deux points se trouvent sur un même arc, αfois. Cette éventualité, peu probable, mais non impossible, dépend beaucoup des choix arbitraires faits. Toutefois, on ne peut arriver à une valeur inférieure à 2n + 1. Il faut 3 requêtes au moins pour le premier point et deux au moins pour chacun des autres. Voir la figure 9 pour voir cette contrainte.
Il faut cependant noter que, pour une configuration donnée de points, il n’est pas possible de prévoir un nombre de requêtes car il dépend de l’emplacement choisi au hasard pour M1 et de l’extrémité choisie pour M2, ainsi que celle choisie pour un arc non utilisé et isolé. Il dépend aussi de l’ordre dans lequel sont effectuées certaines requêtes.
N(n) est donc compris entre 3n- α et 4n-1 (bornes incluses)
Le résultat est égal à 3n augmenté du nombre de points appartenant à 3 arcs de cercles tracés (ce qui est assez fréquent) et diminué du nombre α de cercles tracés rencontrant deux points (ce qui est exceptionnel et ne doit pas faire aboutir à moins de 2n+1).
Appliquons cette méthode, toujours pour le même un triangle, en utilisant un point M1, puis un autre point M1 pour voir l’influence sur le résultat.
Le premier choix de M1 conduit à 9 requêtes (voir figure5), et le second choix de M1 à 10 (voir figure 6), et dans ce dernier choix, une autre option pour M6 conduit à 11 requêtes (voir figure 7).
Un troisième choix de M1 aboutit au minimum de 3n-1 requêtes (voir figure 8).
Enfin, pour le fun, un dernier choix de M1 pour un super minimum de 3n-2, trop bon pour ne pas avoir aidé la chance !
Voir les cinq figures (fig.5 à fig.9) ci-après.
Figure 5
Figure 6
Figure 7 Ici, le point M6 a été pris sur l’autre extrémité de C1. On a vu qu’il était préférable de prendre l’extrémité touchant C4, pour le cas où ce serait le second point cherché. Ce n’est pas le cas ici; le score inférieur résulte seulement de la positio
n du dernier point et on peut trouver une autre situatio n de ce troisiè me point qui inverse ce résultat .
Figure 8
Les requêtes M1 à M4 trouvent le point M4, la requête M5 cherche le point sur C1 et le trouve en M5, le dernier point, isolé, est enfin obtenu en 3 requêtes. C3 rencontrant deux points réduit d’une unité le nombre total.
Figure 9 Evidemment, on trouve plus facilement la bonne place des points M1, M4 et le choix de M5 en connaissant le résultat.
C1, C2 et C4 passent chacun par deux des points à trouver, ce qui est plus qu’exceptionnel. On n’arrive pas à 3n-3 requêtes car il en faut 3 pour le premier point et au moins 2 pour les suivants, soit un super minimum de 2n+1, sans avoir pressenti que M7 pouvaient être sur le même arc C4 que M5 et aussi le même arc C2 que M3 , et évité ainsi la requête M6…
