D2923– Le jardin des géomètres-1ère scène [*** à la main]
Le sieur de Laterre-Donne(1) a conçu un merveilleux jardin dans lequel il a installé les statues de mathématiciens géomètres célèbres repérés par la première lettre majuscule de leur nom.
Il commence par tracer les contours d’un massif fleuri circulaire (ω) de centre O(d’Ocagne), à l’intérieur duquel il trace deux cordes GI (Gauss) – Isidore de Milet) et HJ (Hipparque) – Julia) perpendiculaires entre elles en un point Z(Zénon d’Elée).
Dans un deuxième temps, il trace les allées d’un quadrilatère complet ABCDEF en mémoire d’Archimède, de Brocard, de Chasles, de Descartes, d’Euler et de Feuerbach. Les côtes AB,BC,CD,DA sont respectivement tangents en G,H,I,J au cercle (ω). Les statues d’Euler et de Feuerbach sont respectivement à l’intersection des droites [AD] et [BC] d’une part, [AB] et [CD] d’autre part.
Il trace ensuite dans cet ordre les milieux K,L,M et N des segments AC,BD,GI et HJ afin d’y installer les statues de Klein, Lemoine, Monge et Newton.
Il ne lui reste plus qu’à marquer le point P centre de la pelouse circulaire (Ω) circonscrite au triangle ABC afin d’y mettre la statue de Pascal et le point T réservé à la statue de Thalès à l’intersection de la droite [EF] avec la droite [OZ].
Cher lecteur, c’est à votre tour de démontrer que : 1) les droites EO et FO,
2) les droites OT et EF, 3) les droites PZ et EF, 4) les droites EP et FZ, 5) les droites FP et EZ, 6) les droites KL et MN,
sont perpendiculaires deux à deux.
(1)Nota : anagramme d’un célèbre jardinier du château de Versailles.
Solution proposée par Bernard Vignes
Nous allons démontrer successivement les lemmes suivants:
Lemme n°1 :le quadrilatère ABCD est inscriptible dans le cercle (Ω) circonscrit au triangle ABC.
Démonstration : Soit AJG = α et DIJ = β. On a GIJ = α, IHJ = β, GIH = 90° – β.
D’où CIH = 180° – β – α – (90° – α) = 90°– α.
Or BAD = 180° – 2AJG= 180° – 2α et BCD = 180° – 2(90° – α).
D’où BCD = 2α et BAD + BCD = 180°. C.q.f.d.
Lemme n°2 : les diagonales AC et BD se croisent au point Z Démonstration :
D’après le théorème de Branchion (voir annexe), l’hexagone dégénéré ABGCID est tel que les droites AB,AC et GI sont concourantes en un même point X₁. D’après ce même théorème, l’hexagone dégénéré ABHCDI est tel que les droites AB,AC et HJ sont concourantes en un même point X₂. Comme GI et HJ se rencontrent en Z, les points X₁ et X₂ sont confondus en Z. C.q.f.d.
Lemme n°3 : les triangles EHJ et FGI étant isocèles de sommets E et F, les bissectrices EO et FO sont les médiatrices des cordes HJ et GI.
1er résultat : comme les cordes HJ et GI sont perpendiculaires par construction, il en est de même des droites EO et FO.
Lemme n°4 : la droite EF est la polaire de Z par rapport au cercle (ω) Démonstration :
Par construction, les tangentes issues de E au cercle (ω) déterminent la droite HJ polaire de E par rapport à ce cercle. De la même manière, la droite GI est la polaire de F par rapport à ce cercle. Il en résulte que Z à l’intersection des polaires HJ et GI est le pôle de la droite EF par rapport à (ω).
2ème résultat : OZ est perpendiculaire à la droite EF qu’elle rencontre au point T
Lemme n°5 : la droite EF est la polaire de Z par rapport au cercle (Ω) Démonstration :
Par construction, la polaire de E par rapport au cercle (Ω) passe par le point Z à l’intersection des diagonales AC et BD du quadrilatère ABCD . De la même manière la polaire de F par rapport au cercle (Ω) passe par le même point Z. Il en résulte que Z est le pôle de la droite EF par rapport à (Ω).
3ème résultat : PZ est perpendiculaire à la droite EF au point T. Les points P,O,Z et T sont alignés.
Lemme n°6 : P est l’orthocentre du triangle EFZ.
Démonstration :
C’est l’énoncé du théorème de Brocard appliqué au triangle EFZ (voir annexe),
4ème et 5ème résultats : les droites EZ et FP sont perpendiculaires entre elles ainsi que les droites FZ et EP.
On désigne par U(lugh Beg) le milieu de EF et par V(iète) le point d’intersection de KL et de MN.
Lemme n°7 : les points K,O,L,U sont alignés.
Démonstration :
K,O,L sont alignés d’après le théorème de Newton (voir annexe) appliqué au quadrilatère tangentiel ABCD.
tandis que K,L,U sont alignés d’après le théorème de Gauss (voir annexe) appliqué aux diagonales du quadrilatère complet ABCDEF
Lemme n°8: les points O,M,Z,N sont les sommets d’un rectangle.
Démonstration :
Les droites GI et EO d’une part, HJ et FO d’autre part sont parallèles deux à deux et par construction GI et HJ sont perpendiculaires.C.q.f.d.
Dans le triangle rectangle EFZ et le rectangle OMNZ, on a les relations d’angles :
MOV = FOU = OFU = 90° – FEO = EOT = 90° – OZN = 90° – NMO = 90° –VMO D’où MVO = 180° – MOV – VMO = 90°. C.q.f.d.
6ème résultat : les droites KL et MN sont perpendiculaires.
ANNEXE
Théorème de Brianchon dual du théorème de Pascal
Les diagonales joignant les sommets opposés d’un hexagone sont concourantes si et seulement si cet hexagone est circonscrit à une conique.
Théorème de Brocard
Si les extensions des côtés opposés d’un quadrilatère inscriptible ABCD se coupent en E et F et les diagonales se coupent P, alors le centre O du cercle circonscrit à ABCD est l’orthocentre du triangle PED.
Démonstration :la polaire de E par rapport au cercle circonscrit à ABCD passe par construction par le points F et P. Il en résulte que la droite OE est perpendiculaire à la droite FP. De la même manière la droite OF est perpendiculaire à la droite à la droite EP. C.q.f.d.
Théorème de Gauss-Newton
Dans un quadrilatère complet les milieux des diagonales sont alignés.
Théorème de Newton
Dans tout quadrilatère tangentiel (appelé encore tangent ou circonscrit) autre qu’un losange, la droite passant par les milieux des diagonales passe par le centre du cercle inscrit.
