ECE 2 - Année 2018-2019 Lycée français de Vienne Mathématiques - F. Gaunard http://frederic.gaunard.com
Devoir Maison n°6
Travail en temps limité - 4 heures À rendre le 08/01
Ce devoir est à faire individuellement, en temps limité (4 heures) et sans aide ni document quelconque. Toutes les réponses doivent êtres justifiées et soigneusement rédigées.
Exercice 1
On note B= (e1, e2, e3) la base canonique deR3.
On considère l’endomorphisme f de R3 dont la matrice dans la base B est la matrice A donnée par : A=
0 −2 −5
−2 0 4
1 1 0
.
On considère également l’endomorphismeg de R3 défini par :
∀(x, y, z)∈R3, g(x, y, z) = (x+y−z, 2y, −x+y+z).
Enfin, on pose :
u=e1−e2 = (1,−1,0) et v =f(e1) +e1. (1) (a) Calculer v.
(b) Montrer que la famille C = (u, v, e1)est une base de R3. (c) On note P la matrice de passage de la base B à la base C.
Expliciter la matrice P et calculer P−1. (2) (a) Déterminer la matrice A0 def dans la base C.
(b) En déduire les valeurs propres de f. L’endomorphisme f est-il diagonalisable ? (c) L’endomorphisme f est-il bijectif ?
(d) Expliciter, sans justification, le lien entre les matrices A, A0, P et P−1. (3) (a) Déterminer la matrice B deg dans la base B.
(b) Montrer : B2 = 2B.
(c) En déduire les valeurs propres de g, ainsi qu’une base de chaque sous-espace propre.
(d) L’endomorphisme g est-il diagonalisable ? On pose : E ={M ∈ M3(R) : BM =M A}.
(4) (a) Montrer que E est un espace vectoriel.
2 Pour le 08/01 (b) Soit M une matrice appartenant à E.
Montrer que M n’est pas inversible. (On pourra raisonner par l’absurde).
(5) On cherche à montrer que E n’est pas réduit à l’ensemble ∅.
(a) Justifier que, pour tout réel λ, les matricesA−λI3 et(tA)−λI3 ont même rang, la matrice I3 désignant la matrice identité de M3(R).
(b) En déduire que les matrices B et tA admettent une valeur propre en commun, notée α.
(c) Soient X un vecteur propre de B associé à la valeur propre α, et Y un vecteur propre de
tA associé à la valeur propre α. On note : N =X tY.
Montrer que la matrice N est non nulle et que N appartient à E. (d) En déduire : dim(E)≥2.
Exercice 2
Soit X une variable aléatoire, à valeurs dans R+, de densité f (nulle sur R∗−) et de fonction de répartition F.
On suppose, de plus,f continue surR+. On pose, pour tout réel x positif : H(x) =
Z x 0
F (t) dt et ϕ(x) = Z x
0
tf(t) dt.
Partie I : Étude asymptotique de la fonction H.
(1) On suppose dans cette question que X suit une loi exponentielle de paramètre 1.
(a) Rappeler l’expression de la fonction de répartition F deX.
(b) En déduire que pour tout x >0: H(x) =x−1 +e−x. (c) Déterminer un équivalent de H(x) au voisinage de +∞.
(2) On suppose dans cette question que X admet pour densité la fonction f définie par :
f(x) =
0 si x <0 1
(1 +x)2 si x≥0.
(a) Vérifier que la définition de f ci-dessus correspond bien à une densité de probabilité.
(b) Déterminer l’expression de la fonction de répartition F de X.
(c) En déduire que pour tout x >0: H(x) =x−ln(1 +x).
(d) Déterminer un équivalent de H(x) au voisinage de +∞.
(3) On revient au cadre général décrit par l’exercice et on suppose de plus que X admet une es- pérance.
(a) Justifier que ϕ admet une limite en +∞ et la déterminer.
(b) Montrer, grâce à une intégration par parties, que :
∀x∈R+, ϕ(x) =xF(x)−H(x).
(c) En déduire que H(x)∼x au voisinage de +∞.
Partie II : Une autre formule pour le calcul de l’espérance.
On suppose, dans cette partie la convergence de l’intégrale Z +∞
0
(1−F(t))dt et on note S sa valeur.
(1) Montrer que la fonction ϕ est de classe C1 sur R+ puis déterminer l’expression de ϕ0(x) pour tout x∈R+ et en déduire que la fonction ϕest croissante sur R+.
Devoir Maison n°5 3 (2) Montrer, en utilisant la question 3b) de la partie I, que :
∀x∈R+, ϕ(x) = Z x
0
(1−F (t))dt−xP (X > x). (3) Montrer que, pour tout x∈R+,
Z x 0
(1−F (t))dt ≤S.
(4) En déduire que ϕest majorée puis que X admet une espérance.
(5) Montrer que, pour tout x∈R+,
0≤xP (X > x)≤ Z +∞
x
tf(t) dt.
(6) En utilisant le fait que X a une espérance, montrer que
x→+∞lim Z +∞
x
tf(t) dt = 0.
(7) En déduire que
x→+∞lim x P(X > x) = 0, puis montrer que
E(X) = Z +∞
0
(1−F (t))dt.
(8) On suppose dans cette question queX suit une loi exponentielle de paramètre λ >0.
Justifier que l’intégrale R+∞
0 (1−F (t))dt converge et retrouver la valeur de l’espérance de X à l’aide de la formule de la question 7.
Exercice 3
On considère la matrice M définie par :
M = 1 6
6 3 0 0 3 4 0 0 2
(1) La matrice M est-elle diagonalisable ? inversible ?
Une urne contient une boule rouge et deux boules blanches. On effectue dans cette urne une succession de tirages d’une boule selon le protocole suivant :
• si la boule tirée est rouge, elle est remise dans l’urne.
• si la boule tirée est blanche, elle n’est pas remise dans l’urne.
Pour tout entieri supérieur ou égal à1,on note Bi (respectivementRi ) l’événement "on obtient une boule blanche (respectivement une boule rouge) lors du i`eme tirage".
Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on note Xn le nombre de boules blanches contenues dans l’urne à l’issue dun`eme tirage et on pose X0 = 2.
On note enfin T1 le numéro du tirage où l’on extrait pour la première fois une boule blanche et T2 le numéro du tirage où l’on extrait la dernière boule blanche.
On considère les quatre matrices colonnes suivantes : Un=
P[Xn= 0]
P[Xn= 1]
P[Xn= 2]
, V1 =
1 0 0
, V2 =
−1 1 0
, V3 =
3
−4 1
4 Pour le 08/01 (2) (a) Déterminer pour tout entier naturel n, l’ensemble des valeurs prises par la variable Xn ( on
distinguera les trois cas : n= 0, n = 1 etn ≥2)
(b) En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 2,on a l’égalité suivante :
Un+1 =M Un
Vérifier que l’égalité précédente reste valable pour n= 0 etn = 1.
(c) Calculer M V1, M V2 etM V3.
(d) En déduire par récurrence, pour tout entier naturel n, la relation suivante : Un =V1+ 4
1 2
n
V2 + 1
3 n
V3
(e) Donner la loi de la variable Xn .
(3) Calculer E(Xn), espérance de Xn , ainsi que sa limite lorsque n tend vers +∞.
(4) Reconnaître la loi de T1.
(5) Écrire les événements [T2 = 2] et [T2 = 3] à l’aide de certains des événements Bi et en déduire les valeurs des probabilités P [T2 = 2] et P[T2 = 3].
(6) (a) Pour tout entier n supérieur ou égal à2, écrire l’événement [T2 =n] en fonction des événe- ments [Xn−1 = 1] et[Xn= 0].
(b) En déduire que pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a : P [T2 =n] = 2
"
1 2
n−1
− 1
3 n−1#
(c) Monter que la variable aléatoire T2 admet une espérance et calculer E(T2).
(7) Recopier et compléter le programme suivant permettant de représenter graphiquement la trajec- toire de la v.a. Xn
function X=DM6(n) X=zeros(1,n+1) X(1)=...;
for i=2:n+1
if X(i-1)==0 then
X(i)=...
elseif ... then X(i)=...
else
...
end end endfunctionend n=input('n=?')
plot2d([1:n], ..., -1)
