Probl` eme d’analyse (concours A-TB 2010)

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 − 2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Devoir surveill´ e n˚4

Dur´ee : 3 heures

L’usage de la calculatrice est interdit.

Le bar`eme prendra significativement en compte : la pr´esentation, la clart´e des explications, le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses (en particulier dans l’exercice de probabilit´es), la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.

Probl` eme d’alg` ebre

Dans tout l’exercice, a d´esigne un nombre r´eel fix´e. On note M ∈ M₂(R) d´efinie par : M =

a 1 1 a

.

1. ´Etude spectrale de M

Pour tout λ∈R, on introduit le syst`eme (S_λ) : (M −λI₂)

x y

= 0

0

d’inconnue x

y

∈R², et on noteE_λ son ensemble solution.

1.1. Justifier que Eλ est un sous-espace vectoriel deR².

1.2. D´eterminer le spectre Spec(M) de M, i.e. l’ensemble d´efini par :

Spec(M) ={λ∈R : le syst`eme (S_λ) n’est pas de Cramer}. 1.3. Soit λ∈R\Spec(M). D´eterminer Eλ, sans effectuer aucun calcul.

1.4. D´eterminer une base de E_a+1 et pr´eciser sa dimension.

1.5. D´eterminer une base de E_a−1 et pr´eciser sa dimension.

1.6. D´emontrer que : E_a+1⊕Ea−1 =R².

1

2. Calcul des puissances de M

On note P ∈ M₂(R) d´efinie par :

P =

1 1 1 −1

. 2.1. Montrer que P est inversible et calculer son inverse.

2.2. Calculer D=P⁻¹M P.

2.3. ExprimerM en fonction de P, D et P⁻¹. 2.4. En d´eduire que pour tout k∈N^∗ :

M^k= 1 2

(a+ 1)^k+ (a−1)^k (a+ 1)^k−(a−1)^k (a+ 1)^k−(a−1)^k (a+ 1)^k+ (a−1)^k

.

3. Sous-espace vectoriel de M₂(R) engendr´e par les puissances de M

Soit n un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2. On note F_n le sous-espace vectoriel de M₂(R) engendr´e par (I₂, M, M², . . . , Mⁿ), i.e. :

F_n = Vect(I₂, M, M², . . . , Mⁿ).

3.1. Soit k∈J2, nK. Montrer que M^k ∈Vect(I₂, M).

3.2. En d´eduire une base deF_n, puis sa dimension.

Probl` eme de probabilit´ es

On dispose de trois urnes num´erot´ees 1,2,3, qui contiennent chacune deux boules.

• L’urne n˚1 contient deux boules blanches.

• L’urne n˚2 contient une boule blanche et une boule rouge.

• L’urne n˚3 contient deux boules rouges.

L’exp´erience consiste `a choisir une fois pour toute une urne au hasard, puis `a effectuer une succession de tirages avec remise, jusqu’`a l’apparition ´eventuelle d’une boule blanche.

On note U la variable al´eatoire ´egale au num´ero de l’urne choisie.

On consid`ere la variable al´eatoireX ´egale

– `a 0 si l’on n’obtient jamais de boule blanche ;

– au rang du tirage o`u apparaˆıt pour la premi`ere fois une boule blanche sinon.

1. ´Etude de la variable al´eatoire U 1.1. Reconnaˆıtre la loi de U.

1.2. Donner l’esp´erance et la variance de U. 2. ´Etude de la variable al´eatoire X

2.1. D´eterminer l’ensemble des valeurs prises par X.

2.2. On cherche ici `a calculer P([X = 1]).

2

2.2.1. Calculer les probabilit´es suivantes :

P([X = 1]/[U = 1]) ; P([X = 1]/[U = 2]) ; P([X = 1]/[U = 3]).

2.2.2. En d´eduire que P([X= 1]) = 1 2.

2.3. Soit j un entier sup´erieur ou ´egal `a 2. On souhaite d´eterminer P([X =j]).

2.3.1. Justifier que :

P([X =j]/[U = 1]) = 0 et P([X =j]/[U = 3]) = 0.

2.3.2. Calculer, pour tout entier j sup´erieur ou ´egal `a 2, P([X =j]/[U = 2]).

2.3.3. En d´eduire que :

P([X =j]) = 1 3

1 2

j

.

2.4. D´eduire de ce qui pr´ec`ede la valeur de P([X = 0]).

3. Probabilit´e de gagner

On dit que l’on gagne, si la premi`ere boule blanche tir´ee apparaˆıt avant le 100<sup>`eme</sup> tirage.

Calculer la probabilit´e de gagner.

4. ´Etude de l’esp´erance math´ematique de X

4.1. Justifier l’existence de l’esp´erance math´ematique E(X) de X.

4.2. Calculer E(X).

Probl` eme d’analyse (concours A-TB 2010)

On consid`ere la famille de fonctions (f_n)_n∈N^∗ d´efinies sur ]−1,+∞[ par :

∀x∈]−1,+∞[, f_n(x) = xⁿln(1 +x).

1. ´Etude des fonctions f_n

Soit n∈N^∗.

1.1. On note h_n la fonction d´efinie sur ]−1,+∞[ par :

∀x∈]−1,+∞[, h_n(x) = nln(1 +x) + x 1 +x. 1.1.1. Etudier le sens de variation de´ h_n sur ]−1,+∞[.

1.1.2. Calculer h_n(0) puis en d´eduire le signe deh_n sur ]−1,+∞[.

1.2. Dans cette question, on s’int´eresse `a la fonction f₁.

1.2.1. Montrer que f₁ est d´erivable sur ]−1,+∞[ et calculer f₁⁰. 3

1.2.2. Construire alors le tableau de variations de f₁ en pr´ecisant la valeur au point remarquable, les limites aux bornes du domaine de d´efinition, la nature des branches infinies ´eventuelles.

1.3. Dans cette question,n est suppos´e sup´erieur ou ´egal `a 2.

1.3.1. Montrer que f_n est d´erivable et calculer f_n⁰.

1.3.2. En d´eduire les variations de f_n sur ]−1,+∞[ (on sera amen´e `a discuter sur la parit´e de n).

1.3.3. Construire le tableau de variations de f_n en pr´ecisant la valeur au point remar- quable, les limites aux bornes du domaine de d´efinition, la nature des branches infinies ´eventuelles.

2. ´Etude de la suite Z 1

0

fn(x)dx

n∈N^∗

On consid`ere la suite (I_n)n∈N^∗ d´efinie par : ∀n∈N^∗, I_n = Z 1

0

f_n(x)dx.

2.1. On se propose ici de calculer I1.

2.1.1. Prouver l’existence de trois nombres r´eels a, b, c tels que :

∀x∈[0,1] x²

x+ 1 =ax+b+ c x+ 1. 2.1.2. En d´eduire la valeur de l’int´egrale

Z 1

0

x²

x+ 1 dx, puis la valeur de I₁. 2.2. On ´etudie enfin la convergence de la suite (In)n∈N^∗.

2.2.1. Montrer que la suite (I_n)_n∈N^∗ est monotone.

2.2.2. Justifier la convergence de la suite (I_n)n∈N^∗ (on ne demande pas sa limite ici).

2.2.3 D´emontrer que :

∀n ∈N^∗, 0≤I_n ≤ ln(2) n+ 1 en en d´eduire la limite de la suite (I_n)n∈N^∗.

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