On considère la fonction

(1)

Math Sup PTSI - ICAM Toulouse Sophie Touzet

D.M. n°4 ETUDE DE LA FONCTION th

CORRECTION

On considère la fonction th (appelée tangente hyperbolique) définie par :

( )

^e ^e

e e

x x

th x

−

= −

+ . 1. Justifier que th est définie et dérivable sur ℝ, et que :

( ) ( ( ) )

²

, ' 1

x th x th x

∀ ∈ℝ = −

La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ, strictement positive.

Ainsi, ∀ ∈x ℝ,e^x+e⁻^x>0, la fonction th est donc définie sur ℝ, et dérivable sur ℝ comme somme et quotient de fonctions dérivables.

( ) ( ) ( )

( ) ⁽ ^{( )} ⁾

2 2

e e e e

, ' 1

e e

x x x x

x x

x th x th x

− −

−

+ − −

∀ ∈ = = −

ℝ +

2. Montrer que l’on peut réduire l’étude de la fonction th sur ℝ⁺, puis faire l’étude des variations de th et le calcul de sa limite en +∞.

( )

^e ^e

( )

, e e

x x

x th x th x

−

∀ ∈ − = − = −

ℝ + , la fonction th est donc impaire.

On peut l’étudier sur ℝ⁺.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

e e e e 4

, 0

e e e e

x x x x

x th' x

− −

+ − −

∀ ∈ = = >

+ +

ℝ , la fonction th est donc

strictement croissante sur ℝ.

( ) ( )

( ) ^{( )}

2 2

e 1 e 1 e

, donc lim 1

1 e

e 1 e

x x x

x x x x

x th x th x

− −

− − →+∞

− −

∀ ∈ = = =

+ + ℝ

3. a) Justifier que la fonction th réalise une bijection de ℝ sur un intervalle I à déterminer.

La bijection réciproque de th se note Argth.

La fonction th est continue, strictement croissante de ℝ sur I = ]-1 ; 1[, d’après le théorème de bijection , elle réalise donc une bijection de ℝ sur I.

b) Déterminer Argth(0). th(0) = 0, donc Argth(0) = 0

4. Expliquer pourquoi Argth est dérivable sur I, et montrer que :

( )

¹ ₂

, '

x I Argth x 1

∀ ∈ = x

− .

On a vu que : ∀ ∈ −^x

]

^{1;1 ,}

[

th' Argth x

( ( ) )

= −¹

(

th Argth x

( ( ) ) )

²= −¹ x²>⁰

(2)

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Argth est donc dérivable sur I, et ∀ ∈^x I th' Argth x^,

( ( ) )

×Argth ' x

^{( )}

=¹, d’où :

(

¹⁻^x²

)

^×^{Argth '}

^{( )}

^x ⁼¹, ce qui donne : ^, ^'

( )

¹ ₂

∀ ∈ =1

x I Argth x −

x 5. a) Déterminer les réels a et b tels que :

( ) ( )

2

, 1

1 1

1 2 1 2 1

∀ ∈ = +

− − + = +

− +

a b

t I t

t t t t ^.

b) En déduire la forme explicite de Argth(x).

( )

²

( ) ( )

1 1 1

, '

1 2 1 2 1

∀ ∈ = = +

− − +

x I Argth x

x x x ;

On en déduit qu’il existe une constante C, telle que :

( )

¹ ¹ ¹ ¹ ¹

2 2 1

x I , Argth x ln x ln x C ln x C

x

∀ ∈ = − − + + + = + +

− . Comme Argth(0) = 0, on déduit que C = 0, et

( )

¹

1 x I , Argth x ln x

x

∀ ∈ = +

−

6. Retrouver le résultat précédent en résolvant pour y∈I l’équation th(x) = y, d’inconnue x.

( ) ( )

( ) ( ) ⁽ ⁾

2

2 2 2

2

e e 1

e e

e 1 e 1 e 1 1

e e e e 1

x x

x x x

x x x x

x , th x y y y y y y

− −

∀ ∈ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = + ⇔ − = +

+ +

ℝ

Ainsi, ² 1 1 1

e d'où :

1 2 1

x y y

y I , x ln

y y

 

+  + 

∀ ∈ = − =  − .