Interpolation de la formule de Colebrook pour l'application de la méthode de Hardy Cross aux réseaux de distribution d'eau

Interpolation de la formule de Colebrook pour l'application de la méthode de Hardy Cross

aux réseaux de distribution d'eau

Interpolation of the Colebrook formula for applying the Hardy Cross method to water distribution systems

Gianfranco Rossi t

Professeur à l'Université de Bologne

Vice- Président de l'Association nationale de l'industrie du gaz en Italie

où R,} est la résistance hydraulique du côté j de la maille i, il résulte

passages, on arrive à l'expression approximative du débit correctif ci-dessous

n

L: <Pij (Qi})

qi

=

(1)

(2) df,;<1 QI)

d IQI

L:

n

l'ij (1 Qi}l)

l'i} (1 QI)

j_m

Par exemple, pour On sait que la vérification des réseaux hydrauliques

maillés selon la méthode de Hardy Cross pour l'équili- brage des charges, tant dans la procédure par itération maille par maille que dans le développement dérivé, se base essentiellement sur les points suivants:

- on établit un sens de rotation pour les différentes mailles marquées par le numéro d'origine i;

- le débit Qij du côté j appartenant à la maille i est considéré comme étant positif s'il concorde avec ce sens, négatif dans le sens contraire;

- la valeur absolue de la perte de charge y est exprimée par y = J( 1 QI), avec le même signe que le débit Q;

l'expression de telles pertes en valeur et en signe est la suivante:

<Pi}(Q)

=

R,} IQlaij. Q l'ij (

1

QI)

=

aij Rij

1

Q

1

aij-

1

y = <pC Q) = J(

1

QI) . ~ IQI

Il est évident que le paramètre typique des fonctions

J(

1

QI) et <p ( Q) varie suivant le côté;

- on choisit tout d'abord, pour le réseau, un ensemble de débits Qi} compatibles aux nœuds, mais pas forcément équilibré le long des mailles donc le long de la maille i résultera normalement

donc

qi

L:

n

Rij

1

Qijlai}-I . Qij

j-m

L:

n

aij Rij

1

Qijlaij-I

j_m

(3) (4)

(5)

(6) m et n représentant les valeurs extrêmes des numéros

d'ordre j des côtés de la maille i et <pij indiquent la fonction

« pertes de charge» en valeur et signe avec les paramètres spécifiques du côté j de la maille i;

- on veut déterminer pour chaque maille i un débit de corrections qi, circulant le long de la même maille tel que

L:

n

<Pij (Qi) + ^qi)

⁼

O.

j_m

En développant l'expression sous le signe somme en série de Taylor (limitée par approximation aux deux premiers termes) et en exécutant une succession de

Dans cette étude, on adopte comme fonction représen- tative de la pente piézométrique dans une conduite parcourue par de l'eau en mouvement uniforme et en régime turbulent, la formule suivante

À V' J = - -

2gD où:

J

=

pente piézométrique en mlm

V

=

vitesse moyenne de leau dans la section en mis D

=

diamètre intérieur de la conduite en m

g

=

accélération de la pesanteur

=

9,81 mis'

À

= coefficient de frottement (sans dimension) exprimé par la formule de Colebrook

LA HOUILLE BLANCHE/N" 8-1984

Article published by SHF and available at http://www.shf-lhb.org or http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1984040

554 LA HOUILLE BLANCHE/N° 8-1984

1 fi.

2 10 (.12..!.... ⁺ _E_\

g Re fi. 3,71 DI

On a. donc procédé à l'interpolation de ~, ç et ~ en fonction de E, en choisissant après différentes tentatives les fonctions suivantes

E

= valeur de la rugosité en m

Re = nombre de Reynolds (sans dimension), exprimé par la formule Re = VD/v où v est la viscosité cinéma- tique du fluide en m

²

/s.

Une fois que l'on a choisi pour l'eau une température de référence égale à 12 oC, et v

=

1,236 . 10- ⁶ m

²

/s, il en

résulte où fo

= -

Ço

Ço = valeur de ç pour

E

= 0

~ = - (hE + 1

0'/ "'),"

-!-

= _

210 (3,102. 10- ⁶ + _E_)

fi. g VDfi. 3,71D (7)

où b o

~o

ln ~

⁰

valeur de

~

pour

E =

0

ç

^{= -}

^(d

^E

+ fo'/l) 1

en mettant davantage de données en face des valeurs basses des variables, où la variation de  augmente.

Ces valeurs sont portées dans le tableau l, et figurent en première ligne à partir du haut dans les cases correspon- dantes. Il faut rema:.:juer à ce propos que dans la colonne pour 10

³E

= 0,03, on a indiqué les valeurs correspondan- tes de 100 Â uniquement pour information. Elles ne seront pas utilisées dans les développements qui suivront. Ces valeurs figurent donc entre parenthèses.

Tenant compte de ce que l'on vient de dire, nous avons entrepris l'interpolation des valeurs du tableau 1. en fonction de E, Vet D comme fonction du type

La structure d'une telle formule se prête mal à son utilisation pour l'application de la méthode de Hardy Cross aux réseaux de distribution d'eau.

C'est pour cette raison qu'on a tout d'abord calculé et mis en tableau une série de valeurs de 100 Â (la multiplica- tion par 100 a été faite pour des raisons de commodité) en fonction de E, D et V dans les domaines de variation qui intéressent les réseaux de distribution d'eau, c'est-à-dire,

o

^0;;

^{E .;; 2,5 . 10- 3} m 0,5

0;;

V.;; 2 rn/sec.,

0,1 .;; D .;; 1 m

et par conséquent 40453 .;; Re

0;;

1 618 123,

d = 46,6· 10

³

g

= -

0,990 ft

^{l =}

(0,195)-'/0.990 5,214 où 1

0

= - ~o

~

⁰

= - valeur de ~ pour

E

= 0

bt

^c

= (In 1,202)'/0.334

=

6,292 . 10-

³

1 t'" = (0,195)'/0.'67 = 5,607 . 10-

⁵

a = 294 c

=

0,334

h = 0,548 m

=

0,167

par ~i

^,

Çi ~i, on entend les données du tableau 1 correson- dant à Ei.

On a ainsi obtenu les valeurs suivantes Li (~i - ~/

⁼

min

Li (Çi - ç/

⁼

^min

Li (~i - ~)2 = min

Les fonctions

~(E),

Ç(E),

~(E)

deviennent donc:

~(E)

⁼

exp [(294 E + 6,292 . IO-Y334]

Ç(E)

= -

(46,6 . 10

³

E + 5,214)-0.990

~(E)

= -

(0,548 E + 5,607 . 1O- ⁵ t· ¹⁶⁷

Les couples de paramètres ( a . c), ( d. g), ( h . m) ont été déterminées sur machine électronique par la méthode des moindres carrés en imposant les conditions

100 Â =

~

(E) .

VÇ(C) • DS(C)

(8)

où

~(E)

, Ç(E) et

~(E)

représentent trois fonctions de E. Elles sont pourtant constantes dans le domaine de chaque colonne du tableau 1.

Dans ces conditions, pour chacune de ces colonnes (en excluant comme on l'a déjà dit la colonne correspondant à 10

³E

= 0,03 pour ne pas exagérer le poids des valeurs basses de E), on a effectué l'interpolation des données par la fonction

Leurs valeurs en fonction de

E

sont reportées à titre de comparaison dans les cases correspondantes en 2' ligne au pied du tableau 1.

On a ainsi atteint le but fondamental de cette étude, à savoir l'interpolation avec une fonction du type (8) des valeurs de  données par la formule de Colebrook dans le domaine des valeurs de E, de Vet de D qui intéressent les réseaux de distribution d'eau. Cette fonction s'écrit

100 Â

=

~

^.

V' . D

^S

₍₉₎

en calculant, sur machine électronique, les valeurs des paramètres

~,

ç et

~

par la méthode des moindres carrés sur la base de la condition

Li (100 Â

i -

~ V'i D ^S i )2 = min

où 100 Â

i•

JI; et

Di

représentent les groupes de données correspondant à la colonne intéressée.

Les valeurs ainsi obtenues pour les paramètres sont reportées au pied de chaque colonne du tableau 1 et figurent en première ligne dans les cases correspondantes.

avec les valeurs de

~,

ç et

~

ci-dessus.

Les valeurs calculées par la fonction d'interpolation (9) sont reportées en 2' ligne dans les cases du tableau l, où figurent aussi en 3' ligne et avec leur signe, les écarts en pourcentage entre les valeurs d'origine de 100 Â et les valeurs interpolées.

L'écart quadratique moyen entre les deux séries de

valeurs (en excluant la colonne correspondant à

10

³E =

0,03) est de 1,373 %, tandis que les écarts extrêmes

sont de + 3,03 % et de - 2,94 %.

G. ROSSI 555

Tableau 1. - Valeurs de 1001.., calculées en fonction de E, D, V. selon la formule de Colebrook (7) (en première ligne dans les cases), selon la fonction d'interpolation (9) (en dernière ligne), et les écarts relatifs en pourcentage (en troisième ligne avec le signe)

Paramètre d'interpolation.

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D ::

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in

Il

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t: Il 2~19 1: (2.28!11 2,48 '1 2;81 Il ';25 Il )~'9) , . 4,48 .. 4.95 Il 5.39

:: 0.5:: 2,16 :: (2,28 1: ^{2,47 :: 2,78 :: ',20 :: '.86 :: 4,41 :: 4,91}

^1:

^5,J7

Il -1,'7 :1 (+0,00 :; -o.~o ^1: -1,07 1: -l,.s4 1: -1,78 II -1,56 Il _0,81 -O,J7 :1:::::::::::::::::::1;::11:::::::::::::::::::1'"111111111:::::.:1::1:::::::1111.':11.:.1:1111::::::11::::1

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l

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556 LA HOUILLE BLANCHE/N° 8-1984

Tableau Il. - Exemples de valeurs de a, ~et y en fonction de 10 ³ . E, à insérer dans la formule (10).

1 : : : : : : : : : : : ' : : : : : : : : : : : :

:: 10' •.€ •• 0 ;

1: •• 1

:11:::::::::::::::::::::;

I l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :0 , 0 ) : :

.

^: 0,10:1 0',25

I l : : : : : : : : : : : : : : :

'.

_{0,50 :: 1,00 1,50 :}

I l : : : : : : : : : : : : : : : :

::

..

2,00:: 2,50 I l 1:

I l : : : : : : : : : : : : : : : :

1 : : : : : : : : : : : ' I I : : : : : : : : : : I l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 : : : : : : : : : : : I l : : : : : : : : : :

:: :

fJ :: 4,805 •

.. .

I l

a

^1:

:: ',805 : .

¹

: : : : : : : : , : : : : : : : : : : : : : : : : :

_{',846 ::} .: ',896 :: 1,9J9

• • I l

I l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

4,895 :: 5.011 :: 5,118

I l : : : : : : : : : : : : : : :

:. 1:

: 1,964 .: 1,980

1:

I l : : : : : : : : : : : : : : :

.:

: 5.190 :: 5,250

.:

: :

: ',986 :

: 5,281 :

I l : : : : : : : : : : : : : : : :

: : 1:

1,989

1:

1,991

I l

: : :1

I l : : : : : : : : : : : : : : : : ::

',)02 I l 5,)18 I l I l : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

:: 0,948 :

.

^{: 1,019 1::; 1, 120 ::, . 1,252 :}

: 1, J99 ::

^1:

1,606 • 1,770 •

^,.

.:

^{1,911 :: 2,OJ9 ::}

.:

: : : : : : : : : : : : : : : : : :

eln~-7.S82 •

V2+ç D

1-9

Si l'on considère n'importe quel côté j de n'importe quelle maille i du réseau, si L,j est la longueur de ce côté (en m), la fonction correspondante « pertes de charge» est en valeur absolue exprimée par la relation

où les paramètres n,

~

et y sont des fonctions de

^E

et, plus précisément:

n = 2 - (46,6 . IOlE + 5,214)-0.990

~ 5 + (O,5fJ8E + 5,607 . IO-

^S

t

¹⁶⁷

(23,14 . IOlE + 2,589) -0.990 On constate ainsi l'excellent degré d'approximation de

la fonction d'interpolation qui, comme on l'a déjà dit, couvre à elle seule tout le domaine des réseaux de distribution d'eau.

Pour une conduite donnée, ayant établi la valeur de

E

en fonction de la nature du matériau et de l'état de conservation de la surface intérieure, les fonctions pren- nent les valeurs numériques Il, ç,

~

et 100 À de sorte que la pente piézométrique en fonction de Vet D est donnée par la formule (6)

V

²

J= À -

2gD

y e

(294<+6.292 lO-

l)O.ll'

(195,3 IOlE + 21,36) -0.990 - 7,098

on a en effet lij (1 QI) = Lij . Yij 1 Q ,aUI Di~ij

ln -:-::-::-'--:--

:00 2 g - 7,582 où L,j . Yi/ DBij représente la résistance hydraulique Rij du côté; on peut donc écrire comme suit

la pente piézométrique en fonction de Q et de D, est exprimée par la formule

et

On est donc arrivé à une expression conforme à la formule (2) qui permet le développement des formules (3), (4) et (5).

Il en résulte que la fonction d'interpolation (9), dont on a constaté l'excellent degré d'approximation à la formule de Colebrook dans le domaine des valeurs de E, Vet D qui intéressent les réseaux de distribution d'eau, est en même temps assez souple pour être utilisée selon la méthode de Hardy Cross selon la formule (10) qui en est la consé- quence directe.

Pour finir, on indique en exemple dans le tableau Illes valeurs de n, de ~ et de Y que l'on doit insérer dans la formule (10) pour quelques valeurs typiques de E toujours dans le cas de l'eau à 12 oc.

(10)

eln~+O.242Ç-7.098• ~

n2+ç D

S - 9+²

ç

ln (4/n) = 0,242.

J

Il s'agit d'une expression du type

J=YQaID~

Q

=

débit en mlls

en effet

Le Professeur Rossi est décédé à Bologne, le 13 septembre 1984, à l'issue d'une longue bataille qu'il a livrée contre la maladie.

Monsieur Gianfranco Rossi était ingénieur diplômé de l'École Polytechnique de Turin. Au cours des années 1960, il a exercé les fonctions de Directeur Général de la Régie du gaz de Brescia. Il a, ensuite, été nommé Vice-Président-Directeur Général de la Régie du gaz de Naples, ville dans laquelle il a travaillé dans le courant des années 1970. Son activité gazière l'a porté à la vice-présidence de l'Association nationale du gaz en Italie.

Par ailleurs, Monsieur Rossi, passionné par l'enseignement, était professeur d'hydraulique à l'Université de Bologne.

Je l'ai connu dans le cadre de travaux effectués à l'Union internationale de l'industrie du gaz au sein de laquelle il a assuré la présidence de la sous-commission chargée des études sur l'asso- ciation du gaz avec les énergies renouvelables.

Sa forte personnalité, sa profonde culture et sa passion pour la science et la technique resteront à jamais dans nos mémoires.

J.R. Fellous