UN NOUVEL ANALYSEUR HARMONIQUE BASÉ SUR LE PRINCIPE DU PLANIMÈTRE POLAIRE

L A H O U I L L E B L A N C H E m

E L E C T R I C I T E

Un nouvel analyseur harmonique

basé sur le principe du planimètre polaire

par L . BARBIIXION, Professeur à la Faculté des Sciences de Grenoble

1 )

A u risque de p a r a î t r e i m p o r t u n , nous croyons devoir publier ici u n e c o u r t e é t u d e , d u r e s t e p r e s q u e e n t i è r e m e n t e m p r u n t é e à l ' i n v e n t e u r d u procédé, M. HAIVVEY, e t consacrée à un nouvel analyseur harmonique, basé sur le principe du planimèlre polaire.

Il fut u n t e m p s où la Science m a t h é m a t i q u e , p h y s i q u e e t m é c a n i q u e , d a n s ses g r a n d e s lignes e t d a n s son a r c h i t e c t u r e i m p o s a n t e , suffisait a u x besoins de l ' I n g é n i e u r . P u i s les a p p l i ­ cations se s o n t é t o n n a m m e n t amplifiées : les o p é r a t i o n s expéri­

m e n t a l e s de contrôle e t de l a b o r a t o i r e o n t i n t r o d u i t u n e foule de f a c t e u r s e t de chiffres d o n t l ' e x a c t i t u d e seule, e t n o n p l u s le s y m b o l e p h i l o s o p h i q u e d o n t ils é t a i e n t la m a t é r i a l i s a t i o n , intéressait le technicien. E n d ' a u t r e s t e r m e s , il a fallu i n t r o d u i r e dans la T e c h n i q u e ces procédés de recherches, de dissection, d ' a n a l y s e , d ' i n t e r p r é t a t i o n de courbes, e t n o t a m m e n t p o u r t o u t e s les courbes périodiques de mise en l u m i è r e des h a r m o ­ niques, o p é r a t i o n s d ' u n i n t é r ê t c a p i t a l p o u r les progrès de l ' I n ­ d u s t r i e .

Il y a p e u d ' a n n é e s encore, seuls les électriciens se préoccu­

p a i e n t de l ' a n a l y s e des h a r m o n i q u e s des courbes de tension e t de c o u r a n t , p o u r des motifs é v i d e n t s d ' i n t e r p r é t a t i o n de p h é n o ­ mènes s o u v e n t d ' a p p a r e n c e a n o r m a l e . C'est ainsi q u ' u n e m e s u r e rigoureuse d ' u n e p u i s s a n c e électrique est liée à la c o n n a i s ­ sance des formes e x a c t e s e t des courbes de tension e t de celles d ' i n t e n s i t é . A u j o u r d ' h u i , les mécaniciens r é c l a m e n t , p o u r ne parler q u e d ' e u x , des procédés réellement p r a t i q u e s d ' a n a l y s e s h a r m o n i q u e s des courbes. Les déflagrations dues a u x e x p l o ­ sions d a n s les m o t e u r s , les e x p a n s i o n s de v a p e u r s d a n s les cylindres, les couples m o t e u r s effectifs sur l ' a r b r e des v o l a n t s , se t r a d u i s e n t p a r des courbes périodiques, q u ' o n a s o u v e n t besoin de r é s o u d r e en sinusoïdes c o m p o s a n t e s .

Cette justification de l ' é t u d e ci-après n e sera p a s i n u t i l e ; en t o u s cas, nous a v o n s cru, en t o u t e conscience, devoir la présenter»

T H É O R I E B E L'INSTRUMENT.

Les formules d o n n a n t les coefficients a⁰, aⁿ, b^nt ( n = l , 2,..) d ' u n e série de F o u r i e r d ' u n e fonction f (a:) :

, n zzz oc

/ (x) = a

^Q

+ 2

^a*

cos nx + ^

b n s î n n x

avec

s o n t les s u i v a n t e s

o < x < 2 «

2 * 2

aⁿ = r

2 *

~ I f

(x) cos nx dx

2x

b „ —

— f / (x) sin nxdx

L e coefficient ,cr⁰ est la h a u t e u r m o y e n n e de la c o u r b e e n t r e x—o e t X=2tz, e t sa m e s u r e r e v i e n t à u n e m e s u r e de surface.

Comme n o u s l'indiquerons plus b a s , l ' i n s t r u m e n t p e u t aussi être e m p l o y é c o m m e simple p l a n i m è t r e .

Nous donnerons ici la t h é o r i e q u i c o n d u i t à la d é t e r m i n a t i o n des coefficients aⁿ e t bⁿ.

Faisons déplacer (fig. 1) les e x t r é m i t é s P e t W d ' u n e t i g e de longueur c o n s t a n t e Z, le long de d e u x courbes fixes AA^f e t BB' depuis u n e position initiale AB j u s q u ' à u n e position finale A'B\

Considérons d e u x positions infiniment voisines PW e t P'W de la tige. A p p e l o n s :

0 l'angle q u e forme à c h a q u e i n s t a n t la tige avec u n e direction fixe A.

9 e t cp' les angles q u e f o r m e n t r e s p e c t i v e m e n t la t a n ­ g e n t e à AA' en P e t celle à BB' en W, avec la tige.

S et S' les abscisses curvilignes de P e t de W.

F i g .

1

(1) D'après l'étude de l'inventeur M. T . H A R V E Y , dans le

«Génie Civil» du 15 Décembre 1934.

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1935023

172

LA HOUILLE BLANCHE

On a alors d ' a p r è s la figure, où H e t H ' désignent les pieds des perpendiculaires abaissées de P ' e t de W sur PW :

H ' W = W W sin 9' H ' K + K W = H P ' + l d @

= P P ' sin 9 + l d Soit en c o n f o n d a n t les arcs infiniment p e t i t s avec leur corde : sin <p' ds' = sin 9 ds - j - l d ©, e t en i n t é g r a n t e n t r e les posi- t i o n s limites AB et A ' B '

A'

sin cp d s l (Q — ©')

où 0 e t 6 ' désignent les angles q u e forment r e s p e c t i v e m e n t AB et A^lB^r avec A.

Si p e n d a n t le d é p l a c e m e n t de la tige u n e r o u l e t t e fixée à W e t d'axe parallèle à PW p e u t à la fois glisser e t rouler sur le papier, le d é v e l o p p e m e n t circonférentiel co roulé p a r la t r a n c h e de r o u l e t t e sera p r é c i s é m e n t d o n n é p a r

co

— i

sin (D^f ds^f sin 9 d $ + / ( 0 — ©')

DÉTERMINATION DE aⁿ. — Soit m a i n t e n a n t AA' (fig. 2) la courbe r e p r é s e n t a n t / (x) e n t r e x = o et x = 2n^f l'intervalle d'angle de o à 2n é t a n t r e p r é s e n t é p a r la l o n g u e u r a. F a i s o n s décrire à l ' e x t r é m i t é P de la tige P W le p o u r t o u r OAA'A"0 e t obligeons p e n d a n t ce d é p l a c e m e n t PW à former p o u r t o u t e abscisse x âeP l'angle nx avec la direction positive de y, en s o r t e q u e PW fera p a r b a l a y a g e n t o u r s complets d a n s le sens des aiguilles d'une m o n t r e p e n d a n t que P décrit A A ' , e t n t o u r s d a n s le sens opposé p e n d a n t q u e P décrit A " O.

o

>

p

j

{

et ^;

1 - -• • M

.

F I G . 2

P e n d a n t le d é p l a c e m e n t de P, le long de OA e t A ' A " , P W est situé sur ces lignes et la r o u l e t t e glisse s e u l e m e n t sur le papier s a n s rouler.

Il r e s t e à calculer le d é v e l o p p e m e n t G>² roulé p a r la r o u l e t t e p e n d a n t le d é p l a c e m e n t A A ' . On a p e n d a n t ce d é p l a c e m e n t .

v

= Y — (nx + ty)

é t a n t l'angle q u e forme la t a n g e n t e avec T a x e des x, d'où

X — 2rc x = 1K

sin 9 ds + l 2TC n cos (nx + ^) + / 2n n

X = o soit en i n t é g r a n t

x — o

2 -

cos n x dx + I2iz n

Or, c o m m e le d é p l a c e m e n t négatif A " 0 d o n n e t o²^ / 2TC n, on a p o u r le d é p l a c e m e n t t o t a l

Ctìi 0>o = Ti cos d x

Si d est le d i a m è t r e de la r o u l e t t e , et m son n o m b r e de r o t a t i o n s (lu s u r un c o m p t e u r ) , on a

COj G >2 ~ m 7U d d'où le coefficient aⁿ de la série de FOURIER.

DÉTERMINATION DE bⁿ. — F a i s o n s m a i n t e n a n t déplacer P le long du m ê m e c o n t o u r , mais en obligeant la b a r r e PW à former l'angle n avec la direction n é g a t i v e de ox.

D a n s ces conditions, les l o n g u e u r s roulées p a r co s e r o n t P e n d a n t le d é p l a c e m e n t OA <à^x = OA

— — A'A" co³ = q' q"

— — A"0 co⁴ =-- 2T.nl Enfin, p e n d a n t le d é p l a c e m e n t AA ', on a

9 = TZ — (nx + é)

L a figure 3 r e p r é s e n t e le s c h é m a de c e t t e réalisation. Un cadre r e c t a n g u l a i r e CDEF est mobile d a n s la direction des y s u r t r o i s r o u l e a u x R^x R² i ?³. U n e e n t r e t o i s e BB f a i s a n t p a r t i e d u c a d r e , p r é s e n t e sur sa face s u p é r i e u r e u n e r a i n u r e r e c t a n - gulaire taillée en c r e u x G e t sur sa face v e r t i c a l e p o s t é r i e u r e u n e crémaillère K; r a i n u r e e t crémaillère s o n t parallèles à Taxe

des x. U n c h a r i o t L e s t s u s p e n d u à d e u x g a l e t s V³ e t V^g à t r a n c h e en V, r e p o s a n t s u r les a r ê t e s de la r a i n u r e e t à u n g a l e t cylin- d r i q u e V³ r o u l a n t sur le côté a n t é r i e u r CD d u c a d r e .

L e c h a r i o t p o u v a n t rouler l i b r e m e n t en direction des x e n t r e d e u x b u t é e s d ' a r r ê t S, e t S⁸, u n e p o i n t e t r a ç a n t e T fixée au c h a r i o t p e u t p a r c o u r i r en direction des x u n e d i s t a n c e a (environ 24 cm.) r e p r é s e n t a n t la région 0 à 2TT. Grâce de plus à la liberté de d é p l a c e m e n t du c a d r e d a n s la direction des g, la p o i n t e T pourra décrire un c o n t o u r q u e l c o n q u e à l'intérieur de cette région.

LA HOUILLE BLANCHE 173

Le chariot p o r t e sous sa face inférieure un b r a s curseur H de position réglable s u i v a n t l'arc des y ; d a n s un t r o u vertical du b r a s H, on enfile u n pivot P . Ce dernier est r e n d u solidaire d'une p a r t de l ' u n e q u e l c o n q u e des six roues dentées de r a y o n

a

2% n

p o u r n = 1 , 2, 3 , 4 , 5 , 6 , d ' a u t r e p a r t d ' u n p e t i t c a d r e p o r t a n t la r o u l e t t e i n t é g r a n t e W r o u l a n t sur le papier a u t o u r de P .

P o u r m e t t r e l ' i n s t r u m e n t au point, on r a m è n e le chariot L à fond vers la g a u c h e j u s q u ' a u c o n t a c t avec la b u t é e S^v de telle façon q u e ia p o i n t e t r a ç a n t e T soit à l'origine des coordonnées ; puis a p r è s avoir enfilé la r o u e d e n t é e d ' h a r m o n i q u e n sur le pivot P , on déplace le b r a s c u r s e u r H j u s q u ' à faire e n t r e r la roue en prise avec la crémaillère de façon q u e la direction prise par P W à l'origine soit celle des y positifs ou celle des x négatifs, selon que le coefficient cherché est aⁿ ou bⁿ.

L o r s q u ' o n fait décrire a u t r a ç o i r T le c o n t o u r limite, P décrit une courbe g é o m é t r i q u e m e n t égale, e t P W fait avec les direc­

tions + y ou —x^t l'angle n x à t o u t e position (x, y) de) T.

E n i m m o b i l i s a n t le c h a r i o t L p a r r a p p o r t à l'entretoise BB, l ' i n s t r u m e n t se p r ê t e à la m e s u r e d ' u n e surface, d ' u n m o m e n t s t a t i q u e , ou d ' u n m o m e n t d'inertie, s u i v a n t le m ê m e p r o c é d é que l ' i n t é g r a t e u r d'Amsler. P o u r cela, on modifie son m o n t a g e en lui a d j o i g n a n t u n b r a s t r a c e u r e t un secteur d e n t é .

d ' o ù

x = 2 ~ x = 2*

0 ) 2 = I sin cp ds + l

2n

n

= I

sin (nx + à) ds + l

2n

n

x = o ^{X = 0}

soit en i n t é g r a n t

y cos nx + n I y sin nx dx

x = 3 2 -

+ / 2 T T n

X — 'z

co² r= A" A' — Q A +

2

y sin nx dx + l 2 71 n

La longueur roulée positive t o t a l e sera donc

2T:

C öx + 6 )8 0 Û3 0 )4 = :

r

4 = n I y SI sin nx dx

Soit c o m m e p r é c é d e m m e n t , si m est le n o m b r e de r o t a t i o n s de la r o u l e t t e

m d 1 ^{2 JW}

n — / y sin = bⁿ

RÉALISATION DE L'INSTRUMENT.

L ' i n s t r u m e n t doit p e r m e t t r e à l ' u n e des e x t r é m i t é s P d ' u n e tige P W de décrire un c o n t o u r q u e l c o n q u e à l'intérieur d ' u n e région q r e p r é s e n t a n t 2n r a d i a n s en direction des x, en m ê m e t e m p s qu'obliger P W à faire à c h a q u e i n s t a n t l'angle nx avec la direction positive des y ou la direction n é g a t i v e des x, s u i v a n t q u e l'on v e u t d é t e r m i n e r le coefficient aⁿ ou bⁿ. L a réali­

sation décrite d a n s l'article en question p e r m e t c e t t e o p é r a t i o n depuis / î = i j u s q u ' à n= 6,

FI G . 3